Реферат Численные методы и их реализация в Excel
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
по предмету: ‘’Моделирование ’’
на тему: ‘’Численные методы и их реализация в
Excel
’’
Выполнила:
студентка 3-курса
Камчыбекова Б.
гр. КИС-5-97
Проверил: к.т.н. профессор. Бабак В. Ф.
Бишкек – 2000
Глава 1. Подбор параметра…... 3
1.1. Нелинейные алгебраические уравнения. 3
1.2 Системы двух линейныхалгебраических уравнений. 5
Задание1. 5
Задание 2. 5
Глава 2. Матричная алгебра. 6
2.1 Определитель матрицы.. 6
2.2 Умножение матриц. 7
Задание 3. 7
Умножение на число 14. 9
Задание 4. 10
2.6 Система линейных алгебраических уравнений. 14
Задание 5. 14
Глава3. Поиск решения…... 17
1.2Оптимизация. 17
3.2Безусловный экстремум.. 17
Задание6. 18
3.4 Математическое программирование. 22
3.4.1. Линейное программирование. 23
Задание 7. 23
Задание 8. 25
Задание 9. 25
Задание 12. 27
Глава 1. Подбор параметра…
1.1. Нелинейные алгебраические уравнения
При моделировании экономических ситуаций часто приходится решать уравнение вида:
f (x, p1, p2 ,…, pn)=0 (1)
где
f
-заданная функция, х-неизвестная переменная.
p
1
,
p
2
,…,
pn
–
параметры модели.
Решение таких уравнений может быть как самостоятельной, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров
pk
,
k
=
`
1,
n
Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.
Только для линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде через параметры
pk
(например формула корней квадратного уравнения).
В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.
Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.
Пусть надо решить уравнение вида:
C
формируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1. Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знака равенства, а вместо переменной
x
укажем адрес клктки В5, которая содержит значение начального приближения решения.
вместо переменной
x
укажем адрес клетки В5. которая содержит значение начального приближения решения
Метод, применяемый в
EXCEL
для решения таких уравнений -модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботится о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений (метод хорд, дихотомии и др.) Единственно, что следует учесть - это то, что будет' найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.
Для получения решения уравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:
1.
Выполнить команду Сервис/Подбор параметра... (получим лист электронной таблицы, как показано на Рис. 2);
2.
Заполнить диалоговое окно Подбор параметра...:
2,1
Щелкнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и щелкнуть на клетке с формулой, в нашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $С$5 появится в поле рис.1
Умножение на число 14
результат:
Задание 4
Транспонирование матрицы А :
После нажатия
Shift
/
Ctrl
/
Alt
:
Умножение матриц А на
H
(
t
):
После нажатия на ОК:
Вычитание матриц
AH
(
t
) и
HA
(
t
):
2.6 Система линейных алгебраических уравнений
Решение Система линейных алгебраических уравнений всегда занимало математиков и для решения было разработано немало численных методов, подразделяющихся на прямые ( Гаусса, Кремера) и итерационные (простых итераций , Зейделя ,верхних релакций… )
EXCEL
задача получения решение СЛАУ решаются с помощью вышеописанных матричных функций, для чего исходную систему надо представить в виде матричного уравнения.
Рассмотрим последовательность действий для получения решение СЛАУ на конкретном примере.
Задание 5
Найти решение системы линейных алгебраических уравнение и сделать проверку.
Для того, чтобы система (5) имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы определить системы, составленный из коэффициентов при переменных х,х,х,х, не был равен нулю.
Рассчитаем определить системы пользуясь функцией МОПРЕД. Рассчитанное значение определителя системы равно 1662723продолжать процесс поиска решения.
Из линейной алгебры известна матричная запись системы уравнений и матричное преставление решения.
Перепишем систему уравнений (5):
Тогда матричное решение уравнения выглядит так:
Результат, указанный на рис18 можно получить, выполнив следующие действия:
1. Вычислить определитель и выяснить имеет ли система единственное решение.
2. Вычислить матрицу обратную к исходной.
3. Найти произведение обратной матрицы и вектор столбца свободных членов.
Глава3. Поиск решения…
1.2Оптимизация
Почти любую ситуацию , встречающуюся в деловой личной общественной жизни можно охарактеризовать как ситуацию принятия решения. Для задач принятия решений существенными являются следующие общие элементы:
1. Множества переменных и параметров. В их число входят:
Множество разрешающих или эндогенных переменных, значения которых рассчитываются лицом, принимающим решение.
Множество внешних или экзогенных переменных, значения которых не контролируются лицом, принимающим решение.
Множество параметров, которые так же контролируется и считаются в условиях задачи вполне определенными.
Модель-множество соотношений, связывающих все переменные и параметры.
Целевая функция-функция, функций, значение которой зависит от значений эндогенных переменных. Эта функция. Позволяет лицу, принимающему решения оценивать варианты.
Численные методы-методы, с помощью, которых можно систематически оценивать результаты различных решений.
Получение решения на модели, в конечном итоге, сводится к математической задаче нахождения некоторых вещественных значений эндогенных переменных, которые оптимизируют целевую функцию.
Если до недавнего времени все четыре перечисленные выше элемента ложились на лицо принимающее решение, то теперь умение пользоваться встроенными функциями
EXCEL
снимает наиболее утомительный пункт, а именно, применения численных методов, и делает исследование задач принятия решения более эффективными, так как теперь для решения одной и той же более эффективными, так как теперь для решения одной и той же задачи можно быстро просмотреть различного вида постановки в том числе и отличающиеся друг от друга по структуре.
3.2Безусловный экстремум
Excel
обладает мощным встроенным средством для нахождения экстремальных значений функции одной или нескольких переменных. Для одно-экстремальных функций можно найти безусловный глобальный экстремум. Для многоэкстремальных функций можно найти условный локальный экстремум. Забегая вперед отметим, что для многоэкстремальных функций определить какой из локальных экстремумов будет найден невозможно без построения графика функции на интересующем нас интервале, так как численные методы нахождения экстремума ориентированы на поиск ближайшего решения к точке начального приближения и вообще говоря, требуют унимодальности функции.
Посмотрим различные примеры поиска экстремальных значений функции.
Задание6
Найти минимум и максимум функции на интервале, построить график.
2.
Рис.19
Для поиска безусловного экстремума функции сформируем лист электронной таблицы, как показано на рисунке 20. Функцию (6) запишем в клетку А2 где вместо переменной х следует указать адрес ячейки А1, которая содержит начальное приближение экстремума равное, например 0.
Для поиска минимума следует выполнить следующую последовательность действий:
1.Выполнить команду Сервис/Поиск решения…(получим лист электронной таблицы, как показано на рис.20).
2.Заполнить диалоговое окно Поиск решения… рис21
2.1.Щелкнуть левой клавишей мыши в поле. Установить целевую ячейку и щелкнуть на ячейке с формулой, в нашем случае это ячейка А2, абсолютный адрес которой. $А$2 появится в поле.
2.2. Выбрать поле Минимальное значение.
2.3. В поле. Изменяя ячейки ввести адреса ячеек, значения которых будут варьироваться в процессе поиска решения. В нашем случае это клеикаА1, абсолютный адрес которой. $А$1.
После выполнения пунктов 1-2 лист электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на рис 21.
После щелчка на кнопке Выполнить получим решение поставленной задачи. В клетке А1 находится значение переменной Х равное 0.769231 при котором функция (5 ) достигает минимального значения равного –167,692. Рис22
Условный экстремум
Для функции одной переменной поиск экстремума возможен как на всей числовой оси, так и на некотором интервале, поиск на интервале уже можно считать поиском условного экстремума функции, т.к появляются ограничения на изменение значений аргумента.
На рис.21 в диалогом окне Поиск решения есть поле Ограничения м соответствующие ему команды: Добавить, Заменить, Удалить.
Рассмотрим предыдущую задачу, добавив условие поиска минимального значения на интервале [1;5]. Тогда диалоговое окно Поиск решения… следует видоизменить, добавив ограничения:
Щелкнув левой клавишей мыши в поле Ограничения и затем на кнопке Добавить , откроем диалоговое окно Добавление ограничения. Рис23,,,.. которое следует заполнить так как показано на рисунке.
После добавления последнего ограничения диалоговое окно Поиск решения…будет содержать математическую постановку задачи экстремума и выглядит след.образом.
После щелчка на кнопке Выполнить получим следующее решение:
У=-167 при х=1, отличающееся от решения, полученного в предыдущем случае. Здесь в качестве минимального значения выступает наименьшее значение функции на интервале[1;5], совпадающее с левой границей интервала.
Все численные методы нахождения оптимальных значений для корректной работы требуют ,чтобы функция на интервале была унимодальной.
При такой постановке задачи значения труда и капитала определяется как 5 и 2 единицы соответственно. Получающиеся значение целевой функции при этом равно 3.37. Теперь можно построить график, на котором отражены линия безразличия использования труда и капитала при выпуске 3.37 и линия ограничения на средства, предназначенные для расходов на труд и капитал.
Полученные кривые касаются в найденной точке, что согласуется с теорией фирмы. Рис 31
3.4 Математическое программирование
Различные методы оптимального управления, получившие заметное развитие во второй половине двадцатого века, благодаря созданию и распространению компьютерной техники, не только отвечают насущным потребностям экономической науки, но и начинают играть роль важнейшего ее составного элемента. И это вполне естественно, поскольку одной из главных задач экономической науки является разработка теоретического фундамента управления, т.е. методов наилучшего распределения ограниченных ресурсов (людских, материально -вещественных, финансовых, временных) для поддержания функционирования и развития предприятия или экономики страны.
Однако, чтобы обнаружить глубинную связь между математическим программированием и экономической наукой, понадобились усилия многих ученых.
Анализируя возможности Поиска решения … можно заметить, что он применим для решения достаточно широкого класса задач математического программирования.
Если задачу принятия решений в области управления можно сформулировать в виде подчиненных
m
произвольным ограничениям.
……………………
gm(x1,x2,…,xn)
то Поиск решения… позволяет найти решение такой задачи, которая в формальной постановке может быть задачей:
1. линейного программирования
2. нелинейного программирования
3. целочисленного программирования
4. частично целочисленного программирования
Кроме того у лиц, принимающего решения есть возможность изменить параметры работы Поиска решения…, повышающие эффективность поиска оптимального решения. Рис.32
3.4.1. Линейное программирование
F
=5
x
1
+
x
2
x
1
+4
x
2
x
1
+
x
2
x
1
-2
x
2
x
1
+
x
2
x
1
,
x
2
– произвольные
Сформируем страницу электронной таблицы и постановку задачи линейного программирования в диалоговом окне Поиска решения…
После выполнения поставленной задачи получаем следующее значение переменных
Как видим, при найденных значениях
x
1
,
x
2
целевая функция принимает минимальное значение, равное –9.66 и этим удовлетворяются все ограничения поставленной задачи.
Графическое решение поставленной задачи выглядит так:
Задание 7
Решить задачу линейного программирования с помощью Поиска решения…, показать графически область допустимых решений и целевую функцию.
2.F=-x1+4x2
при
3
x
1
+2
x
2
2
x
1
-
x
2
-3
x
1
+2
x
2
x
1
+2
x
2
x1
Задание 8
По описанию задачи сделать математическую постановку, решить.создать отчет и прокомментировать его.
№2
Фирма изготовляет два типа электрических выключателей, типа А, доход от которых равен 0.4$. На каждый выключатель и типа В – доход от которых равен 0.3$. На изготовление выключателя А требуется в три раза больше рабочего времени, чем на изготовления типа В.
Если бы изготавливались выключатели только типа В, то дневного рабочего времени хватило бы для изготовления ровно 1000 выключателей. Поставка медного провода обеспечивает изготовление только 800 выключателей в день (любого типа). Для выключателей требуются специальные изоляторы, их можно получить в день для типа А не более 400, для типа В не более 700. Задача состоит в максимизации дохода при всех указанных выше ограничениях.
Задание 9
Составить задачу двойственную к данной задаче линейного программирования и решить обе с помощью Поиска решения…
2.F=-x1+x2
при
x
1
+2
x
2
–
x
3
£
5
2
x
2
+
x
4
£
3
x
3
+2
x
4
£
6
xj
³
0.j=1.4
Задание 12
С помощью Поиска решения… найти решение системы нелинейных алгебраических уравнений. Исследовать зависимость получаемого решения от различных начальных приближений(менее трёх), оформить исследования в виде таблицы.
№2
ЛИТЕРАТУРА:
1. EXCEL
5.0 Для профессионалов.
М-1995
2. EXCEL7.0 М-1997
3. А.А.Горчаков, И.В.Орлов. Компьютерные экономико-математические модели. М-1995
4. И.Л.Акулич. Математическое программирование а в примерах и задачах. М-1986
5. М.Кубонива. Математическая экономика на персональном компьютере. М-1991.
