МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

Развитие аналитической геометрии

Выполнила

студентка

 физико-математического

факультета

V
курса, группы “Г”

Гуленкова Оксана

Могилев 2002.
Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто­рию. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат­ных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно­кратно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометриче­ская алгебра, в которой место вычислений занимали построения от­резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер­воначально работы в этом направлении не выходили за пределы тради­ционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым по­следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) и посмертно из­данном труде «О математическом анализе и синтезе» (De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви­ета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре­угольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относи­тельно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (sub algebram non cadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и по­казал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его кор­ни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир­рациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит срав­нительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее раз­виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение при­надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге кото­рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ ма­тематики» (Clavis mathematicae, Londini, 1631)[1], отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой яв­ляется уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор­нями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхно­стей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или ко­ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной по­верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид коор­динат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свой­ства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фи­гуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых коор­динат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометри­ческой алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диа­метра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку про­веденными (линиями)» (на рис. 6 соответственно у и x). В своем упоминав­шемся ранее латинском издании «Конических сечений» (Венеция, 1566) Федориго Коммандино первые


выражения передал оборотом ordinatim applicatae, т. е. «по порядку приложенные» (т. е. направленные)[2], а вто­рое — quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, т. е. «которые отсекаются ими па диаметре от вершины». Отсюда берут начало термины abscissa, т. е. «отсеченная», ordinata и applicata, которые, впрочем, уко­ренились не сразу. Слово «абсцисса», встречавшееся в смысле отрезка у различных авторов, например Кавальерп (1635), становится техниче­ским термином координатной геометрии в 1668 г. у Микеланджело Риччи (1619—1692) ii особенно у Лейбница, начиная с рукописей 1673 г. Ферма и Декарт в своих основоположных сочинениях по аналитической геомет­рии (1636—1637; писали еще об «отрезках диаметра». Слово «ордината» в нашем смысле применял другой переводчик па латынь «Конических се­чений» — Франчсско Мавролико. Ферма пользовался термином applica­ta, Декарт — appliquee par ordre, т. е. французским переводом ordinatim applicata, но также (в письме 1638 г.) словом ordonnee, которое неза­долго перед тем в 1637 г. употребил в своем курсе П. Эригон (в латин­ском тексте 1644г.—ordinata); затем им стал регулярно пользоваться Лейбниц.

В середине XVIII в. слово «ордината» начинает вытеснять в геомет­рии на плоскости слово «аппликата». Обе координаты первоначально назывались неизвестными величинами, как у Ферма, или неопределенны­ми, как у Декарта; слово «координаты» ввел в 1692 г. Лейбниц, имея в виду уже любые криволинейные координаты. Но еще и позднее понятие о координатах связывалось с отрезками диаметров и хордами плоских кривых. Так обстоит, например, дело в статьях «Abscissa, die Abscisse» и «Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten» «Математического словаря» (Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (ср. стр. 35).

Термин «ось», который у Аполлония относился к взаимно перпендику­лярным сопряженным диаметрам, употребил в более широком смысле И. Барроу (1670). Обозначение начальной точки буквой О восходит к ее наименованию origine — «начало», данному Ф. Лагиром в 1679 г.; два­дцатью годами ранее Я. де Витт писал об initium immutabile, неподвижном начале. Декарт еще говорил о точке, с которой начинаются вычисления. Вернемся от истории терминологии к истории геометрических методов и идей.

Аналитическая геометрия Декарта

«Введение» Ферма, долгое время остававшееся в рукописи, не нашло того широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта, изданная в 1637 г. О влиянии «Введения» на Декарта не может быть речи. Мы говорили уже, что все основные идеи «всеобщей математики», как в ал­гебраической, так и в геометрической части, имелись у ее творца не позд­нее 1632 г.

Изложение аналитической геометрии у Декарта во многом отличается от данного Ферма. В одном оно уступает, ибо разбросано по всем трем книгам «Геометрии» и даже во второй из них, содержащей наиболее важные элементы новой дисциплины, не имеет систематического характера, как во «Введении». Но в других отношениях геометрия Декарта имела реши­тельные преимущества. Не говоря уже о том, что Декарт применял бо­лее развитую символику, что его изложение было доступнее и богаче примерами, он выдвинул несколько общих идей и предложений, весьма существенных для последующего.

Один из основных вопросов для Декарта заключался в следующем: какие линии служат предметом геометрии? Ответ определялся верой Де­карта в то, что единственным общим методом математики является алге­браический. Сначала этот ответ формулируется в кинематических выра­жениях: геометрические линии — это те, которые «описаны непрерыв­ным движением или же несколькими такими последовательными движе­ниями. пз которых последующие вполне определяются им предшествую­щими.— ибо этим путем всегда можно точно узнать их меру»[6]. Напротив, из геометрии, т. е. собственно всеобщей математики, исключаются меха­нические линии, описываемые «двумя отдельными движениями, между которыми и существует никакого отношения, которое можно было бы точно измерить»[7]. Примеры механических линий—спираль и квадратриса: в качестве примера геометрических приводятся кривые, описывае­мые некоторым шарнирным механизмом, число звеньев которого можно неопределенно увеличивать. Этот механизм, по идее сходный смезолабием предложенным Эратосфеном в III в. до н. э. для построения двух средних пропорциональных, Декарт изобрел между 1619 и 1621 гг.: в третьей части «Геометрии» показано, как можно с его помощью строить любое число средних пропорциональных между двумя данными отрезками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... = x_n : b.


Уравнения описываемых этим прибором линий

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ   (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привел ни в общем виде, ни для частных значений п.

Кинематическое образование линий являлось отправным пунктом геометрии Декарта и применяется в ней неоднократно. Конечно, данная им при этом кинематическая характеристика геометрических линий как кривых, описываемых одним или несколькими непрерывными движения­ми, последовательно определяющими друг друга, не вполне отчетлива, так же как и заявление, что для проведения всех таких линий «нужно только то предположение, что две или несколько линий можно переме­щать вдоль друг друга и что их пересечения образуют другие линии»[8]. Но в этих утверждениях, по сути дела, Декарт предвосхитил уже упоми­навшуюся важную теорему английского ученого А. Кемпе (1876), со­гласно которой посредством плоских шарнирных механизмов можно опи­сать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной транс­цендентной. Свой кинематический способ деления линий на геометриче­ские и механические Декарт тотчас облекает в более ясную аналитиче­скую форму и здесь же предлагает классификацию первых. «Все точки линий,— пишет он,— которые можно назвать геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную и определенную меру, обяза­тельно находятся в некотором отношении ко всем точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым уравнением, одним и тем же для всех точек данной линии»[9]. В этом поистине замечательном по глубине месте своего сочинения Декарт вводит и метод прямолинейных координат и понятие об уравнении кривой, а вместе с тем понятие о функции как аналитическом выражении, составленном из «неопределенных» отрезков x
и у. Несколько перед тем Декарт объяснил, как описывать кривую или, вернее, строить любое число ее точек, вычисляя значения х по данным значениям у,— первой координатой у него служила у.

В 1684 г. Лейбниц назвал геометрические кривые Декарта алгебраи­ческими, а механические — трансцендентными, мотивируя отказ от тер­минологии Декарта тем, что и механические линии не подлежат исклю­чению из геометрии.

Непосредственно за изложенными общими соображениями Декарт приводит первую общую классификацию алгебраических кривых в зави­симости от степени их уравнений, отнеся к роду п кривые с уравнениями степени 2п — 1 и 2п. Классификация требовалась прежде всего для все­общей математики Декарта (стр. 30), а также была нужна в аналитиче­ской геометрии. Предложенное Декартом разделение кривых по родам, себя не оправдавшее, мотивировалось тем, что, по его мнению, кривые с уравнением степени 2п вообще не сложнее, чем с уравнением степени 2п — 1. Все трудности, связанные с четвертой степенью, писал он, при­водятся к третьей, а трудности, связанные с шестой степенью,— к пятой и т. д. Общепринятой классификацией плоских кривых по порядкам мы обязаны Ньютону.

Но классификация кривых в прямолинейных координатах по родам или порядкам имеет смысл, если род или порядок кривой не зависит от выбора координатной системы. Это было Декарту ясно, и он, правда ми­моходом, но вполне отчетливо, сформулировал фундаментальное предло­жение об инвариантности рода кривой при замене одной системы прямо­линейных координат другой: «Действительно, хотя для получения более короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор, но все же, какими бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать так, что­бы линия оказалась того же самого рода: это легко доказать»[10]. Впрочем, доказательство не приводится, да и формулы линейного преобразования координат у Декарта еще отсутствовали.

В качестве первого примера Декарт выводит уравнение линии ЕС, описанной точкой пересечения линейки GL и неопределенно продолжен­ной стороны CNK плоской прямолинейной фигуры NKL, сторона кото­рой KL движется вдоль данной прямой ВА, заставляя вращаться вокруг точки G линейку, неизменно проходящую при этом через точку L
. При­няв GA, перпендикуляр к ВА, равным а, KL = b, NL
= с, выбрав АВ за ось х и точку А за начало, Декарт обозначает «неопределенные и неизве­стные величины» СВ = у, ВА = х. Тогда на основании подобия тре­угольников СВК и NLK, с одной стороны, и CBL и GAL
— с другой, быстро выводится уравнение линии ECG

уу = су - ху + ау -
  ас,

так что эта линия первого рода и, как указывает без доказательства Де­карт, гипербола (пример этот подробно разобрали комментаторы латинского издания «Геометрии»).
Страница первого издания «Геометрии» Р. Декарта (1637):

начало вывода уравнения линии ЕС



Заменяя прямую CNK другими линиями, можно получать таким образом бесконечное множество кривых. Так, если CNK есть окружность с центром L, то будет описана конхоида (не­сомненно, что прием Декарта является как раз обобщением античного определения конхоиды), а если CNK есть парабола с диаметром KB, то возникает кривая второго рода, именно та, которую Ньютон впослед­ствии назвал трезубцем (ср. далее стр. 108). Вообще, заявляет Декарт, если образующая кривая имеет род п, то описанная линия будет рода п -)- 1. Это одна из немногих ошибок Декарта, который не довел, видимо, до конца легкие, по его собственным словам, вычисления. На самом деле, если в подвижной системе координат СВ = у, BL
=  х', уравнение линии CNK есть

f(x',y) = 0,

то кривая ECG имеет в прежних координатах уравнение



Неточность Декарта показал на частном примере еще Ферма. В рассмотренном только что примере нарисованы две взаимно перпен­дикулярные координатные оси, хотя и не в обычном для нас положении. Однако чаще всего Декарт, так же как Ферма и ближайшие поколения их последователей, чертил только одну ось с начальной точкой и указывал направление других координат, вообще говоря наклонных. Отрицатель­ные абсциссы lie рассматривались, что иногда приводило к неточным или неполным чертежам. Эти замечания не относятся к Ньютону или Лейбницу. но правильное различение знаков координат и применение обеих осей стало обычным делом уже в XVIII в.

Силу своего метода Декарт затем демонстрирует на предложенной ему Я. Гоолем задаче Паппа о геометрическом месте к 2п или 2n - 1 прямым, которое определяется следующим образом: даны 2п (или 2n - 1) прямых, требуется найти геометрическое место таких точек, чтобы произведение отрезков, приведенных от них под данными углами к п из этих прямых, находилось в данном отношении к произведению аналогичных отрезков. проведенных к остальным п (или n - 1) прямым. Древние знали, что при п = 2 геометрическое место есть коническое сечение, но не оставили ана­лиза и этого случая: случай же n > 2 остался нерассмотренным. Если мы запишем уравнение прямых в виде а_k
х + b_k
у + c_k
= 0, то длины прове­денных к ним отрезков d_k пропорциональны левым частям этих уравне­ний, и для нас отсюда ясно, что уравнение места будет, вообще говоря, кривой порядка п. Декарт, получив выражения для d_k в выбранной им косоугольной координатной системе из геометрических соображений, при­ходит к тому же общему результату. Более подробно он рассмотрел слу­чаи n = 2 и п = 3. Это прежде всего место к трем или четырем прямым, исследование которого дает ему повод исследовать уравнение второго порядка, весьма общего, хотя и не самого общего вида. Пусть данные пря­мые суть АВ, AD, EF и GH, причем углы, образуемые с ними отрезками СВ, CD, CF и СH, проведенными из точек С искомого геометрического ме­ста, определяемого условием CB

-
-
CF
=
CD

-

CH, известны (рис. 8). Де­карт принимает одну из данных и одну из проведенных линий, именно АВ и ВС, за оси А В = х, ВС = у и обозначает данные длины отрезков ЕА = k, AG = l. Данными являются также углы треугольников на рис. 8, а значит, отношения их сторон



АВ :
BR = z : b, CR
:
CD = z : с и т. д., где z, b, с, ... суть данные отрезки (Декарт не вводит синусы углов). После этого нее нужные отрезки выражаются через x, у, z, b, с, ..., k,l, линейно относительно х и у:
CB
= y, ,  

а условие CB
·
CF = CD
·
CH выражается уравнением второй степени без свободного члена, решение которого относительно у, после введения не­которых сокращенных обозначений, дает



Однородность полученного уравнения объясняется принятыми для отно­шений сторон выражениями и, в сущности, не была в глазах Декарта обя­зательной (ср. стр. 42), но представляла в данном случае то удобство, что в принципе позволяла сразу строить одни отрезки по другим. В приводи­мом несколько далее числовом примере однородность относительно бук­венных величин не соблюдается в отличие от примера Ферма, в алгебре примыкавшего к Виету (ср. стр. 102).

Опираясь на теоремы I книги «Конических сечений» Аполлония, Де­карт показывает, что полученное уравнение принадлежит коническому сечению, а в особых случаях, когда радикал обращается в нуль или ко­рень извлекается нацело, оказывается прямой линией: в самостоятельном виде уравнение прямой отсутствует и о «вырождении» кривой второго порядка в пару прямых ничего не говорится. В ходе анализа выясняется, при каких знаках коэффициентов получаются парабола, гипербола и эл­липс, в частности окружность, и определяются положение и форма кони­ческого сечения — в случае параболы

вершина, диаметр и «прямая сторона»[11], а в случае центральных кривых—центр вершины, «прямая сто­рона» и диаметры. Здесь же Декарт разбирает числовой пример, беря ЕА = 3, AG = 5, АВ = BR и т. д., а угол ABR равным 60°, так что урав­нение есть уу = 2у — ху + 5x — хх: кривая при этом оказывается окруж­ностью. Общее заключение гласит, что к первому роду принадлежат круг, парабола, гипербола и эллипс. Прямая не упоминается, — ее при­надлежность к первому роду подчеркнул Дебон, который рассмотрел так­же случай, когда в уравнении нет членов с х² и у², но есть ху, оставленный Декартом в стороне.

Вслед за тем Декарт изучает еще место к пяти прямым и специально случай, в котором четыре прямые суть эквидистанты АВ, IH, ED, GF, а пятая GA к ним перпендикулярна (рис. 9), причем CF
·
CD
·
CH
= СВ·СМ·а, где а — расстояние между соседними эквидистантами. Здесь появляется первое в истории аналитической геометрии уравнение кривой третьего порядка. Обозначив СВ = у, СМ = х, Декарт находит

у³ — 2ay² — аау + 2а³ = аху,

т. е. уравнение трезубца (см. стр. 106), и показывает, что эта кривая CEG
может быть, как он утверждал ранее, описана пересечением параболы CKN, диаметр которой KL = а движется по АВ, и линейки GL, вра­щающейся вокруг точки G и постоянно проходящей через точку L[12]. Он не упускает из виду, что искомым местом служит также кривая NIo, опи­санная пересечением GL с другой ветвью параболы (HKN), можно взять и сопряженные линии cEGc и пI
0, получающиеся, если подвижная парабола обращена вершиной в другую сторону. Чертеж в «Геометрии» недо­статочно отчетливо изображает вторую часть трезубца, который состоит из двух отдельных линий, имеющих каждая — в терминологии Ньютона — гиперболическую ветвь с асимптотой АВ и параболическую ветвь, ли­шенную асимптоты. Как и должно быть, кривая пересекает на чертеже горизонтальную ось при значениях у = — а, у = а, у = 2а, но точка перегиба у части, лежащей справа от асимптоты, не обозначена.

Большое место занимают в «Геометрии» исследование оптических овалов, рассматриваемых в биполярных координатах, и про­ведение нормалей. Вторая книга сочинения завершается краткими замечаниями о возможности распространения метода на про­странственные кривые посредством проектирования их точек на две вза­имно перпендикулярные плоскости и заявлением: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий»[13].

Конечно, в этих словах Декарта, как и в приведенной выше авторской оценке «Введения» Ферма, было несомненное преувеличение. Но действи­тельно, перед геометрией раскрывались невиданно широкие перспективы. Историки науки немало спорили о том, имелась ли у Аполлония аналити­ческая геометрия и было ли творчество Ферма и Декарта в этой области новаторским. Ответ зависит от определения термина «аналитическая гео­метрия», который, как отмечалось в другой связи, понимается по-разному. Несомненно, что оба ученых чрезвычайно многим обязаны были древним и что в саму теорию конических сечений они не внесли каких-либо новых теорем, а также не построили ее в чисто аналитическом плане. И вместе с тем Декарт и Ферма закладывали фундамент поистине новой геометрии, хотя «симптомы» Аполлония и соответствовали буквенным уравнениям кривых второго порядка.

Дело в том, что, как правильно писал Г. Цейтен, «геометрическая форма, приданная методом древних самой алгебре, была причиной многочислен­ных комбинаций между средствами и объектом геометрического исследо­вания — комбинаций, которые должны были оставаться довольно чуж­дыми аналитической геометрии, в особенности поскольку последняя стре­милась превратить геометрические проблемы целиком в задачи исчисле­ния»[14]. И до тех пор, пока средством исследования оставалась геометри­ческая алгебра, синтетическое рассмотрение неизбежно переплеталось с аналитическим, а в глазах некоторых ученых являлось принципиально господствующим. Ньютон, завершая свой вывод теоремы о том, что место к четырем прямым есть коническое сечение, писал: «Такое решение, как приведенное выше, т. е. исполняемое не с помощью исчисления, но геометри­ческим построением, и изыскивалось древними»[15]. Между тем после Ферма и Декарта и благодаря им начинает развиваться чисто аналитический ме­тод исследования геометрических образов, в принципе не нуждающийся в обращении к геометрическим построениям и опирающийся лишь на ал­гебраическое исчисление. Такова общая, идейная сторона дела. К этому следует добавить, что новая алгебра давала средства изучения кривых любого порядка, первые примеры чего имеются уже у Декарта[16] (такое применение геометрической алгебры было невозможно), что система коор­динат становилась свободной от связи с теми или иными исключительными точками и направлениями (например, диаметром и вершиной конического сечения), что приобретали право на существование отрицательные коор­динаты и т. д. Мы не говорим уже о том, что в новой геометрии впервые нашло явное выражение понятие о функции, заданной формулой.

В свете сказанного второстепенное значение имеют недостатки, при­сущие аналитической геометрии Декарта и Ферма, пользовавшегося к то­му же менее совершенной алгеброй Виета, например не разработанность вопроса об отрицательных координатах или отсутствие на большинстве чертежей второй оси, а также то обстоятельство, что оба они ограничились немногими примерами приложения нового метода.

Современники восприняли новую геометрию с энтузиазмом. Уже в ла­тинских изданиях «Геометрии» Декарта мы находим отдельные, заслу­живающие упоминания вещи.

---