ВВЕДЕНИЕ

Вейвлет-преобразование сигналов (wavelet transform), теория которого оформилась в начале 90-х годов, является не менее общим по областям своих применений, чем классическое преобразование Фурье. Принцип ортогонального разложения по компактным волнам состоит в возможности независимого анализа функции на разных масштабах ее изменения. Вейвлет-представление сигналов (функций времени) является промежуточным между полностью спектральным и полностью временным представлениями.

Компактные волны относительно независимо были предложены в квантовой физике, физике электромагнитных явлений, математике, электронике и сейсмогеологии. Междисциплинарные исследования привели к новым приложениям данных методов, в частности, в сжатии образов для архивов и телекоммуникаций, в исследованиях турбулентности, в физиологии зрительной системы, в анализе радарных сигналов и предсказании землетрясений. К сожалению, объем русскоязычной научной литературы по тематике вейвлет-преобразований (да и нейронных сетей) относительно невелик.

Базовая идея восходит к временам 200-летней давности и принадлежит Фурье: аппроксимировать сложную функцию взвешенной суммой простых функций, каждая из которых, в свою очередь, получается из одной функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль строительного блока, а искомая аппроксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом, если "хорошая" аппроксимация получается при использовании небольшого числа блоков, то тем самым достигается значительное уплотнение информации. В качестве таких блоков Фурье использовал синусоиды с различными периодами.

Что прежде всего отличает вейвлет-анализ от анализа Фурье? Основным недостатком Фурье-преобразования является его "глобальная" чувствительность к "локальным" скачкам и пикам функции. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области определения. Это особенность оказывается полезной для стационарных сигналов, свойства которых в целом мало меняются со временем.

При исследовании же нестационарных сигналов требуется использование некоторых локализованных во времени компактных волн, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию о дрейфе параметров аппроксимируемой функции. Первые попытки построения таких систем функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты ("окна") с применением разложения Фурье для этих фрагментов. Соответствующее преобразование - оконное преобразование Фурье - было предложено в 1946-47 годах Jean Ville и, независимо, Dennis Gabor. В 1950-70-х годах разными авторами было опубликовано много модификаций времени-частотных представлений сигналов.

В конце 70-х инженер-геофизик Морли (Jean Morlet) столкнулся с проблемой анализа сигналов, которые характеризовались высокочастотной компонентой в течение короткого промежутка времени и низкочастотными колебаниями при рассмотрении больших временных масштабов. Оконные преобразования позволяли проанализировать либо высокие частоты в коротком окне времени, либо низкочастотную компоненту, но не оба колебания одновременно. В результате был предложен подход, в котором для различных диапазонов частот использовались временные окна различной длительности. Оконные функции получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени гаусиана. Морли назвал эти базисные функции вейвлетами (wavelets) - компактными волнами. В дальнейшем благодаря работам Мейера (Yves Meyer), Добеши (Ingrid Daubechies), Койфмана (Ronald Coifman), Маллы (Stephane Mallat) и других теория вейвлетов приобрела свое современное состояние.

Среди российских ученых, работавших в области теории вейвлетов, необходимо отметить С.Б. Стечкина, И.Я. Новикова, В.И. Бердышева.

1. МНОГОМАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ И ВЕЙВЛЕТЫ

Определение 1. Многомасштабный анализ (
multiresolutional
analysis) – разложение гильбертова пространства L²(R^d), d
³1, в  последовательность замкнутых подпространств

                                       ,                                               (1.1)

обладающих следующими свойствами:

1.     ,  и     полно в L²(R^d),                                                 

2.     Для любого f
Î
L²(R^d), для любого j
Î Z,   f(
x)
Î
V_j   тогда и только тогда, когда

f(2
x)
Î
V_j-1,

3.     Для любого f
Î
L²(R^d), для любого k
Î Z^d,   f(
x)
Î
V₀   тогда и только тогда, когда         
f(
x-
k)
Î
V₀,

4.     Существует масштабирующая (
scaling) функция j
Î
V₀, что {
j(
x-
k)}
_k
Î
Z
^d образует                                 

базис Ритца в V₀.

Для ортонормальных базисов можно переписать свойство 4 в виде:

4’. Существует масштабирующая функция j
Î
V₀, что {
j(
x-
k)}
_k
Î
Z
^d образует         ортонормальный базис в V₀.

Определим подпространство W_j как ортогональное дополнение к V_j в V_j-1,

                                                              ,                                                       (1.2)

и представим пространство L²(R^d) в виде прямой суммы

                                                                                                                 (1.3)

            Выбирая масштаб n, можем заменить последовательность (1.1) следующей последовательностью:

                                                                              (1.4)

и получить

                                                                                                            (1.5)

            Если имеем конечное число масштабов, то, не нарушая общности, можно положить j=0 и рассматривать

                                                ,   V₀
Î
L²(R^d)                                   (1.6)

вместо (1.4). В числовой реализации подпространство V₀ конечномерно.

            Функция j - так называемая масштабирующая (скейлинг-) функция. С ее помощью можно определить функцию
y - вейвлет - такую, что набор  {
y(
x-
k)}
_k
Î
Z  образует ортонормальный базис в W₀. Тогда

                                                     , m=0..
M-1.                                            (1.7)  

Из свойства 4’ непосредственно следует, что, во-первых, функция j может быть представлена в виде линейной комбинации базисных функций пространства V_-1 . Так как функции  {
j
_j,
k(
x)=2^-
j/2
j(2^-
j
x-
k)}
_k
Î
Z   образуют ортонормальный базис в V_j, то имеем

                                                         .                                           (1.8)

Вообще говоря, сумма в выражении (1.8) не обязана быть конечной. Можно переписать (1.8) в виде

                                                          ,                                            (1.9)

где

                                                         ,                                         (1.10)

а 2p-периодическая функция m₀ определяется следующим образом:

                                                            .                                            (1.11)

            Во-вторых, ортогональность {
j(
x-
k)}
_k
Î
Z подразумевает, что

                                                                         (1.12)

и значит

                                                                                           (1.13)

и                                                      .                                                    (1.14)

Используя (1.9), получаем

                                                                                   (1.15)

и, рассматривая сумму в (1.15) по четным и нечетным индексам, имеем

     .   (1.16)

Используя 2p-периодичность функции m₀ и (1.14), после замены x/2 на x, получаем необходимое условие

                                                                                                  (1.17)

для коэффициентов h_k в (1.11). Заметив, что     

                                                                                                       (1.18)

и определив функцию y следующим образом:       

                                                 ,                                                (1.19)     

где

                                            ,      k=0,…,
L-1 ,                                           (1.20)

или преобразование Фурье для y

                                                ,                                                    (1.21)

где

                                                   ,                                                     (1.22)

можно  показать,      что   при    каждом    фиксированном    масштабе   j
ÎZ     вейвлеты

{
y
_j,
k(
x)=2^-
j/2
y(2^-
j
x-
k)}
_k
Î
Z  образуют ортонормальный базис пространства W_j.

            Равенство (1.17) определяет пару квадратурных зеркальных фильтров (quadrature mirror filters,
QMF) H и G, где  и . Коэффициенты QMF
H и G вычисляются с помощью решения системы алгебраических уравнений. Число L коэффициентов фильтра в (1.11) и (1.22) связано с числом исчезающих моментов М, и  всегда четно.

            Выбранный фильтр Н  полностью определяет функции j и y и, таким образом, многомасштабный анализ. Кроме того, в правильно построенных алгоритмах значения функций j и y почти никогда не вычисляются. Благодаря рекурсивному определению вейвлетного базиса, все операции проводятся с квадратурными зеркальными фильтрами H и G, даже если в них используются величины, связанные с j и y.