Реферат Тройные и кратные интегралы
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.
Иркутский государственный технический университет.
Кафедра высшей математики.
Реферат
.
Применение тройных или кратных
интегралов.
Выполнила: студентка
группы ТЭ-97-1
Мелкоступова С.С.
Проверил преподаватель
кафедры высшей математики
Седых Е.И.
Иркутск 1998.
Содержание.
I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
II. Вычисление тройных интегралов.
1. Декартовы координаты.
А) Пример.
2. Цилиндрические координаты.
3. Сферические координаты.
А) Пример.
4. Применение тройных интегралов.
I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.
Рассмотрим тело, занимающее пространственную область
Единица измерения плотности - кг/м3.
| |
Рис. 1.
Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим
Предел этой суммы при условии, что
Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции
К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл
где
Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .
Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция
Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.
V 1. Если функция
то
где V - объем области
VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.
II. Вычисление тройных интегралов.
Вычисление тройного интеграла
1. Декартовы координаты.
Пусть дан тройной интеграл от функции
причем область
, Оу
z
. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования
В соответствии с этим будем писать
Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.
Будем считать, что область интегрирования
Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области
Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D,
которая является ортогональной проекцией пространственной области
Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz
. Для этого функция
Результат интегрирования представляет собой величину, зависящую от точки Р (х, у)
; обозначим ее через F(х
,
у
):
При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоянные.
Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у
) при условии, что точка Р(
х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл
Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде
Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим
где
Мы видим, что вычисление тройного интеграла по области
Формула (*) сохраняется и для областей, имеющих цилиндрическую форму, т. е. ограниченных цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Оz
, а снизу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно
| |
Рис.2
Если областью интегрирования служит внутренность параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :
В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.
Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.
Рис.3 Рис.4
| |
А) Пример.
Вычислим тройной интеграл
где
и плоскостью
Интегрирование по z совершается от z=0 до
Расставим теперь пределы интегрирования по области D - треугольнику, уравнения сторон которого
2. Цилиндрические координаты.
Отнесём область
| |
Рис.5
Разобьем область
, полуплоскости, проходящие через ось Оz
, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями
Преобразование тройного интеграла
Получим
Если, в частности,
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по
3. Сферические координаты.
Отнесём теперь область интегрирования
.
Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем
Отсюда
(**)
Разобьем область
на частичные области 
, тремя системами координатных поверхностей: 
которыми будут
соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz
, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz
. Частичными областями служат “шестигранники” (рис. 7). Отбросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с измерениями, равными: 
по направлению полярного радиуса, 
по направлению меридиана, 
по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение
Заменив в тройном интеграле
по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь
Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара 
, а внешнего 
, пределы интегрирования следует расставить так:
Если - шар, то нужно положить 
A) Пример.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим
Применение тройных интегралов.
Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz
, Оу
z
; обозначим их соответственно
Повторяя рассуждения получим следующие формулы для координат 
центра тяжести неоднородного тела, плотность которого задается функцией 
занимающего область :
Если тело однородно, т. е.
, то формулы упрощаются:
где V- объём тела.
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара:
Две координаты центра тяжести
равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz)
.
Интеграл
удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:
Так как объём полушара равен
то
Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны
то полагая для простоты 
получим следующие формулы :
Аналогично плоскому случаю интегралы
называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид
Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель
- плотность тела в точке P.
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь
где М—масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что
получим
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело вращается околооси Оz с постоянной угловой скоростью 
. Найдем кинетическую энергию 
тела. Как известно, кинетическая энергия точки измеряется величиной 
, где т - масса точки, а 
- величина ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии интеграл.
Возьмем какую-нибудь окрестность
точки Р(х, у, z
) тела. Величина линейной скорости точки Р при вращении около оси Оz равна 
и значит, кинетическая энергия части тела выразится так :
где
- плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела получаем
т.е.
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.
Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971 г.,736с.
| |
Рис.6
Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем
Отсюда
Разобьем область
| |
| |
соответственно сферы с центром в начале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz
, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпадающими с одной из полуосей Оz
. Частичными областями
Заменив в тройном интеграле
Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование
Если
A) Пример.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим
Применение тройных интегралов.
Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты относительно координатных плоскостей Оху, Охz
, Оу
z
; обозначим их соответственно
Если тело однородно, т. е.
где V- объём тела.
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара
Две координаты центра тяжести
.
Интеграл
Так как объём полушара равен
Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны
Аналогично плоскому случаю интегралы
называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид
Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет находиться дополнительный множитель
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь
где М—масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно, равны между собой, то, учитывая, что
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть тело
Возьмем какую-нибудь окрестность
) тела
где
т.е.
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на момент инерции тела относительно оси вращения.
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.
Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971 г.,736с.
