Построение математических моделей при решении задач оптимизации
План
1. Введение

2. Математические модели и их свойства.

3. Практические задачи, приводящие к исследованию линейной функции.

4. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач.

5. Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач.

6. Заключение.

7. Список литературы.
Введение
Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества.

Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию ( от латинского “оптимум” – наилучший). Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены только с использованием методов дифференциального исчисления. Ряд задач такого типа решается с помощью специальных методов линейного программирования, но существуют и такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики.

Следует различать также два вида задач на оптимизацию. В задачах первого вида улучшение достигается за счет коренных качественных изменений:  выбор новых конструктивных решений, переход на новую технологию изготовления. В задачах второго рода качественная сторона дела остается  неизменной, но  меняются количественные показатели. В данной работе рассмотрены задачи только второго типа. В таких задачах ищутся наибольшее и наименьшее значения функций, зависящих от одной или нескольких переменных.
1. Математические модели и их свойства
Прежде чем решать какую – либо жизненную задачу, человек старается взвесить имеющуюся у него информацию, выбрать из нее существенную. И только потом, когда станет более или менее ясно, из чего исходить и на какой результата рассчитывать, он приступает к решению  задачи. Иногда описанный процесс называют “уяснением задачи”, фактически же это замена исходной жизненной задачи ее моделью. В осмыслении простейшей жизненной ситуации присутствует модельный подход, хотя человек обычно не замечает своей деятельности по созданию моделей – настолько она для него естественна. Иное дело, если возникающая задача затрагивает ключевые моменты жизни одного человека или какого – либо сообщества людей. Разнообразие информационных аспектов в каждой такой задаче настолько велико, что бывает сложно из всего многообразия информации об изучаемом явлении или объекте выбрать наиболее существенные. В таких случаях необходимо сделать упрощающее предположение, чтобы выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом. Все это – предположения, исходные данные, результаты, связи между ними – их называют моделью задачи.

Если построенная модель дает удовлетворительные результаты при решении жизненных задач, то говорят, что модель адекватна рассматриваемому объекту (процессу или явлению). Нередко для решения модельной задачи требуется некоторый инструментарий. Этот инструментарий обычно организуется в виде единого объекта, называемого исполнителем. Чтобы исполнитель мог получить ответ, ему нужны указания, что и как делать. Такие указания часто представляются в виде алгоритма, в котором задаются математические соотношения, связывающие исходные данные и результат. В этом случае говорят о построении математической модели задачи.

Обычно модель возникает как необходимый этап решения конкретной задачи. Однако в дельнейшем может происходить обособление модели от задачи, и модель начинает жить самостоятельно. Примером может служить сюжет движения с постоянной скоростью, который возникал в человеческой деятельности столь часто, что в конце концов обособился от задач и стал составляющей физического знания, называемого “равномерное прямолинейное движение”. Теперь при необходимости решить какую – либо задачу, связанную с равномерным движением пользуются этой готовой моделью процесса. В одних задачах результатом может оказаться время, в других – пройденный путь, в третьих скорость. Остальные параметры модели процесса станут исходными данными.

Если же в задаче фигурирует не равномерное движение, а равноускоренное, то физика и здесь предложит готовую модель в виде формулы:   S =
V₀
t +
at²

                                                                                                               2

Соответственно говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и т.д. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и пр.

В настоящее время широко используется математическое моделирование и тогда, когда о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия уже доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее. История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.

Математический аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме классических разделов математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

2. Практические задачи, приводящие к исследованию линейной                   функции

Задача 1 .

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывается 200 т руды в сутки, на шахте В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км. Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до шахты А через х:

х                                                  60 - х

A_____________________________
B      

АС = х  

ВС = 60 - х
Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000, которая определена на сегменте [0; 60].

Ясно, что  это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно  здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок.

Исследуя функцию у = 100х + 6000 на сегменте [0; 60], получим уmin = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0, уmin = 6000 т/км. Завод надо строить возле шахты А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод, если бы:

а) в шахте А добывалось 100 т, а в шахте В – 200 т руды;

б) в шахте А – 200 т, а в шахте В – 190 т;

в) в шахте А и шахте В – по 200 т руды;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на сегменте [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = - 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если в шахте А добывается руды больше, чем в шахте В, то завод надо строить возле шахты А; если же количество руды в этих шахтах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между шахтами А и В.
Задача 2.

На колхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Учитывая, что количество как  одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х, а 5 – метровых – через у. Тогда  7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное  уравнение

7х + 5у = 167

Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:



          Так как х, у Є
 Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнение 7х + 5у = 167.

(1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).

Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21, у = 4.
Задача 3 .

Для изготовления двух видов изделий Аи В завод расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, запас которых ограничен. На изготовление указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки в количестве, указанном в таблице.
Таблица

Затраты на одно изделие		А	В	Ресурсы
Материалы	Сталь (кг)	10	70	320
Материалы	Цветные металлы (кг)	20	50	420
Оборудование	Токарные станки (станко-ч)	300	400	6200
Оборудование	Фрезерные станки (станко-ч)	200	100	3400
Прибыль на одно изделие (в тыс.руб.)		3	8

Необходимо определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль, если время работы фрезерных станков используется полностью.

Решение.

Посмотрим математическую модель задачи. Обозначим через х число изделий вида А, а через у – число изделий вида В. На изготовление всей продукции уйдет (10 х +70у)кг стали и (20 х +50у) кг цветных металлов. Так как запасы стали не превышают 320 кг, а цветных металлов – 420 кг, то

10х +70у £ 320

20х + 50у  £  420

(300х +400у) ч – время обработки всех изделий на токарных станках:

300х + 400 £ 6200

Учитывая, что фрезерные станки используются максимально, имеем:

200х +100у = 3400

Итак, система ограничений этой задачи есть:
10х  + 70у £ 320

  20х  +  50у £ 420

                300х  +  400у £ 6200    (1)

      200х  + 100у = 3400

                                                             х  £ 0, у £ 0.

 

Общая прибыль фабрики может быть выражена целевой функцией

                                                        F = 3х + 8у.                                                    (2)
Выразим у через x из уравнения 200х + 100у = 3400 и подставим полученное выражение вместо у в неравенства и целевую функцию:
  х +7(34 –2х) £  32

     2х + 5(34 – 2х) £ 42

       3х + 4( 43 – 2х) £ 62

                                                              у = 43 – 2х                 (3)

                                                             х ³ 0

                                                            34 – 2х ³ 0,
F = 3х + 8(34 – 2х) = -13+272                 (4)

Преобразуем систему ограничений (3):
                                                             11

13х  ³ 206                                    х³ 5 13

                                                                                                 

8х  ³ 218                                      х ³ 16                           

                                                             4

 5х  ³ 174                                     х £ 4 5                        

                                                                                                           16 £ х  £ 17

5х ³ 74            Û                      0 £ х £ 17                          Û         

                                                                                                             у = 34 – 2х

0 £ х £ 17                              

                                           

у =34  - 2х                                 у = 34 – 2х
Очевидно, что F =272 –3х принимает наибольшее значение, если х=16.

Fнаиб = 272 – 13 * 16 – 64 (тыс. руб.)
Отдельно следует остановиться на случаях  использования ЭВМ  при решении задач оптимизации. Рассмотрим это на примере решения следующей задачи:

Задача 4.

В обработку поступила партия из 150 досок длиной по 7.5 м. каждая, для

изготовления комплектов из 4-х деталей. Комплект состоит из:

·        1 детали длиной 3 м.

·        2-х деталей длиной 2 м.

·        1 детали длиной 1.5 м

Как распилить все доски, получив наибольшее возможное число комплектов?

Решение.

 Для решения этой задачи воспользуемся редактором электронных таблиц EXCEL

Вводим в ячейки B3:D10  варианты возможного распила одной доски. В ячейках E3:E10 ставим по умолчанию количество  досок по одной. В ячейках F3:H10 суммируем получившиеся распиленные детали.

Способы	3м	2м	1,5м	Количество	3м	2м	1,5м
1	2	0	1	1	2	0	1
2	0	3	1	1	0	3	1
3	0	0	5	1	0	0	5
4	1	0	3	1	1	0	3
5	1	2	0	1	1	2	0
6	0	2	2	1	0	2	2
7	1	1	1	1	1	1	1
8	0	1	3	1	0	1	3
				8	5	9	16
						1
						23
						11

В ячейках E11:H11 суммируем количество досок и деталей.

Вводим формулы:

G11 -   ABS(2*F11-G11)

G12 -   ABS(G11-2*H11)

G13 -   ABS(F11-H11)

Входим во встроенную функцию EXCEL  Поиск Решения

Устанавливаем Целевую ячейку  E11

Ставим ограничения:

E3:E10=>0

E3:E10= ЦЕЛЫЕ

         G12<=1

G13<=1

G14<=1

Даем команду Выполнить

Машина выдает разультаты

Способы	3м	2м	1,5м	Количество	3м	2м	1,5м
1	2	0	1	34	68	0	34
2	0	3	1	33	0	99	33
3	0	0	5	0	0	0	0
4	1	0	3	0	0	0	0
5	1	2	0	47	47	94	0
6	0	2	2	24	0	48	48
7	1	1	1	12	12	12	12
8	0	1	3	0	0	0	0
				150	127	253	127
						1
						1

Видно, что для полных 127 комплектов не хватает  одной двухметровой детали.

То есть максимальное число комплектов – 126. Остаток – по одной детали всех типов.

Ответ: максимальное число комплектов – 126
3. Использование свойств квадратичной функции при решении экстремальных задач

Задача 5.

Окно имеет форму прямоугольника ,завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м .Каковы должны быть размеры окна,чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

Решение.

Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью,если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.

                                                                 

                                                              Пусть AB=x, AD=y,тогда                      

                                                               P=AB+BC+AD+   DMC

                                                                P=x+2y+0,5  p  x  (1)

                                                               S=AB*BC+p  x /8

                                                               S=xy+     x  p/8    (2)

                                                               Из (1),(2) следует, что

                                                                S(x)=-(p/8 +1/2)x  +3x

Известно,что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при

x   =-b/2a,т.е. x  =12/(p +4), y= 6/ (p +4).

 

Ответ.Размеры окна 6/(p +4),12/(p +4).
Задача 6.

На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν₀ = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении,  изменяется в зависимости от времени по закону s = s₀ +  ν₀ t + at²/ 2, где s₀ – начальный путь, ν₀ – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

В рассматриваемом случае s =0,v  =300 м/с, а=-5 м/с  ,значит,S(t) = 300t – 5t² .


Функция S(t) принимает наибольшее значение при

                            S(30)= 300*30-5*30²  =4500(м)

Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.

Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.

Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.

В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах 
Задача 7.

Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).

Составьте уравнение этой параболы.

Решение.

Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax² + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1), т.е.




 4 = c                                             c = 4                                       c = 4,        

                                    Þ                                            Þ                              

 0 = 100a + c                                 100a = -4                                a = - 0,04  
Парабола имеет вид: y = - 0,04x² + 4.       
4.Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач.
Задача 8.

Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м². Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?

Решение.

Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала – y м.

Тогда:




x*y=4,5                                      y=4,5/x

S= L*(2x+y)                                S=L*(2x+4,5/x)
Найдем производную.

                      Так как  S’=0, и L(длина канала)-положительное число,то

            x=1,5        Легко убедиться, что   при данном x значение S минимально

Ответ: x=1,5 м.    y=3 м.
Задача 9.

Какова должна быть скорость парохода,чтобы общая  сумма расходов на один км. пути была наименьшей,  если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.
Решение.

Расходы на 1км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется  пароход, тем больше расход топлива. Остальные  расходы от скорости движения не зависят.

Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна

Расходы на 1км выразится формулой  S/V

По условию имеем  S=KV²+b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо.

Y=S/V     Y=(KV²+b)/V=KV+b/V

Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.

Y¢=K=b/V²      Y¢=0

V=Öb/V            

Таким образом общая сумма расходов на 1 км. пути будет наименьшей при V=Öb/V.

Значение коэффициентов b и K определяются из опыта  эксплуатации парохода.
Задача 10.

Над центром круглого стола радиусом r висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Из физики известна формула E=k*sinj/(h²+r²)

sinj=h/Ö(h²+r²)

Для упрощения решения задачи вместо функции

                                                   E=k*sinj/(h²⁺r²)=k*h/(h²+r²)^3/2  возьмем функцию

                                                   T=1/k²*E²=h²/(h²+r²), для упрощения формулы заменим

                                                    h²=z

                                                     тогда:

                                                     T=z/(z+r²)³     

T¢= ((z+r²)³-z*3*(z+r²)²)/ (z+r²)⁶=(z+r²-3*r)/ ((z+r²)⁴

                                                       T¢=0® r²-2*r=0® z=r²/2    h=r/Ö2

Ответ. Освещенность максимальная, если h=r/Ö2

Задача 11.

Нахождение гидравлически наиболее выгодного трапециидального сечения русла.

Из всех сечений русла, представляющих собою равнобедренную трапецию, имеющих одинаковую площадь w и уклон i
, найти то, которое будет пропускать наибольший расход Q.

Пояснение:

 1. Расход Q –это количество воды, проходящее через поперечное сечение русла в единицу времени

2. Расход Q определяется  по формуле:  Q=w*cÖr*j    

w-площадьсечения

 c-коэффициент

 r-гидравлический радиус

 
i-уклон дна русла

 3. Гидравлический радиус  есть отношение площади сечения к смоченному периметру c:   r=w/c

  4. Смоченный периметр есть линия соприкосновения жидкости с поверхностью канала.

   5. Крутизна 1/m откоса есть отношение высоты откоса к заложению (АО).

Решение. Расход Q  зависит от r, и он будет наибольшим при r_max , что будет тогда, когдаc_min

Крутизна откоса 1/m =h/АО, то АО=h*m

Тогда w=1/2*(b+2*m*h+b)h=(b+m*h)*h

c=b+2*hÖ1+m²т.е.

c=(w/h-m*h)+2*hÖ1+m²

c(h)=(- w/h²-m)+2Ö1+m²

c(h)=-(b+m*h)/h-m+2Ö1+m²

c(h)=-b/h+2(Ö(1+m²)-m)       c(h)=0 при b/h=2(Ö(1+m²)-m)

c(h)¢¢>0 при h=b/2(Ö(1+m²)-m)

Ответ.c имеет наименьшее значение при условии h=b/2(Ö(1+m²)-m)
Заключение.
В настоящее время получило всеобщее признание то, что успех развития многих областей науки и техники существенно зависит от развития многих направлений математики. Математика становится средством решения проблем организации производства, поисков оптимальных решений и, в конечном счете, содействует повышению производительности труда и устойчивому поступательному развитию народного хозяйства.

Использование экстремальных задач при изучении математики оправдано тем, что они с достаточной полнотой закладывают понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучше. Решая задачи указанного типа, наблюдаем, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, а с другой – большую эффективную их применимость к решению жизненных практических задач.

Экстремальные задачи помогают ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности.

 Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению наших математических знаний. Через задачи мы знакомимся с экстремальными свойствами изучаемых функций, с некоторыми свойствами неравенств. Эти задачи могут серьезно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения положений изучаемой теории на практике.
Список литературы
1.                Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа 10-11. М.: Просвещение, 1992.

2.                Беляева Э. С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. М.: Просвещение, 1997.

3.                Виленкин Н. Л. Функции в природе и технике. – М.: Просвещение, 1978

4.                Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.

5.                Гейн А. Г. Земля Информатика. – Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 1997

6.                Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. – М: Наука, 1991

7.                Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. М: Просвещение, 1980.

8.                Перельман Я. И. Занимательная алгебра. М: АО “Столетие”, 1994

9.                Хургин Я. И. Ну и что? (Разговоры математика с биологами и радистами, врачами и технологами… о математике и ее связях с другими науками). М.: Молодая гвардия, 1967.

10.             Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1997