Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы
Оглавление

Введение                                           

Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы       

1.1. Мышление и учебная деятельность       

1.1.1. Определение понятия “мышление”    

1.1.2. Особенности мышления старшеклассников

1.1.3. Определение учебной деятельности                                                         

1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников                                                 

1.2. Процесс формирования понятий в учении                                                 

1.2.1. Определение понятий           

1.2.2. Формирование и усвоение понятий                                                         

Глава 2: Методические основы введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс  

2.1. Методика преподавания математики как наука                                          

2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа                                       

2.2.1. Цели обучения математике   

2.2.2. Организация учебно-воспитательного процесса                                    

2.2.3. Структура курса                      

2.3. Логика темы “Комплексные числа”                                                             

2.3.1. Объяснительная записка       

2.3.2. Почасовое планирование     

2.3.3. Тематическое планирование

Глава 3. Описание эксперимента  

3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования  

3.2. Описание результатов экспериментального исследования                      

3.2.1. Диагностическая часть          

3.2.2. Формирующая часть              

Заключение                                      

Литература                                       

Приложения                                     
Введение

Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят ещё свои специфические цели, определяемые особенностями математической науки. Одна из них – это формирование и развитие математического мышления. Это способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей  школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике  с ее многочисленными приложениями в частности.

Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.

Хочется обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики: модернизация содержания школьного математического образования и совершенствование структуры курса.

Быстрый рост объема научной информации, ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модернизации школьного образования, а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени, тщательно и строго на научной основе.

Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры, что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I-V классах, позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние; включить в программу старших классов элементы высшей математики. Таким образом, улучшение системы курса возможно и в период между реформами, т.е. независимо от модернизации образования.

Мы не беремся решать эти вопросы, т.к. работаем в более узком направлении, предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный курс тему “Комплексные числа”.

Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.

Борьба за сознание   учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.

1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности - в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении и т.д.

2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.

3) Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.

Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.

Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел. Предлагаем для образовательного курса формально – логическую теорию. Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, т.к. со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т.е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, лишь в последствии получающее арифметическое истолкование.

Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.

Задачи :

- исследовать особенности математического мышления старшеклассников;

- исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.

 
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы

1.1. Мышление и учебная деятельность

1.1.1. Определение понятия мышление

Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, одной из основных задач современного школьного обучения.

   В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности (24), как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно – исследовательского, преобразовательного и познавательного характера (16), как социально - обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового (19). Сущность его в отражении: - общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.

Мышление играет поистине огромную роль в познании. Оно расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия, знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике (8).

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Специфическим результатом мышления может выступить понятие – обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях  (16).
1.1.2. Особенности мышления старшеклассников

Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.

Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, т.к. они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл.

Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное значение, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения  и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно – следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.

Все сказанное говорит о высокой степени развития теоретического мышления, многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи, “доказывающего” мышления. Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников. Так, немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям, умозрительным филосовствованиям, оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания, к выдвижению оригинальных идей, вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов. Нередки случаи, когда существенное оценивается как  менее значимое, чем несущественные, не всегда правильно или широко проводится перенос знаний, наблюдается слабое развитие речи, склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям. Встречаются хорошо успевающие ученики, которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом. Но все это, как обычно указывают авторы, касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей, а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и познавательной деятельности (21).
1.1.3. Определение учебной деятельности

Деятельность можно определить как специфический вид активности человека, направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира, включая самого себя и условия своего существования. В деятельности человек создает предметы  материальной и духовной культуры, преобразует свои способности, сохраняет и совершенствует природу, строит общество, создает то, что без его активности не существовало в природе (16).

Деятельность людей многообразна, но при этом её можно свести к трём основным видам: учебной, трудовой и игровой.

Учебная деятельность представляет собой процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него знания, умения и навыки, совершенствует и развивает свои способности. Такая деятельность позволяет ему приспосабливаться к окружающему миру, ориентироваться в нем, успешнее и полнее удовлетворять свои основные потребности интеллектуального роста и персонального развития (17).

Учение – это деятельность, направленная на приобретение знаний, умений и навыков, необходимых для широкого образования и последующей трудовой деятельности. Учебная деятельность школьника осуществляется под руководством учителя. Школьник активно усваивает знания, активно приобретает умения и навыки. Усвоение знаний – это проявление активной мыслительной работы учащегося. Усвоение материала требует непременного умения анализировать его, сравнивать, обобщать, выделять главное, существенное, находить сходное и различное. Усвоение знаний связано с применением знаний на практике. Знания учащегося только тогда считаются усвоенными, когда он умеет применять их на практике.

Содержание учебной деятельности определяется учебными планами и программами, разработанными для каждого года обучения с учетом возрастных особенностей психики школьника и его физических возможностей (8).

Для того, чтобы быть успешной, т.е. приводить к научению при минимальных затратах усилий и средств со стороны обучающего и обучаемого,  учебная деятельность должна соответствовать следующим основным требованиям:

- быть как для обучающего, так и для обучаемого разносторонне мотивированным процессом, т.е. побуждать учителя как можно лучше обучать, а учащегося как можно старательнее учиться;

- иметь развитую и гибкую структуру;

- осуществляться в разнообразных формах, позволяющих преподавателю наиболее полно реализовать свой творческий педагогический потенциал, а учащемуся использовать свои индивидуальные возможности для усвоения передаваемых ему знаний, умений и навыков;

- выполняться при помощи современных технических средств обучения, освобождающих как преподавателя, так и учащихся от необходимости осуществления множества рутинных операций (17).

Учение как специфический вид деятельности  имеет свою структуру, закономерности развития и функционирования. Возможность её осуществления обусловлена способностью человека регулировать свои действия в соответствии с поставленной целью.

Целью учения является познание, сбор и переработка информации об окружающем мире, в конечном итоге выражающиеся в знаниях, умениях и навыках, системе отношений и общем развитии.

Важнейшим компонентом учения являются мотивы, т.е. те побуждения, которыми ученик руководствуется, осуществляя учебную деятельность.

Главный инструмент познания – мышление. Поэтому, учитывая его взаимосвязь с другими познавательными процессами не умаляя их роли в организации учения школьников, основное внимание в процессе руководства их деятельностью необходимо уделять развитию мыслительных действий и конкретных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение и др.) (26).
1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников

Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника. Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности. Для того,  чтобы достаточно глубоко усваивать программу, необходимо развитие теоретического мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях.

В.А. Сухомлинский отмечал, что трудности учения в старших классах связаны со сложившейся ранее установкой на запоминание, заучивание обобщений, не основанных на самостоятельном анализе фактов. Причина трудностей, которые испытывают некоторые ученики – старшеклассники, заключается, по мнению педагога, в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются.  

Старшие ребята сами отмечают, что многие из них плохо подготовлены к обучению в X-XI классах. У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами, они не умеют обрабатывать материалы, поступающие из других, внеучебных  источников.

Это противоречие между уровнем учебной деятельности, который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах, и является движущей силой умственного развития старших школьников. Противоречие это по мере перехода учащихся на новый, более высокий уровень учебной деятельности, связанный с развитием теоретического мышления, навыков самообучения.

Отношение старших школьников к учению тоже изменяется. Ученики взрослеют, обогащается их опыт; они понимают, что стоят на пороге самостоятельной жизни. Растет их сознательное отношение к учению, которое приобретает непосредственный жизненный смысл. Старшеклассники отчетливо сознают, что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний, умений и навыков, полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания, или, как говорят, самообучаться. Потребность в знаниях – одна из самых характерных черт современного старшеклассника.

В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отметить избирательное отношение к учебным предметам, причина этому – наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов, связанных с их профессиональной направленностью.

В последнее время появляется явное повышение интереса к учению. Это связано с тем, что наметились определенные сдвиги в организации учебного процесса: во-первых, учителя успешнее реализуют принцип активного и самостоятельного мышления учащихся, что повышает их интерес к учению; во-вторых, обучение начинает больше индивидуализироваться: учителя находят возможности приобщать к активной деятельности сильных учащихся и уделять больше внимания слабым (9).

Можно ли ускорить умственное развитие учащихся, и если да, то каким образом это сделать?

Думается, что с точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают школьники старших классов, с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ. Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий (17).
1.2. Процесс формирования понятий в учении

1.2.1. Определение понятий

Развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Понятие – это продукт мышления, оно отражает реальный мир, предстает в познании как средство общения, т.е. специфически человеческой активности, выражается посредством речи, записи или символом. Понятие – это вывод, итог познания реальных процессов и явлений. Мысль, в которой отражаются общие, отличительные (специфические) признаки предметов и явлений действительности (21).

Понятие – форма научного познания, отражающая существенное в изучаемых объектах и закрепляемая специальными терминами. В математике понятие обозначается часто не только термином (слово или группа слов) – названием, но и символом – знаком. Понятие – это мысленное воспроизведение объекта (12).

Термин “понятие” обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.

Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций (14).

Итак, понятие – это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения (13).

Источниками образования понятий являются: жизненный опыт учащихся, их повседневные наблюдения, восприятие различной информации, здравый смысл и бытующие устаревшие традиции (всё это можно отнести к стихийному образованию понятий); специальное формирование научных понятий учителями на уроках, усвоение понятий учащимися в процессе самостоятельной работы (в этом случае не исключается использование ассоциаций, имеющих случайный характер и приводящих к ошибкам).

Для образования понятия необходимо знать мыслительные операции и уметь ими пользоваться. Без анализа действительности – предметов и явлений – невозможно глубоко изучить их, без синтеза – соединить разъединенные части в единое целое, без обобщения – сделать вывод, а затем сформулировать понятие. В процессе изучения реальной действительности формирование понятий – цель мысленной деятельности человека, а знание операций мышления – средство, с помощью которого достигается эта цель. Но в сложном процессе образования понятия сами мыслительные операции учащегося непрерывно совершенствуются, модернизируются, поднимаются на более высокий уровень. Это можно использовать в учебной деятельности. Теперь развитие операций мышления  учащегося становится целью, а образование понятий – средством, способствующим её достижению.

Понятие характеризуется содержанием, объемом, связями (и отношениями) с другими понятиями.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем понятия – это множество объектов, к которым применимо данное понятие. По объему различают единичные понятия (объем их равен единице), общие понятия (их объем больше единицы) и понятия – категории – понятия самой широкой общности.

Между содержанием и объемом понятия существует обратная зависимость: чем шире содержание понятия, тем уже его объем, и, наоборот, чем уже содержание, тем шире его объем.

Связи и отношения между понятиями отражают действительно существующие разнообразные связи между явлениями природы, общества и мышления человека. Одни из них являются ближними, существенными, другие – отдаленными, опосредствованными.

В логике понятия делят на единичные и общие, на конкретные и абстрактные, на относительные и безотносительные.

Обобщением понятия называется переход от менее общих понятий к более общим. Оно происходит путем отбрасывания основных признаков понятия, т.е. признаков, принадлежащих всем объектам, входящим в объем обобщаемого понятия. Ограничением (конкретизацией) понятия называется, наоборот, переход от более общих понятий к менее общим, объем понятия при этом сужается, а содержание расширяется.

Понятие образуется при помощи операций анализа и синтеза, абстракции и обобщения. Содержание понятия раскрывается путем описания или с помощью определения, а объем – с помощью классификации (21).

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе – достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков (13).

К отысканию ближайшего рода следует стремиться потому, что в таком случае мы подходим ближе к определяемому понятию, его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении. Такое определение состоит из определяемого понятия, логической связки и родового понятия с видовыми признаками. Определение будет логически правильным, если между двумя его основными составными частями существует отношение равенства. Иначе говоря, по отношению друг к другу не должны быть не слишком широкими, ни слишком узкими (если упущен один из существенных признаков или включен признак, присущий не всем определяемым объектам) (12).

Определяя понятия, руководствуются правилами:

- определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия;

- родовое понятие должно быть ближайшим родом по отношению к определяемому понятию;

- видовые отличия должны быть присущи только определяемому понятию;

- определение должно быть кратким и ясным (21).

Существуют логические формы, которые не являются определениями, но близки к определению, иногда заменяют или дополняют его.

Описание понятия обычно применяется в тех случаях, если невозможно или нецелесообразно вводить определение. Таким способом вводятся первичные (основные) математические понятия. В определении определяемое понятие сводится к уже известному понятию, но самое первое понятие каждой науки не к чему сводить, поэтому ввести его через определение невозможно.

Описание понятия может не только заменять определение, но и дополнять его такой информацией, которая конкретизирует понятие, расширяет связи с другими понятиями, полнее раскрывает его содержание, помогает учащимся глубже понять и прочнее усвоить новое понятие (12).
   1.2.2. Формирование и усвоение понятий

Формирование понятий – сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания – ощущений – и протекающий часто по следующей схеме: ощущения – восприятие – представление – понятие.

Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение (14).

Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Однако часто бывает так: дается словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе, не смотря на то, что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его. Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.

Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном, двух частных примерах, вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия. Такое невнимание ведет к тому, что учащиеся главным образом обращают внимание на несущественные признаки. Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков.

Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений, а на умение определять понятия (6).

Важно довести до сознания учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а далее идет процесс развития понятия – постепенное уточнение и усвоение содержания и объема понятия, его связей и отношений с другими понятиями.

Для формирования научных понятий учителю необходимо знать характеристики понятия как логической категории; способы образования и развития понятий; источники их образования; показатели, уровни и условия усвоения понятий учащимися, а также критерии способов их формирования и т. д.

Выбор методов формирования научного понятия не может быть произвольным или навязанным учителю, если даже он вытекает из самого содержания учебного материала.

Для успешного усвоения известных понятий и образования новых, неизвестных для каждого предмета указываются необходимые условия и система упражнений, которые конкретизируются в зависимости от ряда факторов: сложности понятия, возможностей учащихся, их подготовленности по другим дисциплинам и т. п.

К основным критериям усвоения понятий можно отнести: полноту усвоения содержания понятий (количество усвоенных учащимися признаков понятия), усвоение объема понятия, полноту усвоения связей и отношений данного понятия с другими; умение оперировать понятием в решение заданного класса задач, применять их к решению учебно-познавательных и практических задач, что предполагает активную мыслительную деятельность учащихся (21).

Каждое понятие должно быть правильно понято, сознательно и четко усвоено всеми учащимися ещё на уроке. Эта цель должна достигаться уже в процессе введения понятия, но понятие должно закрепляться на данном и повторяться на последующих уроках путем воспроизведения учащимися определения (или описания), приведения иллюстрирующих и конкретизирующих его примеров, проведение логического анализа определения и другой творческой работы, использование понятия в суждениях и умозаключениях. Контроль за усвоением понятия осуществляется обычно в виде опроса учащихся, при котором нужно, как правило, требовать подтверждения определения примерами, причем не только готовыми, взятыми из учебника, но и придуманными самим учеником. Это должно стать обязательным дидактическим требованием, методическим правилом в преподавании математики в школе. Ученики должны знать его и при подготовке к занятиям дома подыскивать свои примеры к вновь введенным или повторяемым математическим понятиям.

Эта творческая мыслительная работа развивает мышление школьников и способствует сознательному, глубокому и прочному усвоению сущности, содержания и объема понятия, исключает его формальное изучение, механическое заучивание определения.

Каждый ученик должен знать определения изученных понятий, однако требовать заучивания формулировок понятий не следует, т.к. это незаметно может привести к формализму. Надо ориентировать школьников на смысловое, логическое запоминание, которое должно стать результатом осмысливания определения, его структуры в процессе изучения и применения. Выделение родового понятия и видовых признаков, подыскание нескольких своих по возможности разнообразных примеров и проверка их на предмет полного удовлетворения всем требованиям определения – эффективное средство достижения сознательного усвоения понятия и его определения. Необходимо постепенно раскрывать перед учащимися общую логическую структуру определения, учить самостоятельно конструировать его для новых понятий.

Ученики должны знать, что дословное соблюдение формулировки, данной в учебнике, весьма желательно, хотя от её формы можно отступить, передать частично “своими словами”, но всё содержание книжной формулировки обязательно сохранить точно. Когда ученик формулирует определение “своими словами”, здесь скорее возможны ошибки, которые помогают выявить значение отдельных необходимых элементов определения и пробелы в усвоении понятия, с тем, чтобы неотложно устранить их. Заученная формулировка может скрывать подобные пробелы. Учитель должен учить школьников выражать мысли “ своими словами”, поощрять их к этому, терпеливо подводить к самостоятельному исправлению ошибки. При дословных книжных формулировках особенно необходимо проверять сознательность их усвоения учащимися. На примерах таких формулировок, в которых нельзя опустить ни одного слова, учитель прививает ученикам вкус к логической культуре мышления и речи, учит их выражаться лаконично и точно. Важно учить школьников оттачивать собственные формулировки, доводить их до лучших образцов.

Нельзя допускать поспешности при введении новых понятий, особенно если они сложны, трудны для учащихся и обладают высокой степенью абстракции. Практика показывает, что время, дополнительно затраченное при введении нового понятия на всестороннее, глубокое его изучение и сознательное усвоение, окупается в дальнейшем благодаря более легкому и результативному усвоению последующих связанных с этим понятием вопросов.

При всех видах повторения продолжается работа по дальнейшему усвоению математических понятий. Главное внимание при этом уделяется не воспроизведению определений, а различным видам творческой работы учащихся с понятиями. Так, например, при обобщающем повторении полезны упражнения на классификацию понятий и составление их “родословных”.

Подобные примеры, с одной стороны, лучше подчеркивают существенные элементы принятых в школьном курсе определений и соотношение понятий, а с другой – расширяют кругозор учащихся и придают большую гибкость мышлению (12).

Т.о. мы понимаем под мышлением социально обусловленный процесс познавательной деятельности, неразрывно связанный с речью, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности.

Учебную деятельность мы определяем как процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него ЗУН, совершенствует и развивает свои способности.

Специфические особенности мышления у старшеклассников: мышление становится более глубоким, полным и разносторонним. Овладение его высшими формами способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности. Ведущее значение занимает абстрактное мышление, но роль конкретного не умаляется, т.е. степень развития теоретического мышления высока. Старшеклассники не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют его операции и приемы, и совершенствовать их в процессе учебной деятельности.

Учебная деятельность старшеклассников предъявляет высокие требования к их умственной активности и самостоятельности. Старший школьный возраст очень благоприятен для развития математических научных способностей. Под влиянием специфической для старшеклассника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность, характер умственной работы. В эти годы завершается формирование когнитивных процессов, мысль окончательно соединяется со словом. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.

Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Öa²+b², выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/² = /z/².

Упражнения:

1. (2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2    + 2i

                                                  Ö3     Ö3  ;
2. (m -  n  i) + ( n - m   i - (( 1   - 1  i) - 1  - 1 i))  ;

   n     m          m    n          n      m      m   n
3. 2i (1 + Ö
3  i)  ( -1   + Ö
3  i );

         2     2          2         2

4. Найдите комплексные числа:

а) z =i + 6i+1    б) z = i¹³+ i¹⁴ + i¹⁵ +i¹⁶ ;  в) z = 3+1  :   2

             1+7i                                                       3-i       5(1-i)
г) z = (1+2i)³ - (1-i)³    ; д) z = (2+i)⁵      е) z = 5+12i  + (1+2i)²          

          (3+2i)³- (2+i)²                                                         8-6i        2+i
 ж) z = (-0,5 + i Ö3) ³

                           2

5. Изобразить геометрически комплексные числа:

а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.

6. Найдите действительную часть комплексного числа:

z= (1+2i) + i¹⁹ ;

мнимую : z= (2-i)³ (2-11i).

7. Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.

8. Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию:   z= z₁ +z₂ +z₃, где  z1 = 3-2i;    z₂=-3+4i;    z₃ = 2- i.

9. Найти два действительных числа Х и У, удовлет  их равенствам:

а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у

    х                 х

б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;

в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.
 §2. Действия над комплексными числами, заданными

в алгебраической форме. Решение задач.

Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:

1. Обозначение  числовых множеств и их соотношения.

2. Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?

3. Определение комплексных  чисел, частные случаи, основные соглашения.

4. Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.

5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.

6. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).

7. Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.

8. Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).

9. Можно ли сравнивать комплексные числа?

10. Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.

Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:

1. Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;

2. Возвести в степень: а) i¹²³ = . . . ; б) (i-1)² = . . . .

3. Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .

4. Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-5i; z²=2+3i.   

5. Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z₁=1-i; z₂=3i.

Упражнения:

1. Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]² =; б) a-bi   - i  b-ai = ;

                                                                      b+ai       a+bi

в) i¹⁰⁰ + i⁹⁸ +i⁶³ =;

 

2. Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x² -7x +9yx = y²i +20i -12.

3. При каких действительных значениях Х и У комплексного числа

а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y² - 4 - 10x и 8y² + 20i⁷ Будут сопряженными?

4. Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;

б) z² - (5+2i) z + 5 + 5i =0;   в) z² + z =0;  г) (1-i) z - 3iz = 2-i;   д) z*z + 2z =3+2i;

е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.

5. Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;

г) z² + 3/z/ =0;  д) z² + /z/² =0.

8. Какое  множество точек комплексной плоскости задается условием:

а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) J_mz < -2;  д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.

7. Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси О_х; б) оси  О_у; в) начала координат?

8. На комплексной плоскости даны точки z₁, z₂ , z₃  являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.

9. Изобразить: а)   /z/ £3         б)/z/³ 1      в) /z-1/³ 2

                              /z-3i/³3        /z-2i/£2        -1< Rez<2
г) 1£ /z-1/£ 2           д) /z/ £3

    0£  J_mz£Ö3             1< J_mz <2.
§ 3  Тригонометрическая форма комплексного числа.

                Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

   Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА  называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси,  - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для  числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r,                                                                          отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =Öa² + b², т.о. действительная и мнимая   части   комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может  быть  записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

1. Найти радиус r = Öa² + b²

2. Вычислить tg j₁ =|b/a|.                                 

3. По знакам a  и b  определить четверть, в которой   находится число z.

4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j₁;

б) во II четверти, то j = p - j₁;

в) в III четверти, то  j = p + j₁;

г) в IV четверти, то j = -j₁, или j = 2p -j₁.

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться:

j

0

p 6

p 4

p 3

p 2

p

5 p 6

3 p 4

2 p 3

3 p 2

4 p 3

4 p 4

7 p 6

5 p 3

7 p 4

11 p   6

2p

sinj

0

1 2

Ö 2  2

Ö 3  2

1

0

1  2

Ö 2  2

Ö 3  2

-1

- Ö 3  2

- Ö 2  2

-1  2

- Ö 3   2

- Ö 2   2

-1  2

0

cosj

1

Ö 3  2

Ö 2  2

1  2

0

-1

- Ö 3 2

- Ö 2   2

- 1  2

0

-1  2

- Ö 2   2

- Ö 3   2

1 2

Ö 2  2

Ö 3  2

1

Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j) числовых значений cos j  и sin j, затем раскрываются скобки и производятся  упрощения.

Например: 1) z = 1+i       /z/ r =Ö 1²+1² =Ö2 

sinj = 1 =2     cosj = 1  = 2 Þj = 45⁰

             Ö2   2               Ö2    2

т.о z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 45⁰+ isin 45⁰ =Ö2 (cos p + sin p)

                                                                                     4         4

2. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.

Упражнения:

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö
3 i         е)  -3 (cos p + isin p

                                                   2      2   ;                        7           7  ;

ж) sin 48° + cos 48° ;  з) 1 + cos 10p
+ isin 10p

                                                      9               9

2. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;

в) z = 5(cos p + isin p    ;  г) z = 2(cos p + isin p


                    2          2                           3           3

3. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )

                                                                             4           4

б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p

                                                       4             4