БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
кафедра РЭС
реферат на тему:
«Особенности практического применения способов кодирования. Способы декодирования с обнаружением ошибок»
МИНСК, 2009

Задача кодирования заключается в формировании по информационным словам a(x) кодовых слов (x) циклического (n,k)-кода, который по своей структуре может быть несистематическим и систематическим.
Формирование кодовых слов несистематического кода заключается в умножении многочлена a(x), отображающего информационную последовательность длины k, на порождающий многочлен, т.е. (x)=a(x)(g(x). Формирование кодовых слов систематического кода заключается в преобразовании информационной последовательности a(x) в соответствии с выражением (x)=a(x)x^r+r(x).
Проверочная последовательность r(x) определяется двумя способами:
при использовании "классического" способа кодирования ;
при использовании способа кодирования, рекомендованного МККТТ ,
где x(1)^r-1 - единичный многочлен степени (r-1).
Указанные выше математические операции выполняют кодеры несистематического и систематического кодов.
Способы декодирования с обнаружением ошибок
Процедура декодирования циклического кода с обнаружением ошибок, по аналогии с процессом кодирования, использует два способа:
- при кодировании "классическим" способом декодирование основано на использовании свойства делимости без остатка кодового многочлена (x) циклического (n,k)-кода на порождающий многочлен g(x). Поэтому алгоритм декодирования включает в себя деление принятого кодового слова, описываемого многочленом на g(x), вычисление и анализ остатка r(x). Если r(x)=0, то принятое кодовое слово считается неискаженным. Если r(x)0, то принятое кодовое слово стирается и формируется сигнал "ошибка".
- при кодировании способом МККТТ декодирование основано на свойстве получения определенного контрольного остатка R₀(x) при делении принятого кодового многочлена (x) на порождающий многочлен. Поэтому, если полученный при делении остаток , то принятое кодовое слово считается неискаженным. Если остаток , то принятое кодовое слово стирается и формируется сигнал "ошибка". Значение контрольного остатка определяется из выражения .
Способы декодирования с исправлением ошибок и схемная реализация декодирующих устройств
Декодирование циклического кода в режиме исправления ошибок можно осуществлять различными способами. Ниже излагаются два способа, являющиеся наиболее простыми.
В основу первого способа положено использование таблицы синдромов (декодирования), в которой каждому многочлену или образцу ошибок e_i(x), соответствует определенный синдром S_i(x), представляющий остаток от деления принятого кодового слова и соответствующего ему e_i(x) на g(x). Процедура декодирования следующая. Принятое кодовое слово делится на g(x), определяется S_i(x) и соответствующий ему многочлен e_i(x), а затем суммируется с e_i(x). В результате получаем исправленное кодовое слово, т.е. .
В состав декодера входят: вычислитель синдрома (ВС), два регистра сдвига RG1 и RG2, постоянное запоминающее устройство (ПЗУ), которое содержит слова длины n, соответствующие многочленам ошибок e_i(x).
Принятое кодовое слово поступает на вход вычислителя синдрома, где осуществляется деление его на g(x) и формирование S_i(x), и одновременно - на вход RG2, где накапливается. Синдром S_i(x) используется в качестве адреса, по которому из ПЗУ в регистр RG1 записывается e_i(x), соответствующий синдрому S_i(x). Перечисленные операции завершаются за n тактов. В течение последующих n тактов происходит поэлементное суммирование содержимого RG2 и RG1, т.е. операция , и исправление. ошибок.
В основе второго способа исправления ошибок, позволяющего значительно сократить объем используемых табличных синдромов и существенно упростить схему декодера, лежат следующие положения:
1. Синдром S_i(x), соответствующий принятому кодовому слову равен остатку от деления на g(x), а также остатку от деления соответствующего многочлена ошибок ei(x) на g(x), т.е. .
2. Если S_i(x) соответствует и e_i(x), то x( S_i(x) является синдромом, который соответствует и или .
3. При исправлении ошибок используются синдромы образцов ошибок только с ненулевым коэффициентом в старшем разряде.
Поэтому при реализации этого способа множество всех образцов ошибок разбивается на классы эквивалентности. Каждый класс представляет циклический сдвиг одного образца ошибок, а синдром этого класса соответствует образцу ошибок с ненулевым старшим разрядом. Если вычисленный синдром принадлежит одному из классов эквивалентности образцов исправляемых ошибок, то старший символ кодового слова исправляется. Затем принятое слово и синдром циклически сдвигается, а процесс нахождения в предыдущей по старшинству позиции повторяется.
Для исправления ошибок, принадлежащих данному классу эквивалентности, нужно произвести n циклических сдвигов.
Простейшим является декодер Меггитта. В состав декодера входят: вычислитель синдрома, осуществляющий деление кодового слова на g(x) и формирование соответствующего синдрома; блок декодеров (ДК), который настроен на синдромы всех образцов исправляемых ошибок с ненулевыми старшими разрядами; регистр сдвига RG.
При поступлении на вход схемы кодового слова его символы заполняют регистр RG, а в вычислителе формируется соответствующий синдром S_i(x). Вычисленный синдром сравнивается со всеми табличными синдромами, заложенными в схему блока ДК, и в случае совпадения с одним из них на его выходе формируется сигнал, который исправляет ошибочный символ, находящийся в старшем разряде регистра. После этого содержимое вычислителя и RG циклически сдвигается на один шаг. Этот сдвиг реализует операции и . Если новый синдром совпадает с одним из табличных синдромов, то это означает, что произошла ошибка во втором по старшинству символе кодового слова, который, перейдя в старший разряд RG, исправляется. Затем производится новый циклический сдвиг на одну позицию и новая проверка на совпадение синдромов. После повторения этого процесса n раз в RG будет сформировано исправленное кодовое слово. Введение обратной связи для RG не обязательно, так как в процессе исправления ошибок символы кодового слова поступают на выход декодера.
Пример. Рассмотрим схему и работу декодера Меггитта циклического (15,7)-кода, обеспечивающего исправление одиночных и двойных ошибок, с g(x)=x⁸+ x⁷+ x⁶+ x⁴+1 (см. рисунок 1).












Блок декодеров настраивается на 15 синдромов, которые представлены в таблице 1 и соответствуют классам эквивалентности с образцами ошибок в старшем разряде.

Таблица 1
№
е(х)	S(x)	№	е(х)	S(x)
1	x14	x7+ x6+x5+ x3	9	x14+ x6
2	x14+ x13	x7+ x4+x3+ x2	10	x14+ x5	x7+ x6+x3
3	x14+ x12	x7+ x6+x4+ x	11	x14+ x4	x7+ x6+x5+ x4+x3
4	x14+ x11		12	x14+ x3	x7+ x6+x5
5	x14+ x10		13	x14+ x2	x7+ x6+x5+ x3+x2
6	x14+ x9		14	x14+ x1	x7+ x6+x5+ x3+x
7	x14+ x8		15	x14+ x0	x7+ x6+x5+ x3+0
8	x14+ x7

Допустим, что ошибки в 3 и 5 разрядах, т.е. им соответствует многочлен ошибки e(x)=x¹²+x¹⁰.
При поступлении на вход декодера искаженного кодового слова он заполняет регистр и в вычислителе формируется синдром .
Блок декодеров не реагирует на этот синдром.
Затем происходит сдвиг кодового слова в RG, а в BC формируется новый синдром .
Блок декодеров и в этом случае не срабатывает.
При следующем сдвиге кодового слова в RG первый искаженный разряд занимает старшую позицию в RG, а в BC формируется синдром , от которого срабатывает БДК. В результате исправляется первая ошибка.
Следующим сдвиг приводит к формированию синдрома .
Этот синдром соответствует многочлену ошибки e(x)=x¹³+x⁰, т.к. первый искаженный разряд по обратной связи должен занять младшую позицию RG.
На синдром S_(13,0) блок декодеров не реагирует.
При следующем сдвиге кодового слова в RG второй искаженный разряд занимает старшую позицию в RG, а в BC формируется синдром , от которого срабатывает БДК. В результате исправляется вторая ошибка в кодовом слове.
Коды Рида-Соломона (РС)
Коды РС являются недвоичными циклическими кодами, символы кодовых слов которых берутся из конечного поля GF(q). Здесь q степень некоторого простого числа, например q=2^m.
Допустим, что РС-код построен над GF(8), которое является расширением поля GF(2) по модулю примитивного многочлена f(z)=z³+z+1. В этом случае символы кодовых слов кода будут иметь значения, представленные в таблице 2.

Таблица 2
000	0	0	011	z+1	3
001	1	0	110	z2+z	4
010	z	1	111	z2+z+1	5
100	z2	2	101	z2+1	6

Кодовые слова РС-кода отображаются в виде многочленов
,
где N - длина кода; V_i - q-ичные коэффициенты (символы кодовых слов), которые могут принимать любое значение из GF(q).
Эти коэффициенты как это следует из таблицы, также отображаются многочленами с двоичными коэффициентами . Коды РС являются максимальными, т.к. при длине кода N и информационной последовательности k они обладают наибольшим кодовым расстоянием d=N-k+1.
Порождающим многочленом g(x) РС-кода является делитель двучлена x^N+1 степени меньшей N с коэффициентами из GF(q) при условии, что элементы этого поля являются корнями g(x). Здесь - примитивный элемент GF(q).
На основе этого определения, а также теоремы Безу, выражение для порождающего многочлена РС-кода будет иметь вид .
Степень g(x) равна d-1=N-k=R.
В РС-кодах принадлежность кодовых слов данному коду определяется выполнением d-1 уравнений в соответствии с выражением (*), где V_i - символы-коэффициенты из GF(q); z₀, z₁... z_N-1 - ненулевые элементы GF(q).
Элементы z₀, z₁... z_N-1 называются локаторами, т.е. указывающими на номер позиции символа кодового слова.
Например, указателем i - позиции является локатор zi или элемент ⁱ GF(q).
Так как все локаторы должны быть различны и причем ненулевыми, то их число в GF(q) равно q-1. Следовательно, такое количество символов должно быть в кодовых словах кода.Поэтому обычно длина РС-кода определяется из выражения N=q-1.
Пример. Допустим, что длина РС-кода равна N, кодовое расстояние d=3, то в соответствии с (*) проверочными уравнениями будут

Свойства РС-кодов.
1. Циклический сдвиг кодовых слов, символы которых принимают значение из GF(q), порождает новые кодовые слова этого же кода.
2. Сумма по mod2 двух и более кодовых слов дает кодовое слово, принадлежащее этому же коду.
3. Кодовое расстояние РС-кода определяется не по двоичным элементам, а по q-ичным символам.
4. В РС-коде, исправляющем t_u ошибок порождающий многочлен определяется из выражения . Обычно m₀ принимают равным 1. Однако, с помощью разумного выбора значения m₀, иногда можно упростить схему кодера.
5. Корректирующие способности РС-кода определяются его кодовым расстоянием.

где T₀ и T_u - длина пакетов, в которых обнаруживаются и исправляются ошибки.
Обнаружение ошибок в кодовых словах состоит в проверке условий ((), т.е. определении синдрома , элементы которого определяются из выражения .
Пример. Требуется сформировать кодовое слово РС-кода над GF(2³), соответствующее двоичной информационной последовательности a(1,0)=000000011100101.
Так как m=3, то каждый q-ичный символ кода состоит из трех двоичных элементов. Поэтому с учетом таблицы 6 a(x)=³x²+ ²x+⁶.
Определяем параметры кода. N=q-1=7; k=5; R=2; d=N-k+1=3;
.
Кодовое слово формируется в соответствии с выражением. ,
где .
В результате или в двоичной форме V(1,0)=000.000.011.100.101.101.101.

ЛИТЕРАТУРА
1.  Лидовский В.И. Теория информации. - М., «Высшая школа», 2002г. – 120с.
2.  Метрология и радиоизмерения в телекоммуникационных системах. Учебник для ВУЗов. / В.И.Нефедов, В.И.Халкин, Е.В.Федоров и др. – М.: Высшая школа, 2001 г. – 383с.
3.  Цапенко М.П. Измерительные информационные системы. - . – М.: Энергоатом издат, 2005. - 440с.
4.  Зюко А.Г. , Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. М: Радио и связь, 2001 г. –368 с.
5.  Б. Скляр. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Изд. 2-е, испр.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003 г. – 1104 с.