Конвекционный ток в зазоре 2-го резонатора может быть представлен суммой гармоник частоты w. Опуская математические подробности, запишем разложение мгновенного конвекционного тока модулированного пучка в виде ряда Фурье:

i₂(t₂) = I₀[1 + 2J_n(nX)cos n(wt₂ - q_s)], (1-16)

где J_n(nX) - функции Бесселя первого рода, n - номер гармоники. В частности амплитуда тока произвольной гармоники:

I_2n = 2I₀J_n(nX). (1-17)

Амплитуда тока n-ой гармоники, наведенного во 2-м резонаторе n-ой гармоникой конвекционного тока (1-16), численно равна амплитуде (1-17), умноженной на коэффициент взаимодействия электронного пучка с зазором M_2n при частоте данной гармоники, который может быть определен согласно (1-3’). Тогда мощность, отбираемая 2-м резонатором из пучка, по законам электротехники:

P_2n = (1/2) [M_2nI_2n ]_навU_2n cosj, (1-18)

где U_2n - амплитуда напряжения в зазоре выходного резонатора, j - фазовый сдвиг между наведенным током и напряжением из-за влияния импеданса внешней нагрузочной цепи. Мощность постоянного тока, подводимая к ускоряющему электроду I₀U₀, при малом параметре U₁/2U₀ не расходуется на модуляцию пучка по скорости, так как количество ускоренных электронов примерно равно количеству замедленных. Эта мощность расходуется лишь на возбуждение наведенных токов в выходном резонаторе и оставшаяся мощность пучка - в аноде. Беря отношение (1-18) к мощности постоянного тока источника, получаем электронный к.п.д. клистрона:

h_эл = (U_2n/U₀)M_2nJ_n(nX)cosj (1-19)

Оценим максимально возможный электронный к.п.д. Все входящие в (1-19) сомножители - независимы, поэтому каждый из них может принимать наибольшее значение, тогда пусть: (U_2n/U₀) = 1; для малого пролетного угла M_2n » 1; j = p, так как для отдачи энергии пучок должен двигаться против тормозящего поля, тогда

h_{эл макс} = {J_n(nX)}_макс . (1-20)

Оптимальная величина параметра X, отвечающая h_{эл макс}, для любого n больше 1.

Таблица1

.Максимальный электронный к.п.д. 2-хрезонаторного клистрона на гармониках частоты модуляции электронного потока на входном резонаторе.

n	hэл макс	Xмакс
1	58,2	1,84
2	48,7	1,53
3	43,4	1,40
8	32,0	1,22
16	26,0	1,13

Пролетные клистроны успешно используются в качестве усилителей мощности при неизменной амплитуде и частоте входного сигнала. При этом удается исключить влияние нелинейных искажений, добиться высокого к.п.д. при оптимальном группировании. Для дополнительного повышения к.п.д. пролетные клистроны делают многорезонаторными (Рис.1-1б). Каждый следующий резонатор одновременно играет две роли: улавливателя по отношению к первому резонатору и группирователя по отношению к третьему (их может быть три-четыре и более). Максимально возможный электронный к.п.д. многорезонаторного пролетного клистрона достигает 74%. Импульсные многорезонаторные клистроны в дециметровом диапазоне достигают мощности порядка десятков МВт, а в сантиметровом диапазоне - доли МВт. Напряжение питания таких клистронов доходит до сотен кВ, а реальный к.п.д - до 40 ¸ 50%. Большое содержание высших гармоник в конвекционном токе пучка позволяет их использовать также в качестве умножителей частоты. Пролетный клистрон усилитель можно сделать генератором если осуществить положительную обратную связь между резонаторами: улавливателем и группирователем.

Отражательный клистрон

Отражательный клистрон был впервые предложен Н.Д.Девятковым, Е.Н.Данильцевым, И.В.Пискуновым и независимо В.Ф.Коваленко в 1940 г. (Рис.1-1в). Он состоит из электронной пушки (1-2), резонатора (3) и отражателя (4). Как и в пролетном клистроне, проходя сквозь резонатор, электроны модулируются по скорости. За резонатором они оказываются в тормозящем электрическом поле отражателя, находящегося под отрицательным потенциалом. По пути торможения и ускорения (в обратном направлении) электроны группируются и, пройдя резонатор второй раз, возбуждают в нем наведенные токи. Таким образом, резонатор совмещает в себе функции группирователя и улавливателя.

Скорость электронов, прошедших через резонатор, будет промодулирована так же, как и в пролетном клистроне (1-5):

v » v₀[1 + (1/2)(MU₁/U₀) sinwt₁] = v₀ [1+ (v₁/v₀) sinwt₁],

Рассмотрим, как будет происходить группирование электронов в тормозящем поле. Пусть t₁ - время вылета электрона из резонатора, а t₂ - время его возврата, тогда время пребывания электрона в тормозящем поле t = t₂ - t₁. Найдем t , решая задачу о движении электрона в этом поле md²x/dt² = - eE, где E = (U₀ + |U_отр|)/D - напряженность тормозящего поля. В результате интегрирования уравнения движения получаем:

t = t₂ - t₁ = d/v + 2mv/eE, (1-21)

Первое слагаемое учитывает время движения электрона от середины зазора до сетки и обратно. Подставляя (1-5) в (1-21), умножая на w и раскладывая первый член (1-21) по малому параметру v₁/v₀, получаем выражение для w(t₂ - t₁) в виде:

w(t₂ - t₁) = wd/v₀ + (2m /eE)v₀w + [(2m/eE)wv₁ - wdv₁/v₀²] sinwt₁. (1-22)

Используя обозначение: q = wd/v₀ и введя новое обозначение

Q* = (2me/E)wv₀, (1-23)

соответствующее углу пролета в пространстве группировки, перепишем (1-22) по аналогии с (1-11):

wt₂ - (Q* + q) = wt₁ + Xsin wt₁, (1-24)

где X = (MU₁/2U₀)(Q* - q) - параметр группировки, а M - коэффициент взаимодействия электронов с СВЧ полем зазора (1-3’). Отличия в уравнениях (1-11) и (1-23) не являются принципиальными, так как в случае Q* >> q углом пролета в зазоре можно пренебречь по сравнению с углом пролета в пространстве группировки, а стоящий перед правым слагаемым знак (+) легко изменить на (-), если исходно в уравнении (1-5) положить аргумент sin в виде (wt₁ + p). В результате график зависимости фазы возвращения электрона в зазор от фазы его первого прохождения через зазор (Рис.1-3б) оказывается идентичным с графиком для пролетного клистрона (Рис.1-3а), но со сдвигом начала координат на p.

Чтобы получить конвекционный ток i₂, повторим процедуру (1-13)- (1-14):

i₂ = I₀ / | dt₂/dt₁ | = I₀/[1 - X cos(wt₁- p) ] = I₀/[1 - (MU₁/2U₀) cos(wt₁- p) ]. (1-25)

Форма волны конвекционного тока имеет такой же вид , как у двухрезонаторного пролетного клистрона (Рис.1-4). Далее можно было бы провести и процедуру разложения (1-25) в гармонический ряд аналогично (1-15), однако, поскольку единственный резонатор отражательного клистрона совмещает в себе функции модулятора и улавливателя, высшие гармоники в нем не возбуждаются за исключением первой. Первая и единственная гармоника конвекционного тока может быть представлена в виде:

(i₂)₁ = 2I₀J₁(X)cos [wt₂- (Q* + q)] (1-26)

Каким должно быть Q*_опт у отражательного клистрона? Электронные сгустки формируются в тормозящем поле дрейфового пространства относительно электрона, влетающего в него в момент перехода напряжения в зазоре через 0, но, в отличие от пролетного клистрона, при отрицательной производной напряжения. Это понятно, поскольку более быстрые электроны, вылетевшие из зазора раньше, залетают от него дальше и дольше движутся в тормозящем поле, чем медленные электроны, вышедшие из зазора позднее, но быстрее преодолевающие более короткий путь. Возвращаясь, электроны должны входить в зазор в тормозящей, т.е.сдвинутой на p, фазе поля. Такой же сдвиг фазы группирующего напряжения на p (замена положительной производной на отрицательную(U₁sinwt)’при U₁sinwt = 0) дает в результате идентичное с (1-15) условие на Q*_опт (углом q пренебрегаем):

Q*_опт = 2p(n + 3/4), n = 0, 1, 2, 3 .... (1-27)

Условие (1-27) определяет “квантование” зон генерации отражательного клистрона. Подставляя в (1-23) параметры, определяющие работу прибора: v₀ = (2eU₀/m)^1/2; w = 2pn, где n - его резонансная частота ; E = (U₀ + |U_отр|)/D, где U_отр - напряжение отражателя, а D - расстояние между отражателем и обращенной к нему сеткой зазора; получаем рабочую формулу для центра зон генерации клистрона:

n + 3/4 = 4pnD(eU₀/m)^1/2(U₀ + |U_отр|) ^-1 . (1-28)

Чем выше |U_отр|, тем ниже порядковый номер зоны генерации n (см.Рис.1-5), поскольку с ростом напряжения |U_отр| время пребывания электронов в пространстве дрейфа сокращается.

Опуская выводы, дадим выражения для мощности генерации отражательного клистрона и его электронного к.п.д.

P* = I₀U₀XJ₁(X)[p(n + 3/4)]^-1 , (1-29)

h_эл* = XJ₁(X)[p(n + 3/4)]^-1 . (1-30)

При X » 2,41 функция XJ₁(X) имеет максимум, равный 0,398, таким образом максимальный электронный к.п.д.:

h_эл*_макс » 0,4/(n + 3/4). (1-31)

С увеличением номера зоны генерации к.п.д. клистрона и мощность уменьшаются.

Таблица 2

Максимальный электронный к.п.д. отражательного клистрона

Отражательные клистроны относятся к категории маломощных СВЧ генераторов. Они работают в диапазоне от 1 до многих десятков ГГц, но их максимальная мощность не превышает нескольких Вт, чаще всего их мощность составляет единицы-десятки мВт. Они находят широкое применение на практике в передатчиках радиорелейных линий связи, в гетеродинах СВЧ приемников, в измерительной технике и пр., где требуется их способность к перестройке частоты, которая может быть и электронной и механической. Диапазон механической перестройки частоты составляет от 1 до 20 и даже до 40%. Диапазон электронной перестройки отражательного клистрона ограничен нагруженной добротностью его резонатора. Это компактные, легкие и недорогие приборы, которые продолжают использоваться в СВЧ технике, несмотря на конкуренцию со стороны твердотельных приборов (ЛПД и диодов Ганна).

Приборы с распределенным взаимодействием потока электронов с СВЧ полем. Волновые лампы.

К волновым лампам относят СВЧ приборы с длительным взаимодействием пространственно модулированного электронного потока с электромагнитными полями замедляющих структур. При этом различают лампы бегущей волны (ЛБВ) и лампы обратной волны (ЛОВ), использующие для усиления сигнала кинетическую или потенциальную энергию электронного пучка в пространстве взаимодействия. В отличие от клистронов, в которых взаимодействие электронного потока с СВЧ полями “зажато” в узких зазорах резонаторов, в лампах бегущих волн электронный поток испытывает взаимодействие на большом протяжении с замедленной СВЧ волной, распространяющейся в нерезонансной колебательной системе вместе с потоком. Важным преимуществом ламп бегущей волны в отличие от клистронов являются их широкополосность и диапазон электронной настройки, качества незаменимые при создании широкополосных управляемых усилителей и генераторов СВЧ. Первые из них называются приборами “О-типа”, а вторые - “М-типа”.

Лампы бегущей волны “О-типа”

Схема ЛБВ представлена на Рис.2-1. Электронная пушка 1 создает узкий коллимированный пучок электронов, который пронизывает по оси замедляющую структуру 4, выполненную, например, в виде спирали с малым шагом, и далее поступает на коллектор 6. Для преодоления поперечного расплывания пучка как силами собственного объемного заряда так и силами поперечной составляющей электрического поля волны служит продольное магнитное поле соленоида 3. Начало и конец спирали оптимально связаны с входным 2 и выходным 5 волноводами настройкой с помощью согласующих поршней 9. Локальный поглотитель 7 вводят для разделения входа и выхода усилительной лампы с целью устранения ее самовозбуждения, когда небольшое отражение мощной волны на выходе создает нежелательную обратную связь.

Электронный поток взаимодействует внутри спирали с осевой компонентой электрического поля бегущей волны в прямом направлении и при определенных условиях отдает ей часть своей кинетической энергии, приводя к усилению ее сигнала. В той же последовательности, как и в клистронах, электронный пучок должен пройти стадию группирования электронов в сгустки и затем - стадию передачи энергии электромагнитному полю через наведенные токи в замедляющей структуре. Наилучший результат группирования достигается если фазовая скорость

волны равна скорости электронного потока, т.е. v_ф=v₀. */ Пространственная волна

электрического поля в системе координат, связанной с потоком, выводит электроны из состояния равновесия и вынуждает их скапливаться вблизи точек E_z = 0, где электрическое поле волны меняет знак c (+) на (-) в направлении распространения, поскольку положительная полуволна ускоряет электроны, а отрицательная - тормозит их (Рис.2-2а). На группирование нужно достаточное время, особенно если входной сигнал слабый. Это происходит на некотором начальном участке спирали до локального поглотителя 7 (Рис.2-1). При выбранном условии v_ф = v₀ количество ускоренных и замедленных электронов равно друг другу и общая их энергия остается неизменной.

Картина изменится, если равенство скоростей слегка нарушить: v_ф ¹ v₀. Пусть, например, v₀< v_ф, процесс группирования остается удовлетворительным, но волна сгруппировавшихся электронов начинает постепенно отставать по фазе от бегущей волны, пока сгустки не окажутся в ее ускоряющем поле. Электромагнитная волна будет затухать, отдавая энергию электронам (Рис.2-2б). Наоборот, при v₀> v_ф электронные сгустки будут испытывать торможение со стороны волны, находясь в фазе тормозящего поля, их кинетическая энергия будет трансформироваться в энергию волны.

Перекачка энергии от электронов волне увеличивает амплитуду ее поля, но верно и обратное: увеличение поля волны усиливает процесс группирования. Оба процесса, поддерживая друг друга, экспоненциально нарастают по мере движения электронного потока вдоль замедляющей структуры.

Теория волн пространственного заряда в электронном потоке

Рассмотрим вывод дисперсионного уравнения для волн пространственного заряда, распространяющихся в электронном потоке в безграничном пространстве. Вывод строится на основании уравнений электродинамики и гидродинамики:

уравнения движения:

dv/dt = eE/m (2-1)

уравнения непрерывности:

¶r/¶t + div(rv) = 0 (2-2)

уравнения Пуассона

divE = r/e₀e^* , (2-3)

где e₀ - диэлектрическая постоянная, e^* - относительная диэлектрическая проницаемость среды, для вакуума e^* = 1.

Примечание: Заметим, что направляемые ТЕМ волны имеют фазовую скорость, v_ф=c. Электронные же пучки всегда имеют скорость v₀ < c_. Поэтому, чтобы добиться выполнение условия v_ф = v₀ < c для замедления электромагнитных волн нужно использовать замедляющие структуры.

Используются следующие допущения: а) решается одномерная задача: направления электрического поля волн, возмущений плотности зарядов совпадают с направлением потока; б) переменные составляющие всех величин много меньше их постоянных значений: r << r₀; v << v₀; в) постоянная составляющая электронного пространственного заряда в пучке скомпенсирована ионами. С учетом этих допущений уравнения (2-1) - (2-3) принимают вид:

¶v/¶t + v₀¶v/¶z = (e/m)E; (2-4)

¶r¶t +r₀ ¶v/¶z + v₀ ¶r/¶z = 0; (2-5)

¶E/¶z = r /e₀ . (2-6)

Запишем решение для любой переменной (r, v или E) в общем виде:

A = A_mexp{i(wt - gz)}, (2-7)

где g - постоянная распространения волны (действительная величина).

После подстановки (2-7) в (2-4) - (2-6) получаем систему алгебраических уравнений:

iwv - i gv₀v = (e/m)E (2-8)

iwr - igr₀v -igv₀r = 0 (2-9)

- igE = r /e₀ (2-10)

Совместные преобразования уравнений дают новое уравнение, устанавливающее связь между характеристиками волны и потока электронов:

(w - gv₀)² = er₀/(e₀m) (2-11)

или (w - gv₀)² = w_b², (2-12)

где w_b² = [er₀/(e₀m)]^1/2 - плазменная частота электронного потока.

Полученное дисперсионное уравнение показывает, что при данной частоте w существует два значения постоянной распространения g:

g₁ = (w + w_b)/v₀ и g₂ = (w - w_b)/v₀ , (2-13)

которые соответствуют двум волнам с разными фазовыми скоростями v_ф = w/g_1,2:

v_ф1 = v₀(1 + w_b/w)^-1 и v_ф2 = v₀(1 - w_b/w)^-1, первая (1) из которых медленнее самого потока (v_ф1< v₀), а вторая (2) - быстрее (v_ф1> v₀).

Покажем, что энергосодержание этих волн различно. Для этого проведем вычисление средней плотности кинетической энергии для каждой волны, вычтя из полной энергии W_к соответствующую энергию немодулированного потока W_к0:

W_к - W_к0 = (2el ) ^-1 m(v₀ + v)²(r₀ + r)dz, - m v₀² r₀/2e (2-14)

Интегрирование проводится в объеме, ограниченном единичной площадкой поперек потока и длиной l, соответствующей длине каждой из волн. Подставив в (2-14) выражения для v и r в форме (2-7) и проведя отдельно интегрирование каждого из слагаемых и суммируя их, получаем:

W_к - W_к0 = (mr₀v_m²/4e) [1 ± 2(w_b±w)/w_b], (2-15)

Здесь v_m - амплитуда модуляции скорости электронов в волне; верхние знаки соответствуют медленной волне (1), а нижние - быстрой волне. Определим теперь избыток плотности энергии в модулированном электронном потоке DW_{1, 2}, добавив к (2-15), усредненную по l плотность энергии электрического поля волн

W_e = mr₀v_m²/4e, т.е.: (2-16)

DW = W_к - W_к0 + W_e, (2-17)

что после несложных преобразований дает:

DW₁ = - (mr₀v_m²/2e)w/w_b для медленной волны (2-18)

и DW₂ = + (mr₀v_m²/2e)w/w_b для быстрой волны. (2-19)

Таким образом, медленная волна имеет дефицит энергии по отношению к невозмущенному потоку, а быстрая ее - избыток. Это значит, что медленная волна будет усиливаться, отбирая у него излишек энергии, а быстрая волна, наоборот, будет затухать, отдавая потоку свой избыток энергии. Характерно и то, что фазы волн плотности заряда и волн скорости у обеих волн различны (Рис.2-3). У быстрой волны максимумы плотности электронов совпадают с максимумами их скорости (а), а у медленной - они в противофазе (б), что и предопределяет низкое энергосодержание этой волны и ее способность к усилению. Передача энергии от электронного потока к медленной волне приводит к увеличению ее амплитуды, что, в свою очередь, усиливает группирование потока. Благодаря положительной обратной связи, оба процесса развиваются экспоненциально быстро по направлению течения электронного потока вдоль замедляющей системы. Чтобы отобрать энергию из медленной волны пространственного заряда необходимо обеспечить ее синхронизм с электромагнитной волной замедляющей системы, в которую в конечном счете перекачивается кинетическая энергия электронов при посредничестве медленной волны пространственного заряда. Замедляющие системы направляемых электромагнитных волн неизбежно ограничивают рассматривавшийся теорией безграничный поток электронов в направлении, поперечном распространению волн и самого потока. Поэтому теория ЛБВ должна учитывать обстоятельства, связанные с этим ограничением.

Лампа обратной волны

Стремление разработчиков СВЧ генераторов расширить рабочую полосу частот в лампах с распределенным взаимодействием пучка с полем замедляющей структуры привело их к созданию ламп обратной волны (ЛОВ). Чтобы добиться электронной перестройки частоты на октаву и более, сохраняя при этом фазу входного сигнала (2-60) при n = const, нужно искать такие условия, при которых суммарный фазовый сдвиг в кольце обратной связи оставался бы постоянным при изменении частоты генератора. Этого можно было бы достигнуть, если бы цепь обратной связи обладала аномальной дисперсией и набег фазы в этой цепи уменьшался с увеличением частоты. Однако обычные передающие линии имеют нормальную дисперсию (dv_ф/dw < 0) и не могут служить этой цели. Решение проблемы было найдено в использовании аномальной дисперсии пространственных гармоник поверхностной волны замедляющей структуры.

Дисперсионные характеристики замедляющей структуры

Рассмотрим пути решения этой проблемы в следующей последовательности: сначала в общем виде рассмотрим дисперсионные свойства периодической передающей линии, проявляющиеся в наличии пространственных гармоник у основной волны передающей линии, затем выведем дисперсионное уравнение для основной волны, например, периодической структуры типа гребенки и, наконец, дадим диаграмму, отображающую дисперсию основной волны и ее гармоник, с помощью которой проиллюстрируем свойство отрицательной дисперсии у обратной волны, которая играет главную роль в ЛОВ.

1)При распространении электромагнитной волны в замедляющей системе, у которой пространственный период h и длина замедленной волны L соизмеримы, волна испытывает пространственно-периодическое возмущение, связанное с ее отражением от дискретных элементов системы. Последующая за этим интерференция отраженных волн с основным типом распространяющейся волны рождает сложное распределение электромагнитного поля вдоль замедляющей системы, которое может быть представлено в виде:

E(x,y,z.t) = E_Mexp{i(wt - gz)}A(x,y,z), (2-62)

где A(z) - периодическая функция с периодом, равным шагу замедляющей структуры h. Согласно теореме Флоке:

A(x,y,z +nh) = A(x,y,z), (2-63)

где n = 0; ±1; ±2 ... Периодическая функция (2-63) может быть представлена рядом Фурье по пространственным гармоникам:

A(x,y,z) = a_m(x,y) exp{- i2pmz/h}. (2-64)

Подставив (2-64) в (2-62), получим электрическое поле в виде ряда

E(x,y,z.t) = E_Mm (x,y) exp i{wt - (g +2pm/h)z}. (2-65)

Здесь: E_{m k} = E_ma_k- амплитуда гармоник. Выражение

(g₀ +2pm/h) = g_m (2-66)

будем рассматривать как постоянную распространения гармоник, а g₀ - как постоянную распространения основной волны, когда m = 0. Из (2-66) получим выражение для фазовой скорости волны и ее гармоник:

v_фm = w/g_m = w/[g₀(w) +2pm/h]. (2-67)

Номера гармоник m могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, при этом с ростом m модуль фазовой скорости уменьшается, что облегчает условие синхронизации с пучком, поскольку позволяет снизить его скорость. При m<0 фазовая скорость гармоник отрицательна. C ростом m второй член в знаменателе (2-67) может превзойти g₀(w) и тогда v_фm будет стремиться к пропорциональности с w.

Групповая скорость гармоник согласно определению и (2-66) :

v_грm = dw/dg_m = dw/dg₀ = v_{гр 0} , (2-68)

оказывается не зависящей от m и синхронна с групповой скоростью основной волны.

2)Дисперсионные свойства основной волны рассмотрим на примере замедляющей структуры типа гребенки (Рис.2-7а). Пусть высота зуба L, его толщина d и период повторения h по отношению к длине волны в вакууме l удовлетворяют неравенствам:

l > L >> h >> d; l > L. (2-69)

Выберем направление осей: x - по нормали к плоскости гребенки, y - вдоль пазов гребенки, z -в направлении распространения волны. Поле поверхностной волны при удалении от гребенки по x экспоненциально убывает, как это видно из уравнений для комплексных амплитуд:

E_x1 = ig₀pA exp(-px)exp(-ig₀z),

H_y1= iwe₀pA exp(-px)exp(-ig₀z), (2-70)

E_z1 = p²A exp(-px)exp(-ig₀z),

H_x1 = E_y = H_z = 0.

Поле в пазах гребенки, которые можно рассматривать как закороченные отрезки плоских волноводов длиной L имеет лишь две составляющие:

E_z2 = Bsin[k(x + L)],

H_y2 = iBZ₀^-1cos[k(x + L)], (2-71)

где g₀ = 2p/L - продольное волновое число замедленной волны; A, B - амплитудные коэффициенты, Z₀ = (m₀/e₀)^1/2 - волновое сопротивление вакуума. Приравнивая попарно тангенциальные электрические и магнитные составляющие поля на границе раздела, x = 0: E_x1 = E_x2; H_y1 = H_y2 и затем деля почленно одно уравнение на другое:

E_x1/H_y1 = E_x2/H_y2 , (2-72)

получаем характеристическое уравнение гребенки вида:

p = k tg(kL). (2-73)

Продольное волновое число замедленной волны g связано с поперечным волновым числом p и волновым числом плоской волны k характеристическим уравнением:

g₀ = (k² + p²)^1/2 . (2-74)

Исключив p из уравнений (2-73) и (2-74), получаем дисперсионное уравнение гребенки:

g₀ = k /cos (kL), (2-75)

которое легко может быть преобразовано к виду:

v_ф0 = c cos (kL). (2-76)

Рис.2-7б иллюстрирует формулу (2-76) для r = µ, где r = L/h - параметр, отсутствующий в данном выводе, в виду того, что шаг гребенки согласно (2-69) принимался малым g₀h <<1. Область существования замедленной волны находится в интервале 0 < kL < p/2 (т.е. 0 < L < l/4). В области p/2 < kL < p такой волны нет , так как правая часть (2-73) отрицательна. При L® 0, p® 0, v_ф ® с, по оси z распространяется обычная плоская волна. Строгая теория с учетом конечного значения периода решетки и его параметра r заметно корректирует дисперсию гребенки (Рис.2-7б). Учет высших пространственных гармоник показывает, что поверхностная волна может распространяться лишь при условии g₀b £ p, когда b £ L/2. Попытка дальнейшего замедления приводит к срыву волны. Крайние правые точки на Рис.2-7б соответствуют именно этому условию g₀b = p.

Проиллюстрируем сказанное диаграммой w - g_m (Рис.2-8). Пусть пунктирная прямая отображает рабочую частоту w = w₁, которая находится в середине полосы пропускания, ограниченной снизу частотой отсечки w_с передающей линии (гребенчатой структуры, заключенной в волновод), а сверху - частотой w_p, при которой сдвиг фаз на одну ячейку для основной гармоники (m=0) составляет p (L=l_p/4), когда волна, входящая в периодическую структуру, полностью отражается назад, и ее распространение прекращается. Для основной волны зависимость w=f(g₀) получим из (2-75). Наклон касательной к дисперсионной кривой в точке пересечения с прямой w = w₁ соответствует v_гр0(w₁) (2-68), а наклон прямой, соединяющей начало координат с этой точкой, соответствует v_ф0(w₁), что говорит о нормальной (положительной) дисперсии основной волны. На краях полосы пропускания касательные к дисперсионной кривой становятся горизонтальными, так как v_гр0®0, распространение прекращается. Дисперсионные зависимости для гармоник основной волны m = ± 1, ±2 ...согласно (2-66) повторяются с периодом 2p/h вправо и влево по оси g. При этом касательные к точкам их пересечения с w=w₁ имеют одинаковый наклон: v_грm(w₁) = v_гр0(w₁), что вытекает из (2-68), а прямые из начала координат в эти же точки пересечения имеют разный наклон не только по величине, но и по знаку. С ростом m наклон уменьшается, что говорит об уменьшении фазовой скорости гармоник. Заполнение разрывов между дисперсионными кривыми симметричными пунктирными линиями не имеет физического смысла. Этот смысл появляется тогда, когда область отрицательных значений g мы переносим в область положительных значений для более компактного изображения графика или когда изменяем направление самой волны. Дисперсионная кривая гармоники m = -1 показывает, что ее групповая и фазовая скорости имеют противоположное направление, при этом она обладает аномальной дисперсией: dv_ф(-1)/dw>0, удовлетворяющей условию (2-61), которое не выполняется для основной волны, используемой в ЛБВ, в качестве генератора. Высшие гармоники с |m| >1 не имеют практического значения, так как их поле все сильнее прижимается к поверхности замедляющей структуры (x=0) и все слабее взаимодействует с электронным пучком, имеющим конечный поперечный размер по x.

Устройство и характеристики ламп обратной волны