Реферат Паскаль подання чисел та інших значень
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
ПАСКАЛЬ:ПОДАННЯ ЧИСЕЛ ТА ІНШИХ ЗНАЧЕНЬ
1. Позиційні системи числення
1.1. Запис натуральних чисел
Система числення – це система запису, або позначення, чисел. Найдосконалішими системами числення виявилися позиційні. У цих системах число, позначене цифрою, залежить від її місця (позиції) в записі числа. Наприклад, звичні нам записи 13 і 31 у десятковій системі складаються з однакових цифр (значків "1" і "3"), але позначають різні числа 1 10+3 і 3 10+1.
Позиційна система числення з основою P (P-кова) має P цифр C0, C1, … , CP-1, що звичайно позначають натуральні числа від 0 до P-1. Ці записи та позначені ними числа – значення цих записів – називаються однорозрядними P-ковими.
Цифри десяткової системи 0, 1, 2, … , 9 називаються арабськими, хоча й були запозичені арабами в індусів.
У програмуванні широко застосовується шістнадцяткова система, в якій перші 10 цифр арабські, а наступні шість – A, B, C, D, E, F. Вони позначають числа, десятковий запис яких 10, 11, 12, 13, 14, 15 відповідно.
Число P у P-ковій системі позначається дворозрядним записом C1C0, число P+1 – записом C1C1 тощо до P P-1. Наприклад, 10, 11, ... , 99 у десятковій системі, 10, 11 у двійковій, 10, 11, … , 1F, 20, … , FF у 16-ковій. Число P P позначається вже трьома цифрами C1C0C0, далі йде C1C0C1 тощо. Наприклад, 100, 101, … , 999 у десятковій системі, 100, 101, 110, 111 у двійковій, 100, 101, … , FFF у 16-ковій. І взагалі, запис вигляду
(akak-1 a1a0)P
позначає в P-ковій системі число, що є значенням полінома
ak Pk+ak-1 Pk-1+ +a1 P+a0.
Наприклад, двійковий запис (10011)2 позначає число, яке в десятковому записі має вигляд 1 24+0 23+0 22+1 21+1 20=19. 16-ковий запис (1BC)16 позначає десяткове 1 162+11 16+12=444.
Найправіша цифра в запису числа позначає кількість одиниць і називається молодшою, найлівіша – кількість чисел Pk і називається старшою.
Ми звикли до десяткового подання чисел, і саме воно, головним чином, використовується в Паскаль-программах, але в комп'ютері числа, як правило, подаються в двійковій системі. Таким чином, виникає необхідність створювати двійкове подання числа за його десятковим записом і навпаки. Зауважимо до речі, що такі перетворення записів чисел з однієї системи в іншу здійснюються при виконанні процедур читання і запису readln і writeln.
За P-ковим записом (akak-1 a1a0)P натурального числа N можна побудувати десяткове подання, обчисливши значення полінома за допомогою операцій множення та додавання в десятковій системі. Саме цим ми займалися двома абзацами вище.
Розглянемо, як одержати за натуральним числом N цифри його P-кового подання. Нехай N=(akak-1 a1a0)P, і кількість цифр k+1 невідомі. Запишемо подання в такому вигляді:
N = ak Pk+ak-1 Pk-1+ +a1 P+a0 = (…(ak P+ak-1) P+ +a1) P+a0.
Звідси очевидно, що значенням a0 є N mod P, a1 – (N div P) mod P тощо. Таким чином, якщо поділити N на P у стовпчик, то остача від ділення буде значенням молодшої цифри. Потім можна так само поділити на P частку від першого ділення – остача буде виражати кількість "P-кових десятків" тощо поки остання частка не виявиться менше P. Вона й буде значенням старшої цифри. При P>10 ще треба перетворити числа більше 9 у цифри. Наприклад, одержимо цифри 16-кового подання десяткового числа 1022:
_1022 | 16 _63 | 16
96 63 48 3
_62 15
48
14
Виділені 14, 15 і 3 – це кількості 16-кових "одиниць", "десятків" і "сотень" відповідно. Позначимо їх 16-ковими цифрами E, F і 3 відповідно та одержимо запис 3FE.
Якщо натуральне N подано в базовому типі цілих, то одержати його P-кові цифри можна за наступним алгоритмом (остання цифра утворюється як остача від ділення на P частки, меншої від P):
while N > 0 do
begin
d:= N mod P ;
за значенням d побудувати P-кову цифру;
N := N div P
end
Якщо позначити цифрами A, B, … , Z числа від 10 до 35, то з використанням відповіді до задачі 10.5 за цим алгоритмом можна утворити подання чисел аж до 36-кової системи.
Для використання ще більших основ систем числення треба додатково розширити алфавіт цифр.
1.2. Дробові числа
P-кове подання чисел, менших 1, має вигляд 0.a-1 a-2 , де a-i – P-кові цифри. Цей запис позначає дійсне число – значення виразу
a-1 P-1+a-2 P-2+
Наприклад, (0.1101)2 позначає десяткове
1 2-1+1 2-2+0 2-3+1 2-4=0.5+0.25+0.0625=0.8125;
(0.21)3 – 2 3-1+1 3-2=0.777…=0.(7); (0.BC)16 – 11 16-1+12 16-2=0.734375.
За P-ковим поданням, у якому задано r старших цифр, десятковий запис числа утворюється обчисленням значення многочлена
a-1 P-1+a-2 P-2+ … +a-r P-r.
Нагадаємо, що якщо основа P має прості дільники, відмінні від 2 і 5, то число зі скінченним P-ковим записом зображується нескінченним, але періодичним десятковим дробом. Якщо ж простими дільниками P є тільки 2 і 5, то й десятковий дріб скінченний.
Розглянемо, як за дійсним значенням V одержати цифри його P-кового подання. Нехай V=(0.a-1a-2…)P. Запишемо подання в такому вигляді:
V=P-1 (a-1+P-1 (a-2+ )).
Тоді V P=a-1+P-1 (a-2+ ), звідки очевидно, що a-1= V P , і P-1 (a-2+ ) = {V P}, де V P та {V P} позначають цілу та дробову частини V P. Помноживши {V P} на P і узявши цілу частину, одержимо a-2 тощо. Наприклад, при V=0.75, P=3 одержимо
a-1= 0.75 3 =2, {0.75 3}=0.25, a-2= 0.25 3 =0, {0.25 3}=0.75 тощо.
Таким чином, трійковим поданням 0.75 буде нескінченний періодичний дріб (0.(20))3.
Маючи дійсне значення V, V<1, можна одержати r перших цифр його P-кового подання, виконавши алгоритм
for i := 1 to r do
begin
V := V*P;
d:= trunc ( V ) ;
за значенням d побудувати P-кову цифру;
V := V - trunc ( V )
end.
1.3. "1+1=10, 5 8=28"
Якщо додати 1 і 1, то одержимо 2. Але в двійковій системі це 10, тобто в двійковій системі 1+1=10. При додаванні в стовпчик це означає суму 0 і перенос 1 у наступний розряд. Наприклад, додамо в стовпчик 3 і 6 у двійковій системі:
+ 11
110
1001
У десятковій системі 10+13=23. Те ж саме в шістнадцятковій виглядає як A+D=17. Взагалі, додаючи дві або більше P-кові цифри, у результаті одержуємо
(їх сума) mod P
із переносом (їх сума) div P. Наприклад, у шістнадцятковій системі
+ 9D
FAE
104B
(неважко перевірити, що при додаванні в стовпчик D+E=1B, 1+9+A=14, 1+F=10).
Усі вчаться в школі не тільки додавати, але й множити. Коли ми множимо число в десятковій системі у стовпчик на число, записане одною цифрою X, то обчислюємо добуток чергової цифри числа та X. Остачу від ділення цього добутку на 10 додаємо до переносу від попереднього розряду й одержуємо суму S. Молодшу цифру S, тобто остачу від ділення на 10, записуємо в результат, а старшу, тобто S div 10, запам'ятовуємо як перенос. І так рухаємося від молодшої цифри співмножника до старшої. Знайомо, чи не так?
У P-ковій системі відбувається те ж саме, тільки остачі беруться від ділення не на 10, а на P. Наприклад, у шістнадцятковій системі 5 8 при діленні на 16 дає остачу 8 і частку 2, тобто 5 8=28. У вісімковій системі
1234
7
11102
(4 7 при діленні на 8 дає 2 в остачі й 3 у переносі, 3 7+3 дає 0 і 3 тощо).
Множення на число, у якого більше однієї цифри, зводиться до множень на окремі цифри, запису результатів із зсувом та додавання у стовпчик. Наприклад, у вісімковій системі
77
123
275
176
77 .
12155
Аналогічно в шістнадцятковій системі
FE
20A
9EC
1FC .
205EC
Задачі
1. За заданими P та P-ковими записами чисел N указати їх десяткове подання:
а) P = 16, N = F1, FF, FFFE;
б) P = 8, N = 377, 1200;
в) P = 2, N = 1000, 1111, 11111111, 100000000.
г) P=36, N=ZY, 100 (36-кові цифри A, B, , Y, Z позначають десятковi числа 10, 11, , 34, 35 відповідно).
2. За десятковим записом чисел 32, 48, 100, 255, 640, 1024, 32767 указати їх 2-, 8-, 16-кові подання.
3. * Записати P-кове подання десяткових дробів d, де
а) d = 0.5, P = 2, 3, 5, 8, 16, 20;
б) d = 0.1, P = 2, 3, 5, 8, 16, 20.
4. * За основами P та P-ковими записами дробів указати їх десяткове подання:
а) P = 2; 0. 0001; 0. 1111; 0. 11111111;
б) P = 3; 0. 001; 0.22; 0.11;
в) P = 16; 0.1; 0. FF; 0.8; 0. (7).
5. Написати процедуру друкування цифр P-кового запису числа N, де 1 < P < 37,
а) N типу integer (цифри друкуються у зворотному порядку);
б) N типу integer (цифри друкуються у прямому порядку);
в) N має тип real, N<1 (друкується не більше, ніж R цифр дробової частини, де 0<R<80).
Уважати, що за P=36 числа від 10 до 35 позначено відповідно літерами від A до Z.
6. Означити таблиці додавання та множення однорозрядних P-кових чисел при P=2, 4, 8, 16. Написати програму друкування таких таблиць за P від 2 до 20.
7. Написати програму друкування таблиці символів, їх двійкових, шістнадцяткових та десяткових номерів.
2. Внутрішнє подання даних стандартних типів
2.1. Біт, байт та інші
У комп'ютері числа зберiгаються та обробляються в двiйковiй системі числення. Двійкова цифра 0 або 1 відображається станом елемента пам'яті, який вважається неподільним і називається бiтом. Послідовність із 8 бітів називається байтом. Байт своїми станами відображає 28=256 комбінацій із 0 та 1, а саме:
00000000
00000001
11111110
11111111
Множині цих комбінацій можна взаємно однозначно поставити у відповідність деякі множини значень: цілі числа від -128 до 127, або числа від 0 до 255, або пари 16-кових цифр, або символи від chr(0) до chr(255) чи якісь інші множини з 256 елементів.
У двох сусідніх байтах подаються 28 28=65536 комбінацій із 0 та 1. Їм взаємно однозначно ставляться у відповідність цілі числа від 0 до 65535, або числа від -32768 до 32767 чи інші множини з 65536 елементів.
Аналогічно чотири сусідні байти відображають (28)4=4294967296 комбінацій із 0 та 1, яким зiставляються числа від 0 до 4294967295, або числа від -2147483648 до 2147483647 чи інші множини з 4294967296 елементів.
Два байти утворюють одиницю пам'яті, яка називається словом. Іноді таке слово називається напівсловом, а словом – послідовність із чотирьох байтів.
Послідовність із 1024 байтів утворює одиницю виміру розмірів пам'яті комп'ютера. Цю одиницю позначають Kбайт, проте це "K" – латинська літера, що читається "кей" і позначає не тисячу, а 1024.
Послідовність із 1K Kбайтів, тобто 1048576 байтів, називається Mбайтом. Ці дві одиниці у світі програмістів і користувачів часто не зовсім точно називають відповідно "кілобайт" і "мегабайт", хоча це зовсім не тисяча і не мільйон байтів. До речі, 1Гбайт, хоча й читається "гігабайт", позначає не мільярд, а 1073741824 байти.
2.2. Подання цілих чисел, символів та бульових значень
Бульовi значення false та true подаються, як правило, в одному байтi комбінаціями відповідно 00000000 та 00000001.
Символи від chr(0) до chr(255) зображаються в одному байтi комбінаціями з нулів та одиниць відповідно від 00000000 до 11111111. Наприклад, символ chr(32), або ' ' (пропуск), зображається як 00100000, символ chr(48), або '0', – як 00110000 тощо.
Цілі числа подаються в комп'ютері, головним чином, у двох формах – беззнаковій та знаковій. Далі ми будемо ототожнювати числа з їх поданням, усвідомлюючи, що з точки зору математики це не може бути правильним.
|
|
|
|
7 … 0 | … | 7 … 0 | 7 … 0 |
8N-1 … |
| 15 … 8 | 7 … 0 |
x8N-1 28N-1+ x1 2+x0.
Наприклад, комбінація 00 00 задає число 0, комбінація 00 01 – "один", 00 10 – "два", 11 11 – число 28N-1.
Таблиця 11.1 | |
число | код |
28N-1 - 1 | 01 11 |
28N-1 - 2 | 01 10 |
| |
1 | 00 01 |
0 | 00 00 |
-1 | 11 11 |
-2 | 11 10 |
| |
-28N-1 + 1 | 10 01 |
-28N-1 | 10 00 |
Від'ємні числа подаються в коді, названому додатковим. Для від'ємного числа A він позначається D (A) й утворюється так:
1) за прямим кодом числа |A| заміною всіх 0 на 1 та всіх 1 на 0 будується обернений код R(A);
2) за R(A) як беззнаковим цілим числом обчислюється D(A)=R(A)+1.
Очевидно, що D(A)=R(|A|-1). Наприклад, побудуємо двобайтовий додатковий код числа –144. Прямим двобайтовим кодом числа 144 буде
0000'0000'1001'0000
(апострофи записано для наочності), оберненим –
1111'1111'0110'1111.
До нього додається 1:
1111'1111'0110'1111
1
1111'1111'0111'0000,
і ми одержуємо додатковий код числа -144. Він є також оберненим кодом числа -143.
За додатковим кодом від'ємне число "відновлюється" у зворотному порядку:
1) D(A) вважається беззнаковим цілим; обчислюється R(A)=D(A)-1;
2) код, обернений до R(A), є прямим кодом числа | A |.
Той самий результат можна дістати, якщо
1) побудувати код R(D(A)), обернений до D(A);
2) до R(D(A)) як до беззнакового додати 1.
Відповідність знакових цілих чисел та їх кодів наведено в табл. 11.1. Як бачимо, від'ємних чисел на одне більше, ніж додатних.
Елемент X довільного типу-переліку подається як беззнакове цiле число ord(X).
2.3. Принципи подання дійсних чисел
Дiйснi числа в більшості комп'ютерів подаються в N=4, 6, 8 або 10 байтах, поділених на поля (послідовності бітів):
<знак><порядок><мантиса>.
Поле <знак> має довжину 1, а довжини двох інших позначимо d і r відповідно. Зрозуміло, що 1+d+r=8N. Нехай s, e, m – значення цих полів як беззнакових цілих. Вони подають:
s = 0 – знак '+', s = 1 – знак '-';
e – його порядок t = e - (2d-1-1);
m – мантису (дробову частину) m1 = m 2–r.
За значень e, відмінних від крайніх значень 0 та 2d-1, поля <знак><порядок><мантиса> задають число, що є значенням виразу
(-1)s (1+m1) 2t (11.2)
Оскільки 1 1+m1<2, то кажуть, що число подається в нормалiзованому виглядi. Показник t називається справжнім порядком числа, а e – "зсуненим" (він на 2d-1-1 більше від справжнього). Отже, значення e від 1 до 2d-2 задають справжні порядки t від 1-(2d-1-1)=2-2d-1 до 2d-2-(2d-1-1)=2d-1-1.
Наприклад, нехай d=5, r=10, що задає двобайтове подання. Зсув порядку 25-1-1=24-1. Розглянемо зображення числа -12.375:
-12.375 = (-1100.011)2 = (-1.100011)2 23 ,
тобто t=3, m1=0.100011. Звідси s=1, e=3+(24-1)=18=(10010)2, m=1000110000, і число подається послідовністю бітів 1'10010'1000110000. Тут для наочності поля відокремлено апострофами.
Послідовність бітів 0'00001'0000000000 подає мінімальне додатне число, зображуване за d=5, r=10:
(1 + 0) 21-24+1 = 2-14.
Наступним числом, що подається як 0'00001'0000000001, буде
(1+2-10) 21-24+1=2-14+2-24.
Послідовність бітів 0'11110'11111111111 подає максимальне число
(1+(210-1) 2-10) 225-2-24+1 = (2-2-10) 215 =216 - 25 = 65504.
Попереднє перед ним число має подання 0'11110'11111111110 і є
(1+(210-2) 2-10) 225-2-24+1 = (2-2-9) 215 =216 - 26 = 65472.
Як бачимо, різниця між двома сусідніми числами міняється від 2-24 до 25=32.
За e=0 незалежно від s і m подається число 0. За e=2d-1 подання числа використовуєтьсся спеціальним чином, про що ми говорити не будемо (докладніше про це див., наприклад, [Григ]).
Зазначимо, що розташування й довжини полів у поданні дійсних чисел залежать від конкретного типу комп’ютера і можуть відрізнятися від указаних тут. Можливі й інші особливості.
Задачі
8. Нехай a і b – імена змiнних бульового типу. Довести еквівалентнiсть виразів у наступних парах:
а) a <= b та not a or b; б) a < true та not a.
9.* Указати внутрішнє подання символів, заданих виразами:
а) chr(0), chr(48), chr(57), chr(13), chr(10), chr(65), chr(97);
б) 20h, 30h, 1Ah, 1Bh,
де суфікс "h" указує на шістнадцятковий запис.
10. Написати програму, яка для комп'ютера з невідомою системою подання чисел дозволяє визначити максимальне та мінімальне цілі типу integer.
11.* Указати двобайтовий додатковий код чисел -1, -8, -9, -32767, -32768.
12.* Нехай при додаваннi та відніманнi чисел типу integer перенос із старшого розряду стає змістом знакового розряду, а перенос із знакового розряду втрачається. Чому дорівнює значення виразу:
а) maxint + 1; б) minint - 1,
де maxint та minint позначають максимальне та мінімальне числа типу integer?
13.* Обчислити мінімальне та максимальне за модулем скінченні дійсні числа, що подаються в
а) 4 байтах за d = 8, r = 23;
б) 8 байтах за d = 11, r = 52;
в) 10 байтах за d = 16, r = 63.
14. Нехай d і r з описання подання дійсних чисел невідомі. Написати програму
а) обчислення d і r;
б) друкування виразів, що задають мінімальне та максимальне додатні числа типу real;
в) друкування виразу різниці між двома сусідніми зображуваними числами з відрізка [2i; 2i+1] за допустимих значень i.
3. Цілі та дійсні типи мови Турбо Паскаль
Базовий тип цілих integer утворено цілими, які займають 2 байти в знаковому поданні. Тепер уже зрозуміло, чому їх діапазон від -32768 до 32767. Крім цього типу, в мові Турбо Паскаль є ще кілька типів для подання цілих. Укажемо їх імена, спосіб (знаковий/беззнаковий) та розміри подання в байтах, а також їх діапазони.
Тип Byte – беззнакові в 1 байті, 0..255.
Тип Shortint – знакові в 1 байті, -128..127.
Тип Word – беззнакові в 2 байтах, 0..65535.
Тип Longint – знакові в 4 байтах, -2147483648..2147483647.
Для всіх цих типів означено всі операції, що й для типу Integer.
Числа базового типу Real займають 6 байтів. 1 біт зайнятий знаком числа, 39 – дробовою частиною, 8 – порядком. Нескладно підрахувати, що діапазон додатних чисел – від 2-126 2.9 10-39 до (2-2-39) 2127 1038.
Значення типу Single займають 4 байти (дробова частина – 23 біти, порядок – 8). Діапазон додатних значень – від 2-126 до (2-2-23) 2127 1038.
Значення типу Double займають 8 байтів (дробова частина – 52 біти, порядок – 11). Відзначимо, що з урахуванням особливостей архітектури сучасних комп'ютерів краще користуватися цим типом, ніж типом real [Григ]. Діапазон додатних значень – від 2-1022 10-315 до (2-2-52) 21023 10315.
Значення типу Extended займають 10 байтів (дробова частина – 64 біти, порядок – 15). Діапазон додатних значень – від 2-16382 10-4931 до 2 216383 104932.
Відзначимо, що в процесорі комп'ютера числа обробляються саме в поданні типу Extended. При записі в регістри процесора числа з інших типів перетворюються в цей. Отже, цей тип має найбільший серед дійсних типів діапазон та найвищу точність подання дійсних чисел.
Значення типу Comp (скорочене compound – складений) займають 8 байтів. Ці значення є дійсними поданнями цілих чисел від -263 до +263-1. До них застосовні операції дійсних, а не цілих типів.
І останнє зауваження. Кількість байтів, які займаються значеннями будь-якого типу, можна дізнатися, викликавши функцію SIZEOF. Наприклад, із виклику sizeof(Longint) повертається 4, із виклику sizeof(Word) – 2.
Задачі
15. У діалекті Турбо Паскаль на цілих типах визначена операція "додавання за модулем 2" із знаком xor. Вона виконується шляхом побітового додавання операндів за правилами 0 0=1 1=0, 1 0=0 1=1, тобто без переносу 1 у наступний розряд. Наприклад, у типі Byte 220 xor 127 =163 – це добре видно в байтовім поданні:
11011100
01111111
10100011
Довести її властивості: якщо a, b, c позначають довільні цілі операнди, то
a xor a = 0, a xor 0 = a, a xor b = b xor a,
(a xor b) xor c =a xor (b xor c), (a xor b) xor b = a.