Реферат на тему:

RSA – алгоритмів кодування з відкритим ключем

Перший алгоритм кодування з відкритим ключем (Public Key Encryption, далі PKE) було запропоновано Вітфілдом Діффі та Мартіном Хелманом у Стендфордському університеті. Вони, а також незалежно від них Ральф Меркл, розробили основні його поняття у 1976 році. Перевага PKE полягає у відсутності потреби секретної передачи ключа.

PKE базується на нерозв’язності проблеми розкладу натурального числа на прості множники.

RSA схему шифрування було запропоновано у 1978 році та названо іменами трьох його винахідників: Роном Рівестом (Ron Rivest), Аді Шаміром (Adi Shamir) та Леонардом Адлеманом (Leonard Adleman). RSA належить до класу алгоритмів кодування з відкритим ключем.

У 80-х роках криптосистема переважно використовувалася для забезпечення секретності та достовірності цифрових даних. У сучасному світі RSA використовується в web – серверах та браузерах для зберігання таємності даних що передаються по мережі, .

Схема RSA базується на обчисленні виразів зі степенями. Відкритий текст шифрується блоками, довжина кожного із яких менша за деяке число n.

Алгоритм генерації ключа

A повинен згенерувати відкритий та секретний ключі:

1. Згенерувати два великих простих числа p та q приблизно однакової довжини;

2. Обчислити n = p * q, fi = (p – 1) * (q – 1);

3. Вибрати натуральне e, 1 < e < fi, взаємно просте з fi;

4. Використовуючи розширений алгоритм Евкліда, розв’язати рівняння

d * e 1 (mod fi).

Відкритий ключ: (n, e). Секретний ключ: d.

Схема шифрування RSA

B шифрує повідомлення m та надсилає A.

1. Шифрування. В робить наступні дії:

а) отримати відкритий ключ (n, e) від А;

б) представити повідомлення у вигляді натурального числа m з проміжку [1..n];

в) обчислити c = m^e mod n;

г) надіслати шифротекст c до А.

2. Дешифрування. Для отримання повідомлення m із шифротксту c А робить наступні дії:

а) використовуючи секретний ключ d, обчислити m = c^d mod n.

Теорема. Шифр c декодується правильно.

Оскільки p та q – прості числа, то  (p * q) =  (n) = (p - 1) * (q - 1), де  – функція Ейлера. З умови вибору ключа d маємо: d * e mod (n) = 1, або d * e =  (n) * k + 1 для деякого натурального k.

c^d mod n = (m^e)^d mod n = m ^{(e * d)} mod n = m ^ ^{( (n) * k + 1)} mod n = (m ^{ (n)} mod n) ^{k * m} = 1 ^{k * m} = m, оскільки за теоремою Ейлера m^{ (n)} mod n = 1.

Означення. RSA системою називають функцію RSA_n,e(x) = x^e mod n та обернену їй RSA^-1_n,e(y) = y^d mod n, де e – кодуюча, а d – декодуюча експонента, x, y Z_n^*.

Приклад

1. Оберемо два простих числа: p = 17, q = 19;

2. Обчислимо n = 17 * 19 = 323, fi = (p - 1) * (q - 1) = 16 * 18 = 288;

3. Оберемо e = 7 (НСД(e, fi) = 1) та розв’яжемо рівняння 7 * d  1 (mod 288), звідки d = 247.

Побудовано RSA систему: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Відкритий ключ: n = 323, e = 7, секретний ключ: d = 247.

1. m = 4. Кодування: 4⁷ mod 323 = 234. Декодування: 234²⁴⁷ mod 323 = 4.

2. m = 123. Кодування: 123⁷ mod 323 = 251. Декодування: 251²⁴⁷ mod 323 = 123.

Циклічна атака

За відомим шифром c (c = m^e mod n) злодій, маючи відкритий ключ e та n, бажає знайти повідомлення m. Він починає будувати послідовність чисел

c, c^e, , , …

Оскільки обчислення відбуваються в групі Z_n*, то елемпнти послідовності знаходяться в межах від 0 до n - 1. Отже існує таке натуральне k, що с = . Враховуючи що c = m^e mod n, маємо: m^e = або m = .

Таким чином для знаходження повідомлення m за його шифром c необхідно побудувати послідовність c, c^e, , , …, , = c, і взяти її передостаннє число.

Приклад

Розв’язати рівняння: m⁷ mod 323 = 251.

e = 7, n = 323, c = 251.

k
0	251
1	310
2	47
3	4
4	234
5	123
6	251

З таблиці маємо: c = = 251. Оскільки m^e = , то m = = 123.

Атака методом осліплення

Припустимо, А має секретний ключ RSA системи, а Z – злодій, який перехопив шифр c і хоче декодувати його. При цьому А відмовляє видати Z вихідний текст m. Тоді Z обирає деяке значення b  Z_n^*, обчислює c’ = b^e * c і просить А дешифрувати його. А погоджується дешифрувати c’ своїм секретним ключем d, оскільки зміст повідомлення c’ йому ні про що не говорить і виглядає невинним. Отримавши m’ = c’^d mod n, злодій Z обчислює m = m’ / b і отримує шукане m. Шифром m дійсно є c, оскільки m^e = m’^e / b^e = c’^de / b^e = c’ / b^e = c.

Така атака можлива, оскільки А не знає повної інформації про шифр c’, який дає йому злодій Z.

Приклад. Нехай А має RSA систему: p =17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Злодій Z перехопив шифр c = 234 і хоче знайти таке m, що m⁷ = 234 mod 323.

1. Z обирає b = 10  Z₃₂₃^*, обчислює c’ = 10⁷ * 234 mod 323 = 14 і просить А дешифрувати його.

2. A обчислює m’ = 14²⁴⁷ mod 323 = 40 і передає його Z.

3. Z знаходить шукане повідомлення обчислюючи

m = 40 / 10 = 40 * 10^-1 = 40 * 97 = 4 mod 323.

Таким чином 4⁷ = 234 mod 323.

Прискорення дешифрування

За допомогою китайської теореми про лишки можна прискорити процес дешифрування, знаючи секретні прості числа p та q.

Алгоритм

Дешифрування. А має декодуючу експоненту d, а також p та q (n = p * q). А отримує від В шифр с та повинен виконати операцію c^d (mod n).

1. Обчислити d_p = d mod (p - 1), d_q = d mod (q - 1)

2. Обчислити m_p = mod p, m_q = mod q.

3. Розв’язати систему лінійних порівнянь

Розв’язком системи буде декодоване повідомлення: m = c^d (mod n).

Приклад

Нехай RSA система має вигляд: p = 17, q = 19, n = 323, e = 7, d = 247.

Для розв’язку рівняння m⁷ mod 323 = 251 (c = 251) обчислимо 251²⁴⁷ mod 323:

1. d_p = 247 mod 16 = 7, d_q = 247 mod 18 = 13;

2., m_p = 251⁷ mod 17 = 4, m_q = 251¹³ mod 19 = 9;

3. Розв’яжемо систему лінійних порівнянь

Розв’язуючи її методом Гауса, отримаємо m = 123.

Отже 123⁷ mod 323 = 251.

Мала декодуюча експонента

Приклад. Виберемо аовідомлення m = 13 та зашифруємо його трьома різними RSA системами.

1. p = 5, q = 17, n = 85, e = 3, d = 57,

m³ mod 85 = 72;

2. p = 11, q = 23, n = 253, e = 3, d = 169,

m³ mod 253 = 173;

3. p = 17, q = 23, n = 391, e = 3, d = 261,

m³ mod 391 = 242;

Для знаходження повідомлення m за відкритими ключами (n_i, e_i ) та перехопленими шифрами c_i складемо систему порівнянь

Одним із її розв’язків буде x = 2197 = 13³. Тобто шуканим повідомленням буде m = 13.

Неприховані повідомлення

Означення. Повідомлення m називається неприхованим, якщо його шифр дорівнює самому повідомленню, тобто m^e = m (mod n).

Наприклад, повідомлення m = 0 та m = 1 завжди є неприхованими для довільних значень e та m.

Твердження. Кількість неприхованих повідомлень в RSA системі дорівнює

(1 + НСД(e - 1, p - 1)) * (1 + НСД(e - 1, q - 1))

Оскільки значення e - 1, p - 1 та q - 1 – парні, то НСД(e - 1, p - 1)  2, НСД(e - 1, q - 1)  2, а отже кількість неприхованих повідомлень завжди не менша за 9.