Реферат Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Содержание.
1. Введение. Постановка задачи……..…………………………2стр.
2. Вывод формулы……………………………………………….3стр.
3. Дополнительный член в формуле прямоугольников……….5стр.
4. Примеры………………………………………………………..7стр.
5. Заключение……………………………………………………..9стр.
6. Список литературы…………………………………………...10стр.
Постановка задачи.
Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики. В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами подынтегральные функции не являются элементарными. Распространенными являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется вычислить интеграл
,
b
). Значение интеграла I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x и прямыми x=a
, x=
b. Вычисление I проводится путем разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов, приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.
Вывод формулы прямоугольников.
Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:
З а м е ч а н и е. Пусть функция f
(
x
) непрерывна на сегменте [a
,
b
], а
,
b
]. Тогда на этом сегменте найдётся точка
В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции f
(
x
) на сегменте [a
,
b
]. Тогда для любого номера k справедливы неравенства
Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка
Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл
Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем, одной и той же ширины
где
(рис.1)
На практике обычно берут
Дополнительный член в формуле прямоугольников.
Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.
Справедливо следующее утверждение:
У т в е р ж д е н и е. Если функция f
(
x
) имеет на сегменте [a
,
b
] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая точка
Доказательство.
Оценим
,
h
] непрерывную вторую производную Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из следующих двух интегралов:
Для первого из этих интегралов получим
Для второго из интегралов аналогично получим
Полусумма полученных для
Оценим величину
, 0] и точка
[0 ,
h
] такие, что
Поэтому для полусуммы
Подставляя это выражение в равенство (3), получим, что
где
Так как величина
Таким образом, формула
интегралов
И к каждому из указанных интегралов применить формулу (4). Учитывая при этом, что длина сегмента
Здесь
Примеры вычисления определённых интегралов
по формуле прямоугольников.
Для примеров возьмём интегралы, которые вычислим сначала по формуле Ньютона-Лейбница, а затем по формуле прямоугольников.
П р и м е р 1. Пусть требуется вычислить интеграл
По формуле Ньютона-Лейбница, получим
Теперь применим формулу прямоугольников
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Таким образом,
В данном примере неточности в вычислениях нет. А значит, для данной функции формула прямоугольников позволила точно вычислить определённый интеграл.
П р и м е р 2. Вычислим интеграл
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим
Теперь воспользуемся формулой прямоугольников.
Так как для
Если взять n
=10, то дополнительный член нашей формулы будет
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Сумма 6,9284.
Учитывая, что поправка к каждой ординате (а следовательно и к их среднему арифметическому) содержится между
Заключение.
Изложенный выше метод вычисления определенных интегралов содержит четко сформулированный алгоритм для проведения вычислений. Другой особенностью изложенного метода является стереотипность тех вычислительных операций, которые приходится производить на каждом отдельном шаге. Эти две особенности обеспечивают широкое применение изложенного метода для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах.
Выше для приближенного вычисления интеграла от функции f
(
x
)
мы исходили из разбиения основного сегмента [a
,
b
] на достаточно большое число n равных частичных сегментов одинаковой длины h и из последующей замены функции f
(
x
) на каждом частичном сегменте многочленом соответственно нулевого, первого или второго порядка.
Погрешность, возникающая при таком подходе, никак не учитывает индивидуальных свойств функции f
(
x
). Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного сегмента [a
,
b
] на n, вообще говоря, не равных друг другу частичных сегментов, которое обеспечивало бы минимальную величину погрешности данной приближённой формулы.
Список литературы.
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х томах, том II. (§§ 332, 335).
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, часть I. Москва «Наука», 1982г. (Глава 12, пп.1, 2, 5).
