О способах обучения младших подростков математике

В настоящее время в образовательной практике России сложилась ситуация, когда большое количество выпускников классов, обучающихся в начальной школе по системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова, переходят в среднее звено общеобразовательных учебных заведений. Целью обучения в системе Эльконина – Давыдова является развитие основы теоретического мышления, его основных компонентов: анализа, планирования, рефлексии.

Какие реальные возможности есть у младших подростков в развитии теретического мышления в пятых – шестых классах? На наш взгляд, возрастные возможности младших подростков в содержании и форме обучения математике используются недостаточно. Мы предполагаем, что обучение математике, построенное по содержанию и в форме квазиислледовательской деятельности, может существенно влиять на развитие теоретического мышления младших подростков и на успешность усвоения самого содержания обучения математике. Организованные таким образом занятия позволяют продолжить содержание предшествующего обучения и развития в начальной школе, могут существенно влиять на индивидуальную траекторию интеллекта.

Учащиеся присваивают культурные формы в процессе учебной деятельности, осуществляя при этом мыслительные действия, адекватные тем, посредством которых исторически вырабатывались продукты духовной культуры, т.е. школьники как бы воспроизводят реальный процесс создания людьми понятий, образов, ценностей и норм. Отсюда В.В. Давыдов делает важный вывод о том, что обучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно в сжатой сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний.

Ученику необходимо научиться исследовать условия задачи, отыскивать связи между свойствами объекта и возможными способами его преобразования. Этим условиям удовлетворяет поисковоисследовательская (квазиисследовательская, по определению В.В. Давыдова) деятельность (3).

Проект культурно-исторического типа школы (В.В. Рубцов, А.А. Марголис, В.А. Гуружапов), охватывающий образовательное пространство от дошкольника до выпускника, предлагает возможность не вообще продолжить учебную деятельность, а строить учение как собственную квазиисследовательскую деятельность, характерную для обучения подростков. Задача приспособления современного человека к многомерности своего бытия может быть решена через снятие в процессе обучения самих форм исторических типов сознания и деятельности, т.е. обобщенных (и исторически определенных) способов работы с миром вещей и миром идей. Третья ступень культурноисторического типа школы, соответствующая возрасту 10 – 14 лет, должна, по замыслу авторов, создавать условия необходимым образом моделирующие формы, присущие такому типу деятельности как исследование (4).

В традиционной системе обучения не ставится задача формирования способности к теоретическому осмыслению явлений действительности, и нет содержания, на котором эту задачу можно было бы поставить, не формируется и способность видеть в отвлеченных формулах реально происходящие процессы.

В практике развивающего обучения объективно существуют два типа квазиислледовательской деятельности. Первый тип: когда учебная деятельность в своей форме воспроизводит способ изложения исследователями результатов своей деятельности. Этот тип поисково-исследовательской деятельности реально отражен в технологии обучения. Вместе с тем, этот тип может быть назван дискуссионно-аналитическим.

В то же время, в практике развивающего образования у ученика часто возникают переживания сродни переживаниям исследователя, первооткрывателя, что является проявлением аналогов исследовательского подхода к изучаемому предмету. На фоне этих переживаний и учебная деятельность претерпевает существенные изменения. Это те самые ситуации, благодаря которым способ производства продуктов духовной культуры сокращенно воспроизводится в индивидуальном сознании школьников, когда ребенок вдруг открывает и сам формулирует закономерности строения объекта, делает самостоятельные широкие обобщения относительно изучаемого материала как бы спонтанно. В этом случае учебная ситуация будет складываться иначе, чем для другого ученика, не испытавшего таких переживаний. Этот тип действий назовем квазиисследовательской деятельностью второго типа. Первый тип развития более проработан в технологии развивающего образования. Второй тип также имеет место в рамках системы Эльконина – Давыдова. Реально ситуации второго типа возникают редко. Благодаря особому содержанию программ, в учебном процессе закономерно возникают ситуации возможного духовного взлета учеников, хотя сам момент «открытия» для учителя и для ученика, как правило не предсказуем. В узловых, поворотных точках образовательных траекторий, в которых принципиально возможен скачок в развитии детей, следует быть готовым поддержать учеников в попытке выйти на более высокую образовательную траекторию.

В.А. Гуружапов высказал предположение, что второй тип исследовательской деятельности в начальной школе, который возникает случайно в силу самого содержания, в подростковом возрасте может специально культивироваться через совершенствование методики обучения, т.к. содержание предметов теоретических дисциплин само по себе предполагает широкие обобщения (1, 2).

Наиболее отчетливо способность учеников к такому типу деятельности проявляется при решении нестандартных задач, где фактически нужно проводить миниисследование при анализе условия и решении задачи.

Рассмотрим для примера логико-предметный анализ одной из таких задач.

Задача. Нанизывание рябины на проволоку представляет собой равномерный процесс (при условиях плотного расположения ягод и их одинакового размера). Его характеристики: S – длина проволоки (нити), занятой рябиной, Т – количество использованных ягод (см. рисунок).

Оборудование: проволока, линейка, рябина, весы бытовые, весы лабораторные, небольшая чашка, стеклянная банка (мензурка), резинка.

1) Сколько потребуется ягод, чтобы заполнить нитку заданной длины (S)?

2) Какой длины нить может быть заполнена данным количеством ягод? (Ягоды насыпаны в мензурку).

Предполагаемые способы решения задачи 2).

1. Непосредственное нанизывание ягод достаточно трудоемко по времени, хотя возможно в принципе.

2. Выяснить, какая длина нити (Е) заполнится определенным количеством ягод (например, Т1=10 шт.). Пересчитать все ягоды (Т). Найти Т/Т1=N. Найти искомую длину S=Е·N.

3. Зафиксировать некоторую длину нити (Е). Выяснить, сколько ягод потребуется для ее заполнения (Т1). Пересчитать все ягоды (Т). Найти Т/Т1=N. Найти искомую длину S=Е·N.

4. Взвесить все ягоды. Разбить их на N равных частей. Нанизать одну такую часть ягод на нить. Измерить полученную длину (Е). Найти искомую длину S=Е·N.

5. Если ввести запрет на пользование весами. Отсыпать до краев в маленькую чашку из банки ягоды. Нанизать их на нитку, и измерить длину занятой части (Е). Узнать сколько таких чашек умещается в банке (N). Найти искомую длину S=E·N.

Приведем описание реального решения задачи 2) обучающимися 5 класса гимназии №10 г. Пушкино в начале учебного года. Задача была предложена после решения задачи 1) на предыдущем занятии.

Учитель: В мензурку насыпана рябина. (Верхний уровень рябины отмечен резинкой). Имеется проволока. Задача обратная той, которую мы решали в прошлый раз. Кто догадался, какую мы сегодня будем решать задачу?

Сергей: Сколько проволоки понадобится на какоето количество рябины?

У: Верно. Дана рябина. Какой длины проволоку нужно взять, чтобы нанизать на нее всю эту рябину?

Лиана: Мне кажется, на проволоку надо нанизать 10 ягод, потом отмерить, сколько это будет сантиметров.

Дети: А откуда ты знаешь, сколько там всего рябины?

У: Можно ли дополнить способ Лианы?

Поля: Нужно подсчитать, сколько всего находится рябининок в мензурке, и умножить на количество рябининок длину 10 ягод.

Сергей: Нужно поделить сначала на 10.

У: Давайте предположим, что в мензурке 200 ягод. Тогда на сколько нужно умножить длину 10 рябин?

Поля: На 20. Такое расстояние занимают 10 рябининок, а не одна, поэтому нужно сначала 200 разделить на 10, получится 20, а затем 20 умножить на длину, заполненную 10 ягодами.

У: Чем не удобен такой способ?

Дети: Трудно подсчитать, сколько всего ягод в мензурке.

У: Попробуйте придумать другой способ.

Глеб: Нужно взять проволоку и обмотать мензурку по рядам, там же рябина рядами лежит.

Лиана: А внутри, в серединке, там тоже есть рябина.

Саша: Получается, что мы учтем только ту рябину, которая лежит по бокам.

Сережа: Еще долгий способ есть. Нужно просто насаживать на проволоку всю рябину.

У: Обратите внимание, какие предметы лежат на столе. Их можно использовать для решения задачи.

Глеб: Нужно из мензурки насыпать в маленькую чашку. Затем взвесить ягоды в мензурке.

Ставит на весы мензурку с ягодами. Получается 750 г.

Дети: А сама мензурка тяжелая, она тоже вес дает.

Сергей: Я хочу предложить новую версию способа Глеба. Нужно подсчитать сколько ягод вмещается в чашку, а потом посмотреть, приставить вот так (приставляет чашку к мензурке, узнавая, сколько раз она умещается по высоте). Потом узнать сколько ягод в чашке, и узнать сколько всего ягод в мензурке. А потом сделать по Лианиному способу.

Саша: Была бы чашка такой же толщины, тогда получилось бы.

У: А можно точнее узнать, сколько во всей мензурке таких чашек?

Павел: Можно. Надо один раз взять, отсыпать куданибудь, другой раз взять, и сколько так раз мы возьмем, столько будет чашек. Потом, сколько ягод в одной чашке умножить на количество чашек.

У: А как проще узнать, сколько в мензурке чашек?

Ксения: В мензурке осталось место оттого, что мы отсыпали рябину. Можно измерить это пространство линейкой. (Измеряет линейкой. Получается 3 см).

Сергей: Теперь нужно измерить все расстояние, занятое рябиной, и поделить на 3.

Измеряет расстояние от дна до верхнего уровня рябины. Получает 19 см.

Дети: Получается 6 с половиной чашек.

Сергей: Шесть и одна третья.

У: Давайте округлим до 6 чашек. Итак, в мензурке осталось 6 чашек, и еще одну мы отсыпали. Всего в мензурке 7 чашек.

Дети: Теперь нужно подсчитать, сколько ягод в чашке, умножить на 7.

Один из детей: Ничего не понял.

Лиана: Мы отсыпали одну чашку и стали мерить сколько чашек в мензурке. У нас получилось 7 чашек.

Глеб: Теперь нужно подсчитать, сколько в одной чашке рябин и умножить на 7. Мы узнаем сколько всего ягод в мензурке, а затем применим способ Лианы.

Дети: Давайте подсчитаем, сколько рябин в чашке.

Три девочки пересчитывают рябину из чашки. Получают 91 ягоду.

У: Будем считать, что 90 ягод в чашке.

Дети: Значит, всего в мензурке 630 ягод.

У: Вспомним из прошлой задачи, какую длину занимают 10 ягод.

Дети: 9 см.

У: Сколько займут 630 ягод?

Полина: 630 ягод надо разделить на 10, чтобы узнать, сколько раз по 9 см. получается 63. 63 раза по 9 см, получится 567 см, 5 м 67 см проволоки.

У: Попробуйте придумать способ решения этой задачи, используя весы.

Саша: Надо узнать, сколько весит 1 рябинка.

У: Постарайся выбрать ягоду средних размеров.

Измеряем на весах массу одной ягоды. Получаем 500 мг, полграмма.

Саша: Теперь нужно измерить вес пустой мензурки (измеряет).

Сережа: Проще измерить вес рябины в пакете.(Измеряет, получает 310 г).

Юля: Теперь нужно 310 г разделить на полграмма.

Полина: Неправильно. Нужно 310 г умножить на полграмма.

У: Вы пока не умеете делить 310 на 0,5.

Сережа: Нужно перевести 310 грамм в миллиграммы.

310 г = 310 000 мг. 310 000 : 500 = 620. Всего 620 ягод.

У: Можно было по-другому узнать, сколько всего ягод. 1 ягода – 0,5 г, получается, что в одном грамме 2 ягоды, а всего 310 г, значит, всего 620 ягод.

Юля: Теперь нанижем 10 ягод на проволоку, получим 9 см.

Полина: 620 : 10 = 62; 9 · 62 = 558 (см).

У: Как можно по-другому пересчитать ягоды?

Глеб: Можно все ягоды взвесить, взять оттуда 10 ягод, и их взвесить.

Взвешиваем 10 ягод, получаем 4г 800 мг.

У: Чем больше мы берем ягод, тем точнее мы узнаем средний вес одной ягоды. Одна ягода весит 480 мг.

Сергей: Теперь нужно 310 000 разделить на 480.

Делим, получаем приближенно 645 ягод.

У: Мы получили более точный результат. Округлим его до 650 ягод.

Полина: 650 : 10 = 65; 65 · 9 = 585 (см).

У: Есть у вас желание придумать новый способ?

Дети: А у Вас есть свой способ?

У: Взвесим всю рябину. Получаем 310 г. Теперь берем гирьку, например, в 10 г и смотрим, сколько ягод уравновесят 10 г. В моем способе не надо использовать, что 10 ягод занимают 9 см. Теперь рябину, которая весит 10 г, нанизываем на проволоку. При этом я не пересчитываю, сколько у меня ягод. Пока я нанизываю, сообразите, что нужно делать дальше?

Глеб: Теперь нужно измерить, сколько сантиметров заняла рябина. Получается 19 см. 10 ягод занимают 19 см. 310 г ягод займут 19 · 31 = 589 см.

Можно выделить следующие особенности данной задачи:

– отсутствие в ее условии каких-либо числовых данных, что побуждает обучающихся самостоятельно устанавливать математические связи между объектами;

– задача имеет не единственный способ решения, и дети могут предложить несколько разнообразных подходов к ее решению;

– задача не имеет однозначного правильного ответа, точнее, практически его трудно получить;

– роль учителя при решении задачи – руководитель творческого семинара обучающихся.

Эти особенности отличают данную задачу от типичных учебных задач, решаемых посредством квазиисследовательской деятельности первого типа, когда взрослый, вводя определенную помощь, организуя взаимодействие детей, ведет их к заранее известному выводу. Вместе с тем, в совокупности эмпирических данных, представленных в условии задачи ученик открывает закономерности взаимных связей ее объектов, оказываясь в роли исследователя, что приводит его к квазиисследовательской деятельности второго типа. При этом дискуссионно-аналитический метод сохраняется как важный момент квазиисследова-тельской деятельности.

Задачи, подобные рассмотренной, решались детьми на факультативных занятиях в течение первого полугодия. Они вызывали неизменный интерес у обучающихся. В обсуждение вовлекалось большинство детей класса. Даже те ученики, которые не принимали видимого активного участия в обсуждении, следили за ходом развития решения задачи. Проведенное в начале учебного года обследование показало, что обучающиеся данного класса находятся на обычном уровне развития математического мышления. По нашему предположению, сама квазиисследовательская форма развития способствовала повышению интереса и активности детей. При предъявлении условия новой задачи, ученики часто могли самостоятельно предугадать и сформулировать вопрос задачи. Особенно это было заметно при постановке новых задач, обратных решенным на предыдущих занятиях. Следует отметить, что, перейдя во втором полугодии к решению обычных задач на сообразительность и смекалку и задач повышенной трудности, где требуется применить математические знания в нестандартной ситуации, степень интереса к нашим занятиям заметно снизилась.

С точки зрения математического содержания обучения, решаемые нами задачи находятся в рамках традиционно изучаемого в школе материала. В рассмотренной задаче это – прямая пропорциональная зависимость между величинами, решение пропорций, выход на действия с десятичными и обыкновенными дробями. По нашему мнению, нужно искать разумное соотношение между регулярным изучением курса математики и квазиисследовательской деятельностью второго типа, сохраняя при этом такой ее важный момент, как дискуссионно-аналитический метод.

Имеется еще одна потенциальная возможность использования рассмотренной задачи – анализ границ применимости полученного решения. Так, при решении первой задачи, когда рябина была свежесорванной, и при решении обратной второй задачи, спустя неделю, мы получили существенно различные результаты при проведении одних и тех же измерений. Очевидно, следовало задаться вопросом, почему это произошло, либо в конце решения задачи выяснить, не изменятся ли наши результаты через какое-то время. Но мы сами сразу не сообразили, что за неделю рябина просто усохла.

Подводя итоги обсуждения проблемы, изложенной в данной статье, мы приходим к выводу, что квазиисследовательская деятельность второго типа возможна как закономерная и специально организованная форма обучения для подростков. В таком обучении могут реализоваться познавательная активность подростков и поисковая направленность их сознания.

Список литературы

1.Гуружапов В.А. Перспективы обучения школьников с повышенной мотивацией к учению в форме квазииследовательской деятельности. // Городская научно-практическая конференция «Столичное образование на рубеже XXI века». Выпуск 2. – М., 1999. – с. 60–62.

2.Гуружапов В.А. Развивающее обучение: чтобы урок был впрок. // Управление школой. – 1998. – №43. – с.11.

3.Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: Интор, 1996.–544с.

4.Рубцов В.В., Марголис А.А., Гуружапов В.А. Культурно-исторический тип школы (проект разработки) // Психологическая наука и образование. – 1996 – №4 – с.79 – 93.

5. В.Л.Соколов. О способах обучения младших подростков математике.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.fpo.ru/