Принцип Дирихле

Андреев А.A., Савин А.Н., Саушкин М.Н.

Введение

При решении многих задач используется логический метод рассуждения — "от противного". В данной брошюре рассмотрена одна из его форм — принцип Дирихле. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на пнепересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.

По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "зайцев и клеток". Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что — "зайцы". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве. Цель этого статьи — познакомить школьника с некоторыми изюминками решения задач на принцип Дирихле.

Статья предназначена главным образом для старшеклассников, однако школьники младших классов также несомненно найдут в ней много полезного.

Формулировка принципа Дирихле

Самая популярная формулировка принципа Дирихле звучит так:

ФОРМУЛИРОВКА 1. "Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдётся клетка, в которой сидят по крайней мере два зайца".

Заметим, что в роли зайцев могут выступать различные предметы и математические объекты - числа, отрезки, места в таблице и т. д.

Принцип Дирихле можно сформулировать на языке множеств и отображений.

ФОРМУЛИРОВКА 2. "При любом отображении множества P, содержащего n+1 элементов, в множество Q, содержащее n элементов, найдутся два элемента множества P, имеющие один и тот же образ".

Несмотря на совершенную очевидность этого принципа, его применение является весьма эффективным методом решения задач, дающим во многих случаях наиболее простое и изящное решение. Однако во всех этих задачах часто нелегко догадаться, что считать "зайцем", что - "клеткой", и как использовать наличие двух "зайцев", попавших в одну "клетку". С помощью принципа Дирихле обычно доказывается существование некоторого объекта, не указывая, вообще говоря, алгоритм его нахождения или построения. Это даёт так называемое неконструктивное доказательство - мы не можем сказать, в какой именно клетке сидят два зайца, а знаем только, что такая клетка есть.

Приводимые ниже теоремы и задачи показывают, что природа "зайцев" и "клеток" в различных задачах может сильно отличаться друг от друга.

Пример 1. Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника ABC, не проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника.

Решение

Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника ABC, обозначим через q₁ и q₂; эти полуплоскости будем считать открытыми (то есть не содержащими точек прямой l). Вершины рассматриваемого треугольника (точки A, B, C) будут "зайцами", а полуплоскости q₁ и q₂ - "клетками". Каждый "заяц" попадает в какую-нибудь "клетку" (ведь прямая l не проходит ни через одну из точек A, B, C). Так как "зайцев" три, а "клеток" только две, то найдутся два "зайца", попавшиев одну "клетку"; иначе говоря, найдутся такие две вершины треугольника ABC, которые принадлежат одной полуплоскости. См рисунок.

Пусть, скажем, точки A и B находятся в одной полуплоскости, то есть лежат по одну сторону от прямой l. Тогда отрезок AB не пересекается с l. Итак, в треугольнике ABC нашлась сторона, которая не пересекается с прямой l.

Пример 2. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5.

Решение

Средние линии правильного треугольника со стороной 1 разбивают его на четыре правильных треугольничка со стороной 0,5. Назовём их "клетками", а точки будем считать "зайцами". По принципу Дирихле из пяти точек хотя бы две окажутся в одном из четырёх треугольничков (См. рисунок). Расстояние между этими точками меньше 0,5, поскольку точки не лежат в вершинах треугольничков. (Здесь использована известная лемма о том, что длина отрезка, расположенного внутри треугольника, меньше длины его наибольшей стороны.)

Пример 3. На краю круглого стола расположены на одинаковом расстоянии друг от друга n флагов стран, за столом сидят n послов этих стран, причём каждый посол сидит рядом с чужим флагом. Доказать, что существует такое вращение стола, после которого хотя бы два посла окажутся рядом с флагом своей страны.

Решение Существует n-1 способов вращения стола, после каждого из них взаимное расположение флагов и послов изменится. Каждому послу сопоставим вращение, после которого он окажется рядом со своим флагом. Согласно принципу Дирихле при каком-то вращении два (может, и больше) посла окажутся рядом со своим флагом. В решении задачи роль "зайцев" играют, естественно, послы, а роль "клеток" - положения стола при различных вращениях. Посол попадает в "клетку", если при соответствующем этой "клетке" вращении стола он оказывается рядом с флагом своей страны. Таким образом, "клеток" у нас n-1, а "зайцев" - n. Замечание Условие о том, что вначале ни один из послов не находится рядом со своим флагом, существенно. На самом деле первоначальное положение также является "клеткой", но эта "клетка" по условию заведомо окажется пустой. Так что можно считать, что всего "клеток" имеется n-1.

Пример 4. Доказать, что для любого действительного числа a > 0 и любого натурального N найдутся такие целые m і 0 и k > 0, что |ka-m| Ј¹/_N.

Решение Разобьём отрезок [0, 1] точками ¹/_N, ²/_N, . . . , [(N-1)/( N)] на N отрезков (См. рисунок). Полученные отрезки будем считать "клетками", а числа 1, 2, . . . , N+1 примем в качестве "зайцев".

Если k - один из "зайцев", то число ka можно записать в виде ka = m + x, где m - целое, 0Ј x < 1 (т. е. в виде суммы целой и дробной части). Число x попадает в одну из "клеток"; в эту "клетку" мы и посадим "зайца" k.

Так как "зайцев" больше, чем "клеток", то найдутся два "зайца", сидящих в одной "клетке". Иначе говоря, среди чисел 1, 2, . . . , N+1 найдутся такие два числа k₁ < k₂, что

k1a = m1 +x1 ,    0 Ј x1 < 1,

k2a = m2 +x2 ,    0 Ј x2 < 1,

причём x₁ и x₂ находятся в одной "клетке", и поэтому |x₂-x₁| Ј ¹/_N.

Таким образом,

|(k2-k1)a-(m2-m1)| = |(k2a-m2)-(k1-m1)| = |x2-x1| 1 N ,

то есть числа k = k₂ - k₁ и m = m₂ - m₁ являются искомыми. Здесь k > 0, так как k₂ > k₁, и m і 0, так как k₂a - k₁a = (m₂ + x₂) - (m₁ + x₁) > 0, откуда m₂ - m₁ > x₁ - x₂ > -1 (ведь 0 Ј x₁ < 1 и 0 Ј x₂ < 1), и поскольку m₁ и m₂ - целые числа, m₂ - m₁ і 0.

Пример 5. На клетчатой бумаге отметили 5 точек, расположенных в узлах клеток. Доказать, что хотя бы один из отрезков, соединяющих эти точки, проходит через узел клетки.

Решение Введём на клетчатой бумаге систему координат с началом координат в одном из узлов, осями, направленными вдоль линий сетки, и единичным отрезком, равным стороне клетки. Тогда все отмеченные точки будут иметь целочисленные координаты. Покажем, что найдутся две точки из пяти, у которых одна и та же чётность координат x и координат y. "Зайцами" у нас будут точки, а "клетками" - пары (Ч, Ч), (Ч, Н), (Н, Ч), (Н, Н). Если, например, у точки (x, y) координата x чётна, а координата y нечётна, то мы её поместим в "клетку" (Ч, Н). Итак, 5 "зайцев" и 4 "клетки". Пусть (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - две точки, попавшие в одну "клетку". Середина отрезка, соединяющего эти две точки, имеет координаты ([(x₁+x₂)/ 2], [(y₁+y₂)/ 2]), которые являются целыми числами в силу одинаковой чётности x₁ и x₂, y₁ и y₂. Таким образом, середина этого отрезка лежит в узле сетки, т.е. данный отрезок является искомым.

Пример 6. На длинной прямолинейной дороге с равными интервалами вырыты небольшие поперечные канавки (См. рисунок). Расстояние между центрами каждых двух соседних канавок равно Ц2 метров. Доказать, что какими бы узенькими эти канавки ни были сделаны, человек, шагающий по дороге и имеющий длину шага 1 метр, рано или поздно попадёт в одну из канавок.

Решение Представим, что мы можем "намотать" дорогу на барабан, длина окружности которого равна Ц2 метров. Тогда все канавки на этом барабане совместятся, а каждый шаг человека будет изображаться на окружности дугой длины 1 метр. Будем последовательно отмечать на окружности след человека после первого, второго, третьего и так далее шагов. Нам надо доказать, что хотя бы один из этих следов попадёт внутрь заданной на окружности дуги, изображающей канавку, какой бы малой ни была длина h этой дуги. Нетрудно понять, что если нам удастся найти такие k и m, для которых следы k-го и (k+m)-го шагов удалены друг от друга (на окружности) меньше чем на h, то требуемое утверждение докажется легко. Ведь ещё после m шагов новый след (то есть (k+2m)-й) опять сдвинется на расстояние меньшее h, затем мы рассмотрим следующие m шагов и так далее. Ясно теперь, что, сделав несколько раз по m шагов, мы неминуемо обнаружим след, попавший в канавку (потому что, перемещаясь на одно и то же расстояние, меньшее h, нельзя "перешагнуть" канавку ширины h). Итак, нужно найти два следа, находящиеся на окружности на расстоянии, меньшем h. Вот здесь-то и помогают "зайцы". Действительно, разделим окружность на дуги, каждая из которых имеет длину меньше h; эти дуги мы и назовём "клетками". Пусть их имеется p штук. Если мы возьмём число следов большее, чем p (заметим, что никакие два следа не совпадут в силу иррациональности числа Ц2), то по принципу Дирихле хотя бы в одну из клеток попадёт более одного следа ("зайца"). Расстояние между двумя следами, попавшими в одну "клетку", меньше h; этим наше утверждение и доказано.

В ряде задач применяют следующее обобщение принципа Дирихле.

ФОРМУЛИРОВКА 3. "Если nk+1 зайцев размещены в n клетках, то найдутся k+1 зайцев, которые посажены в одну клетку (n, k - натуральные числа)".

Обобщенный принцип Дирихле также достаточно очевиден: если бы в каждой клетке сидело не более k зайцев, то во всех клетках было бы не более nk зайцев, что противоречит условию. Обобщение принципа используют, когда требуется выявить несколько (три и более) объектов, обладающих некоторым свойством. Разберём несколько примеров.

Пример 7. В прямоугольнике 5×6 закрашено 19 клеток. Докажите, что в нём можно выбрать квадрат 2×2, в котором закрашено не менее трёх клеток.

Решение

Разделим прямоугольник на 6 частей по 5 клеток (Cм. рисунок). Согласно принципу Дирихле в одной из этих частей будет закрашено не менее 4 клеток. Тогда в квадрате 2×2, содержащемся в этой части, закрашено либо 3, либо 4 клетки. Это и будет искомый квадрат.

Пример 8. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трёх из них есть двое друзей. Докажите, что есть ученик, у которого не менее 12 друзей.

Решение Выберем любых двух учеников класса, которые не дружат между собой. (Если таких нет, то все ученики класса дружат между собой, значит, у каждого имеется 24 друга, и задача решена.) Из оставшихся 23 учеников каждый дружит с одним из этих двух, иначе мы имели бы тройку учеников, среди которых не было бы друзей. Тогда у одного из выбранных двух учеников не менее 12 друзей. (23 "зайца" рассажены в двух "клетках".)

Пример 9. В единичный квадрат бросили 51 точку. Доказать, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Решение Разобьём данный квадрат на 25 одинаковых квадратиков ("клеток") со стороной 1/5. В один из них попадёт не менее трёх точек ("зайцев"). Окружность, описанная около квадратика со стороной 1/5, имеет радиус ¹/₅·[(Ц2)/ 2] = [1/( [Ц50])] < [1/( [Ц49])] = ¹/₇, поэтому этот квадратик можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Принцип Дирихле в теории чисел

Следующую теорему часто используют в школьном курсе алгебры, но доказательство не рассматривают. Его очень просто получить с помощью принципа Дирихле.

ТЕОРЕМА 1. Пусть p, q - натуральные числа, p < q. Если обыкновенную дробь p/q обратить в десятичную, то получится либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь, причём длина периода не превосходит q-1.

Доказательство Будем делить p на q "уголком" и следить за остатками. Если на каком-то шаге остаток будет нулевым, то получится конечная дробь. Если же все остатки будут отличны от нуля, то рациональное число p/q запишется в виде бесконечной десятичной дроби. Докажем, что она будет периодической. Каждый раз при нахождении очередной цифры частного будет получаться в остатке одно из чисел 1, 2, ..., q-1. Эти возможные значения остатков мы и будем считать "клетками", так что всего имеется q-1 "клеток". "Зайцами" же будут остатки, которые получаются в действительности при выполнении деления (См. рисунок). Рассмотрим первых q "зайцев". Так как их на 1 больше, чем число "клеток", то какие-то два "зайца" попадут в одну "клетку". Другими словами, не позже, чем через q - 1 шагов начнут повторяться остатки, а вслед за этим - и цифры в частном. Действительно, если на некотором шаге повторился остаток, то, приписав как обычно к нему 0, мы получим то же число, что было прежде, а, значит, снесём в частное ту же самую цифру, что и раньше; поэтому наши действия начнут повторяться. Таким образом, получится периодическая десятичная дробь с периодом длиной не более q - 1.

С давних пор математиков интересовал вопрос о существовании функций f(k), значениями которых при всех натуральных k являлись бы только простые числа. Известны функции, которые принимают подряд много простых значений. Например, Эйлер указал интересный многочлен x² - x + 41, который при всех целых x от -39 до 40 включительно принимает только простые значения (т.е. при x = 0, ±1, ±2, . . . , ±39, 40). Однако при x = 41 и x = 42 значения этого многочлена будут уже составными числами. В общем случае многочлен с целыми коэффициентами не может при всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения.

ТЕОРЕМА 2. Любой многочлен с целыми коэффициентами (отличный от константы) при некотором натуральном значении аргумента принимает значение, представляющее собой составное число.

Доказательство Пусть f(x) = a₀xⁿ + a₁x^{n - 1} +. . . +a_n, где все a_i - целые числа. Предположим, что при некотором k значение многочлена f(x) - простое число, т.е. f(k) = p, где p - простое. Многочлен степени n принимает одно и то же значение не более чем в n точках. (Действительно, если f(x) = y₀ более чем в n точках x₁, x₂, . . ., x_{n + 1}, то многочлен g(x) = f(x)-y₀ имеет корни x₁, x₂, . . ., x_{n + 1}, а, как известно, любой многочлен не может иметь более n действительных корней.) Покажем, что найдётся такое целое t, что f(k+pt) отлично от 0 и p. Нам поможет принцип Дирихле. Будем считать значени многочлена (в натуральных точках) "клетками", а натуральные числа вида k+pt "зайцами". Натуральное число N = k+pt будем помещать в "клетку", соответствующую значению многочлена f(N). Согласно высказанному выше утверждению, в "клетке" не может поместитьс больше n "зайцев". Так как "зайцев" много, то это значит, что f(k + pt) не может принимать только значени 0 и p при различных целых t, т.е. найдётся "заяц" k+pt, который не попадёт ни в "клетку" 0, ни в "клетку" p. Итак, при некотором t имеем: f(k + pt) № 0 и f(k + pt) № p. Разлагая f(k + pt) по степеням pt (используя бином Ньютона), получим

f(k+pt) = f(k) + c1pt + c2(pt)2 + . . . + cn(pt)n,

где все c_i - некоторые целые числа. Поскольку f(k) = p, из предыдущего равенства получаем, что f(k + pt) делится на p, причём f(k + pt) № 0 и f(k + pt) № p, так что f(k + pt) - составное число. Теорема доказана.

В доказательстве этой теоремы была применена несколько модифицированная форма принципа Дирихле. Далее мы расскажем о других его разновидностях, наиболее широко используемых в решениях аналитических и геометрических задач.

Следующая теорема, сформулированная П. Ферма, является одним из самых фундаментальных фактов в теории делимости целых чисел и находит широкое применение как в теоретических исследованиях, так и в арифметических приложениях.

МАЛАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА. Если p - простое число, a - целое число, не делящееся на p, то a^{p - 1} при делении на p даёт остаток 1, т. е.

ap - 1 є 1 (mod p).

Доказательство Каждое из p - 1 чисел a, 2a, . . ., (p-1)a ("зайцев") даёт при делении на p ненулевой остаток (ведь a не делится на p):

a = k1p + r1,

2a = k2p + r2,

. . . . . . . . . . . . . . .

(p - 1)a = kp - 1p + rp - 1.

Если число различных встречающихся здесь остатков ("клеток") меньше p - 1, то среди них найдутся по крайней мере два одинаковых ("в клетке по крайней мере два зайца"). Но это невозможно, так как при r_n = r_m число (n-m)a = (k_n-k_m)p делится на p, что противоречиво, ибо |n-m| < p и a взаимно просто с p. Значит, все остатки r₁, . . . , r_{p - 1} между собой различны и образуют перестановку чисел 1, 2, . . . , p - 1. Перемножая все предыдущие равенства, получаем

(p-1)! ap - 1 = N·p+ r1r2·. . .·rp - 1 = Np + (p-1)!,

где N - некоторое целое число. Следовательно, (p-1)!·(a^p-1-1) делится на p, а тогда и a^{p - 1} - 1 делится на p. Теорема доказана.

Следствие. Если p - простое число, то при любом целом a разность a^p - a делится на p.

Помимо малой теоремы Ферма применение принципа Дирихле к остаткам при делении встречается во многих других задачах элементарной теории чисел. Возможна следующая переформулировка принципа Дирихле:

"Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток".

При делении с остатком на p может встретиться конечное число различных остатков: 0, 1, 2, . . . , p-1. Они то и играют здесь роль "клеток", а сами целые числа являются "зайцами". Так как чисел ("зайцев") больше, чем остатков ("клеток"), то хотя бы два числа "сидят в одной клетке", т.е. имеют одинаковые остатки при делении на p. Рассмотрим классические примеры.

Пример 10. Дано 11 различных целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.

Решение По крайней мере два числа из 11 дают одинаковый остаток при делении на 10 (принцип Дирихле). Пусть это будут A = 10a + r и B = 10b + r. Тогда их разность делится на 10: A - B = 10(a - b).

Пример 11. Доказать, что если имеется 100 целых чисел x₁, x₂, . . . , x₁₀₀, то из них можно выбрать несколько чисел (может быть, одно), сумма которых делится на 100.

Решение Рассмотрим 100 следующих сумм:

S1 = x1,

S2 = x1 + x-2,

S3 = x1 + x2 + x3,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S100=x1+x2+ x3+. . .+ x100.

Если хотя бы одна из этих сумм делится на 100, то наша цель достигнута. Допустим, что ни одно из чисел S₁, S₂, . . . , S₁₀₀ не делится на 100. Значит, два из них при делении на 100 дают равные остатки (т. к. сумм у нас 100, а различных остатков может быть лишь 99). Пусть это S_n и S_m (n < m). Тогда разность

Sm-Sn= (x1 +. . .+ xm) - (x1 +. . .+ xn) = xn + 1+. . .+ xm

делится на 100, и поэтому сумма x_{n + 1}+. . .+ x_m является искомой.

Пример 12. Первоклассник Петя знает только цифру 1. Доказать, что он может написать число, делящееся на 1997.

Решение

Рассмотрим последовательность a₁ = 1, a₂ = 11, . . . , a_n = = 11. . .1, . . . чисел, десятичная запись которых состоит из одних единиц. Поскольку существует лишь конечное число остатков от деления на 1997, а последовательность содержит бесконечно много членов, то, согласно принципу Дирихле, среди них найдутся два, дающих одинаковые остатки: a_k и a_l (k > l). Их разность a_k - a_l = 10^l·a_{k - l} делится на 1997. Так как 10^l и 1997 - взаимно просты, то a_{k - l} делится на 1997. Это число Петя сможет записать.

КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ. Если числа a₁, a₂, . . . , a_n попарно взаимно просты, то для любых остатков r₁, r₂, . . ., r_n таких, что 0 Ј r_i < a_i при всех i = 1, 2, . . ., n, найдётся число N, которое при делении на a_i даёт остаток r_i при всех i = 1, 2, . . ., n.

Доказательство Применим индукцию по n. При n = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть теорема справедлива при n = k - 1, т.е. существует число M, дающее остаток r_i при делении на a_i при i = 1, 2, . . ., k - 1. Обозначим d = a₁a₂. . . a_{k - 1} и рассмотрим числа M, M + d, M + 2d, . . . , M + (a_k - 1)d. Покажем, что хотя бы одно из этих чисел даёт остаток r_k при делении на a_k. Допустим это не так. Поскольку количество чисел равно a_k, а возможных остатков при делении этих чисел на a_k может быть не более чем a_k - 1 (ведь ни одно число не даёт остаток r_k), то среди них найдутся два числа, имеющих равные остатки (принцип Дирихле). Пусть это числа M + sd и M + td (0 Ј s Ј a_k - 1 и 0 Ј t Ј a_k - 1). Тогда их разность (M + sd) - (M + td) = (s - t)d делится на a_k, что невозможно, т.к. 0 < |s - t| < a_k и d = a₁a₂...a_{k - 1} взаимно просто с a_k, ибо числа a₁, a₂, . . ., a_k попарно взаимно просты (по условию). Противоречие.

Таким образом, среди рассматриваемых чисел найдётся число N, которое при делении на a_k даёт остаток r_k. В то же время при делении на a₁, a₂, . . ., a_k-1 число N даёт остатки r₁, r₂, . . ., r_k-1 соответственно. Теорема доказана.

Принцип Дирихле для длин и площадей

Применительно к бесконечным множествам, имеющим меру, можно сформулировать утверждение, похожее на принцип Дирихле и столь же очевидное:

"Если внутри множества меры V расположено несколько множеств, сумма мер которых больше V, то найдётся общий элемент, принадлежащий по крайней мере двум из этих множеств".

Для отрезков и фигур это положение переписывается так:

"Если на отрезке длины L расположено несколько отрезков с суммой длин больше L, то хотя бы два из них имеют общую точку";

"Если внутри фигуры площади S находится несколько фигур, имеющих сумму площадей больше S, то хотя бы две из них имеют общую точку".

В ряде задач используется обобщение принципа, а также утверждение, в некотором смысле ему обратное:

"Если на отрезке длины L расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше L·k, то по крайней мере одна точка покрыта не менее чем k+1 из этих отрезков";

"Если сумма площадей нескольких фигур меньше S, то ими нельзя покрыть фигуру площади S".

В качестве упражнения докажите все эти утверждения методом от противного и попробуйте сформулировать аналогичные им (например, для тел и объёмов).

Пример 13. В квадрате площадью S расположено 100 фигур, сумма площадей которых больше 99S. Доказать, что у всех этих фигур есть общая точка.

Решение Пусть S₁, S₂, . . . , S₁₀₀ - площади данных фигур, а Sў₁, Sў₂,, . . . , Sў₁₀₀ - площади фигур, дополняющих их до квадрата. Понятно, что S_k + Sў_k = S. По условию S₁+S₂+. . .+S₁₀₀ > 99S, поэтому

Sў₁+ Sў₂+. . .+ Sў₁₀₀ = (S- S₁)+ (S- S₂)+. . .+ (S- S₁₀₀) = 100S-(S₁+ S₂+. . .+ S₁₀₀) < 100S-99S = S.

Таким образом, сумма площадей дополняющих фигур меньше площади квадрата, и, значит, они не могут покрыть весь квадрат (по принципу Дирихле), т.е. найдётся точка, не принадлежащая ни одной из них. Тогда эта точка принадлежит каждой из исходных фигур и является искомой.

Пример 14. В круг радиуса 3 произвольным образом помещены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 25. Доказать, что найдётся прямая, которая пересекает не менее девяти из этих кругов.

Решение Спроектируем все круги на произвольный диаметр AB большого круга (AB = 6). Сумма длин проекций, очевидно, равна сумме диаметров кругов, т.е. 50. Поскольку 50 > 8AB, то на отрезке AB есть точка, принадлежащая проекциям по крайней мере девяти кругов. Прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная диаметру AB, - искомая.

Пример 15. Дана фигура площади больше N. Доказать, что в ней найдутся N+1 точек, разности соответствующих координат которых - целые числа.

Решение Разобьём исходную фигуру параллельными прямыми, расположенными на расстоянии 1, на клетки. (В качестве таких прямых можно взять, например, линии целочисленной сетки.) Некоторые клетки будут покрываться фигурой полностью, другие - лишь частично. Выделим какую-нибудь одну клетку и с помощью параллельных переносов перенесём на эту клетку все кусочки фигуры, которые получились в результате её пересечения со всеми клетками. {Наглядно это можно описать так. Представьте, что фигура нарисована на клетчатой бумаге. Разрежьте бумагу по клеткам и сложите их в стопку, перенося их параллельно и не переворачивая, а затем спроектируйте стопку на выделенную клетку.}

Площади проекций частей фигуры в сумме дадут площадь самой фигуры, т.е. больше N. Поэтому на выделенной клетке (площади 1) согласно принципу Дирихле найдётся точка X, покрытая не менее N+1 кусочками фигуры. Вернёмся теперь к исходной фигуре и отметим на ней N+1 точек, проектирующихся в точку X при переносе клеток. Эти точки будут искомыми, т.к. после переноса кусочка фигуры в выделенную клетку координаты каждой точки этого кусочка изменяются на целое число.

Пример 16. В кубе с ребром a лежит ломаная, которую каждая плоскость, параллельная одной из граней, пересекает не более k раз. Доказать, что длина ломаной меньше 3ka.

Решение Введём в пространстве прямоугольную систему координат, оси которой направим вдоль рёбер куба. Пусть ломаная состоит из нескольких отрезков, длины которых мы обозначим через L_k.

Пусть x_k, y_k, z_k - проекции отрезка L_k на оси координат. Тогда L_k = [Ц(x²_k+y²_k+z²_k)]. Задачу будем решать методом от противного. Допустим, что длина ломаной не меньше 3ka. Тогда попробуем найти плоскость, параллельную одной из граней, которая пересечёт ломаную не менее чем в k+1 точках. Спроектируем ломаную на три грани куба, расположенные в плоскостях XOY, YOZ и XOZ, и рассмотрим одну из таких проекций, например, XOY (См. рисунок).

Каждый k-ый отрезок спроектированной ломаной образует также 4 проекции на сторонах квадрата, сумма длин которых равна 2(x_k + y_k). Если сложить длины всех таких проекций для каждого отрезка, то получим S2(x_k + y_k). Если бы эта величина была больше 4ka (т.е. более чем в k раз превосходила периметр квадрата), то по принципу Дирихле на одной из сторон квадрата нашлась бы точка, покрытая не менее чем k+1 проекциями. Тогда прямая, проведенная через эту точку и параллельная стороне квадрата, пересечёт проекцию исходной ломаной не менее чем в k + 1 точках. Значит, если через эту прямую провести плоскость, параллельную грани, то она пересечет исходную ломаную по крайней мере в k + 1 точках.

Осталось показать, что для одной из трёх граней, на которые проектировалась ломаная, сумма длин проекций, лежащих на сторонах квадрата, будет больше 4ka, т.е. одна из величин S2(x_k + y_k), S2(z_k + y_k), S2(x_k + z_k) больше 4ka. Длина ломаной равна SL_k = S[Ц(x²_k+y²_k+z²_k)] и по предположению не меньше 3ka. Поэтому получаем

3ka Ј S   ___________ Цx2k+y2k+z2k   < S(xk+yk+zk) =

= (1/4)·(S2(xk+yk) + S2(yk+zk) + S2(xk+zk)),

откуда

S2(xk+yk) + S2(yk+zk) + S2(xk+zk) > 3·4ka.

Если сумма трёх слагаемых больше 3·4ka, то по крайней мере одно из них больше 4ka, что и требовалось.

Непрерывный принцип Дирихле

Как правило, этот принцип применяется для нескольких чисел и их суммы. В общем виде для чисел он выглядит следующим образом:

"Если сумма n чисел больше S, то по крайней мере одно из этих чисел больше S/n".

По-другому его можно сформулировать так:

"Если среднее арифметическое нескольких чисел больше a, то хотя бы одно из этих чисел больше a";

или в терминах "зайцев":

"Если n кроликов съели m кг травы, то какой-то кролик съел не меньше m/n кг травы".

Кроме того, существует простая геометрическая интерпретация непрерывного принципа Дирихле:

"Пусть из некоторой точки на плоскости проведено N различных лучей; тогда угол между некоторыми двумя из них не менее 360^°/N".

Понятно, что если рассматривать только углы между соседними лучами, то всего получится N углов (См. рисунок). В сумме они составляют полный угол, равный 360^°. Следовательно,

по непрерывному принципу Дирихле градусная мера одного из этих углов не менее 360^°/N (иначе их сумма будет меньше 360^°).

Рассмотренный принцип называется непрерывным постольку, поскольку здесь числа (или градусные меры углов) могут принимать любое значение из некоторого промежутка, в то время как принцип Дирихле в обычном смысле оперирует с дискретным набором объектов ("зайцев") - было бы абсурдным предполагать, что в клетке может оказаться, скажем, два с половиной зайца.

Пример 17. На плоскости дано n попарно непараллельных прямых. Доказать, что найдутся две из них, угол между которыми не меньше 180^°/n.

Указание. Достаточно перенести прямые параллельно самим себе так, чтобы все они проходили через одну точку. Из этой точки будет выходить 2n лучей, и теперь можно применить принцип Дирихле.

Пример 18. На полях шахматной доски 8×8 расставлены действительные числа, каждые два из которых отличаются не менее чем на 1/9. Доказать, что есть пара соседних (имеющих общую сторону) клеток, разность чисел в которых не меньше 1/2.

Решение Пусть A - наименьшее из выписанных на доске чисел, а B - наибольшее. Покажем, что B-A і7.

Запишем числа в порядке возрастания (заметим, что никакие два числа не равны):

x1 < x2 < x3 < ... < x63 < x64

(здесь x₁ = A, x₆₄ = B).

Тогда

B - A = x64 - x1 = (x64 - x63) +

+ (x63 - x62) + . . . + (x3 - x2) + (x2 - x1) і

і (1/9) + (1/9) + ... + (1/9) = 63·(1/9) = 7.

Допустим теперь, что утверждение задачи неверно, т.е. в любой паре соседних клеток числа отличаются меньше чем на 1/2. Рассмотрим две клетки, в которых записаны числа A и B. Понятно, что, переходя из клетки в клетку, можно попасть из клетки A в клетку B, сделав не более 14 переходов. Самый худший случай, когда нужно сделать ровно 14 переходов, показан на рисунке (A, B - противоположные клетки). По предположению приращение на каждом переходе меньше 1/2. Поэтому B - A < 14·(1/2) = 7. Противоречие.

Список литературы

[1] Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.И. "Принцип Дирихле", Самара "Пифагор", 1997г

[2] И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975.

[3] Д. X. Муштари. Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990.

[4] В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. Ч. 2. М.: Наука, 1991.

[5] В. Г. Болтянский. Шесть зайцев в пяти клетках. // Ж-л «КВАНТ», 1977,No2.

[6] А. А. Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. Под ред. В.Г. Болтянского. М.: Просвещение, 1965.

[7] Ю. Ф. Фоминых. Принцип Дирихле. // Ж-л «Математика в школе», 1996, No3.