Уравнения Курамото-Цузуки

Дубровский А.Д., Заверняева Е.В.

Введение

На текущий момент разработано ряд математических моделей вида реакции-диффузии:

(Q1, Q2 - нелинейные функции; λ - параметр системы) (1)

в областях:

Химии

Пример. Автокаталитическая реакция.

Для этой реакции соответствует задача:

Экологии

Теории морфогенеза

Физики плазмы

Теории горения

Другие

Требуется:

классифицировать качественное поведение решения уравнений (1) в зависимости от различных правых частей

классифицировать системы вида (1)

В работе 1975 года Курамото и Цудзуки сделали вывод, что у большинства диссипативных систем существует аналог термодинамической ветви. При всех значениях параметра, исследуемые уравнения имеют однородное по пространству стационарное решение. Это решение устойчиво при λ<λ₀. Поведение решений после потери устойчивости термодинамической ветви (λ>λ₀) определяется спектром линеаризованной задачи для уравнения (1) в окрестности точки бифуркации λ₀. Уравнение, предложенное Курамото и Цудзуки, описывает поведение в окрестностиλ₀, вида:

(2)

Функция W(R, T) - характеристика отклонения решений системы (1) от пространственно-однородного решения. Таким образом, уравнение (2) описывает только случаи, когда при λ>λ₀ решение остается в малой окрестности термодинамической ветви.

Без ограничения общности, в уравнении (2) можно положить с₀=0, в этом можно убедится сделав замену переменных W=W´exp(i c₀ t). И так получается, вторая краевая задача при условии, что потоки на границе равны нулю:

(3)

Упрощенная модель

Предположим, что в изучаемом решении системы (3) есть только две моды:

(4)

Остальными пренебрежем, поскольку коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их номера. Коэффициент k будем выбирать так, чтобы выполнялись граничные условия задачи (3), например: k=π/l. Подставим (4) в (3) и отбросим все члены, куда входит cos(πmx/l), m>1, считая, что они пренебрежимо малы.

(5)

Пусть (для удобства), то получается соотношения:

(6)

Сделаем замену переменных в (6)

(7)

Двухмодовая система

Рассмотрим систему (7).

Простейшие решения

ξ=0, η=0, θ=2c₁k²t+const – неустойчивый узел в системе (5).

ξ=0, η=0, θ= θ(t), c₁²k⁴+2c₁c₂k²-1=0 – две особых точки седло и устойчивый узел. Узел теряет устойчивость на линии (c₁²+1)k⁴+2k²(1+c₁c₂)=0.

ξ=0, P(c₁,c₂,k)=(9c₁²+6c₁c₂-4-3c₂²)k⁴-2k²(3c₁c₂-4-3c₂²)-(4+3c₂²)

P(c₁,c₂,k)≤0, k<1 – пара особых точек. Одна из них устойчива при P(c₁,c₂,k)>-(4k²-1)².

P(c₁,c₂,k)>0 – инвариантная прямая, при k<1/2 – устойчива.

Свойства системы

Ограниченность решений.

Из системы (7): Следовательно: Так как z(t) ограничена и, то ξ(t) и η(t) - ограничены.

Особые точки

ξ=0 или η=0 - уже рассматривались.

Другие особые точки определяются из уравнений

Система может иметь:

Двукратный корень, если выполнены равенства

Трехкратный при

Ограниченная двухмодовая система

Мы перешли к системе (7) трех уравнений, в которой переменная θ играет роль угла и может неограниченно расти при t>∞. Сделаем замену переменных следующим образом:, получаем

(8)

Систему (8) имеет ограниченное решение при z>0. Особые точки и решения, которые возникают при x=0 или y=0, рассмотрены выше.

Далее ограничим задачу, будем рассматривать систему (8) только при k=1.

Режимы

Система (8) - модель, в которой возникают различные режимы:

Стационарный

Простой предельный цикл

Пример. c₁=3,c₂=-4;k=1;

Сложный предельный цикл

Атрактор

Не исключено проявление квазиатрактора

Данное проявление связанно с существованием нескольких различных в пространстве предельных областей, эти области могут находиться на очень близком расстоянии. В результате при численном анализе, траектория может скакать с одного решения на другое. Пример, существования двух областей притяжения на рис. при c₁=1.21, c₂=-9, k=1.0.

Бифуркации

На рисунке показана карта бифуркаций в области обцыса c₁=[1; 8], ордината c₂=[-5; -5.67], k=1 с шагом 0.01 по параметрам c₁ и c₂.

Каждой точке соответствует пара c1, c2 и цвет, обозначающий

красный - хаотическое поведение

синим - бифуркация удвоения периода

черным - остальные бифуркации пер

Список литературы

Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. "Введение в синергетику": Учеб. руководство. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990. - 272с. - ISBN 5-02-014475-4

Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. "О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации". - УДК 517.958

Малинецкий Г.Г. "Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику." - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 256 с. - ISBN 5-8360-0132-4