Реферат Справочник по геометрии 7-9 класс
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Выполнил:
ученик 9А класса
средней школы №
135
Матвеев Евгений.
Руководитель проекта:
О
черетина
Т.В.
Казань 2004 г.
7 класс.
Глава
I
.
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две точки Если две прямые имеют общую
можно провести прямую, точку, то они пересекаются.
и притом только одну.
Прямая а и точки А и В.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
Угол.
Угол – это геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны
исходящих из этой точки. лежат на одной прямой.
Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С
и сторонами p и q.
Развёрнутый угол = 180º; Неразвёрнутый угол < 180º .
Луч, исходящий из вершины угла и Два угла, у которых одна общая
делящий его на два равных угла, сторона общая, а две другие
называется биссектриса угла. являются продолжениями одна
другой, называются смежными.
Два угла, называются вертикальными,
если стороны одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.
продолжениями сторон другого.
Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы равны. называются перпендикулярными,
если они образуют 4 прямых угла.
Глава
I I.
Треугольники.
Треугольник – геометрическая фигура, Р
АВС
= АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой, соединённых отрезками.
Треугольник с вершинами А, В, С и соответственно равных сторон
Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против
соответственно равных равных
углов лежат равные стороны.
Теорема:
Если 2 стороны и угол
Теорема:
Из точки, не лежа-
между ними 1-го треугольника щей на прямой, можно провести
соответственно равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом
и углу между ними другого только один.
треугольника, то треугольники равны.
Отрезок, соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка
роны, называется медианой треуг-ка. с точкой противоположной сторо- ны, называется бисс-сой треуг-ка.
Перпендикуляр, проведённый из верши-
ны треуг-ка к прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,
противоположную сторону, называ- называется равнобедренным.
ется высотой треуг-ка.
В равнобедренном треуг-ке
ВН - высота треуг-ка АВС. углы при основании равны.
Теорема:
В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является медианой
к основа-нию, является и бисс-сой.
медианой и высотой.
Медиана, проведённая к основанию, явля-
ется высотой и бисс-сой.
Теорема:
Если сторона и 2
Теорема:
Если три стороны 1го
прилежащих к ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём
треуг-ка соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2 прилежащим к треуг-ки равны.
ней углам другого треуг-ка, то
такие треуг-ки равны.
Определение:
Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.
Глава
I I I.
Параллельные прямые.
Определение:
Две прямые
Теорема:
Если при пересечении 2 пря-
на плоскости параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не пересекаются. ны, то прямые параллельны.
Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6. мых секущей соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и 5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.
Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема:
Если при пересече-
Теорема:
Если две параллельные пря-
нии 2 прямых секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест
односторонних углов равна лежащие углы равны.
180º, то прямые параллельны.
Теорема:
Если две прямые пересечены
Теорема:
Если две парал- секущей, то сумма односторонних углов
лельные прямые пересечены равна 180º.
секущей, то соответствен-
ные углы равны.
Глава
IV.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема:
Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-
треуг-ка = 180º. уг-ка, не смежных с ним.
В любом треугольнике либо Теорема:
В треуг-ке против большей сто-
все углы острые, либо два роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а третий угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.
В прямоугольном треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше катета. треуг-к – равнобедренный.
Теорема:
Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника меньше суммы одной прямой, справедливы неравенства:
2 других сторон. АВ<
AB
+
BC
, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.
Сумма двух острых углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий
моугольного треуг-ка = 90º. против угла в 30º, равен ½ гипотенузы.
Если катет прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг-
ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого
щий против этого катета, = 30º. , то такие треуг-ки равны.
Если катет и прилежащий к нему Теорема:
Если гипотенуза и острый
острый угол 1го прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-
треуг-ка соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро-
катету и прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие
треугольники равны. Теорема:
Если гипотенуза и катет 1го
прямоугольного треуг-ка соответствен-
Теорема:
Все точки каж- но равны гипотенузе и катету другого,
дой из 2 параллельных прямых то такие треугольники равны.
равноудалены от другой прямой.
Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до
другой прямой называется прямой называется расстоянием между
этими прямыми.
8 класс.
Глава
V
.
Многоугольники.
Сумма углов выпуклого
n
-угольника В параллелограмме противоположные
= (
n
-2)180º. стороны равны и противоположные
углы равны.
Диагонали параллелограмма точ-
кой пересечения делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и
параллельны, то этот 4-угольник – па-
раллелограм.
Если в 4-угольнике противопо-
ложные стороны попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе-
то этот 4-угольник – параллело- каются и точкой пересечения делятся
грамм. пополам, то этот 4-угольник – парал-
лелограмм.
Трапецией называется 4-угольник,
у кот-го 2 стороны параллельны, а Прямоугольником называется парал-
2 другие стороны не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,
то этот параллелограмм – прямоуголь-
Ромбом называется параллело- ник.
грамм, у кот-го все стороны
равны. Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны и делят его углы пополам.
Квадкатом называется прямо-
угольник, у кот-го все стороны Все углы квадрата равны.
равны.
Диагонали квадрата равны, взаимно
Фигура называется симметричной перпендикулярны, точкой пересечения
относительно прямой а, если для делятся пополам и делят углы
каждой точки фигуры симметричная квадрата пополам.
ей точка относительно прямой а
также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.
Фигура называется симметричной Точка О называется центром симмет-
относительно точки О, если для рии фигуры.
каждой точки фигуры симметрич-
ная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре.
Глава
VI
.
Площадь.
Равные многоугольники имеют
S
квадрата равна квадрату его стороны.
Равные
S
.
Если многоугольник составлен из Теорема:
S
прямоугольника = про-
нескольких многоугольников, то изведению его смежных сторон.
Его
S
= сумме площадей этих
многоугольников. Теорема:
S
параллелограмма = про-
изведению его основания на высоту.
Теорема:
S
треугольника =
= произведению его основания
S
прямоугольного треугольника = 1/2
на высоту. произведения его катетов.
Если высоты 2ух 3-угольников
Если угол 1го 3-угольника
равны, то их
S
относятся равен углу другого 3-угольника, то S
как основания. этих 3-угольников относятся как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема:
S
трапеции = про- углы.
изведению полусуммы её осно-
ваний на высоту.
Теорема:
В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема:
Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны 3-угольника = сумме
квадратов 2 других сторон, то
3-угольник прямоугольный.
Глава VII
.
Подобные треугольники.
Определение:
2 3-угольника
Теорема:
Отношение
S
2ух подоб-
называются подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го 3-угольника про-
порционально сходственны
Теорема:
Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема:
Если 2 стороны 1го
добны.
3-угольника пропорциональны 2ум
сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то такие 3-угольники подобны.
Теорема:
Если 3 стороны 1го
Теорема:
Средняя линия параллель-
3-угольника пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам другого, то такие стороны.
3-угольники подобны.
sin
острого угла прямоугольного cos острого угла прямоугольного 3-уголь-
3-угольника – отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tg угла = отношению
sin
к cos
tg острого угла прямоугольного этого угла: tg =
sin
/ cos.
3-угольника – отношение противо-
лежащего катета к прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол 1го прямоугольного
sin
2
α+ cos2
α=1.
3-угольника = острому углу другого прямо-
угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
| x | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 180 ° | 270 ° | 360 ° |
| sinx | 0 | 1/2 | 2/2 | 3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cosx | 1 | 3/2 | 2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tgx | 0 | 1/ 3 | 1 | 3 | — | 0 | — | 0 |
| ctgx | — | 3 | 1 | 1/ 3 | 0 | — | 0 | — |
| | 0 | П /6 | П/4 | П/3 | П/2 | П | 3П/2 | 2П |
Глава
VIII
.
Окружность.
Если расстояние от центра окруж- Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой < радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-
мая и окружность имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая является секущей. точки. Прямая является касательной.
Если расстояние от центра окруж- Теорема:
Касательная к окруж-
ности до прямой > радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r
, прове-
мая и окружность не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема:
Если прямая проходит
Отрезки касательных к окружнос- через конец r
, лежащий на окруж-
ти, проведённые из 1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют равные углы с r
, то она является касательной.
прямой, проходящей через эту точ-
ку и центр окружности. Дуга является полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности — её центральный угол. О < полуокружности или является
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружности с общими концами = мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°. дуга АВ > полуокружности, то её
градусная мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на = 360°–<АОВ.
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется Теорема:
Вписанный угол измеряя-
вписанным углом. ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.
Луч ВО совпадает с 1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если
рон угла АВС. луч ВО пересекает дугу АС.
Луч ВО не делит угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту
угла и не совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-
окружность, -- прямой.
Теорема:
Если 2 хорды ок-
Теорема:
Каждая точка бисс-сы
ружности пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.
Бисс-сы 3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку
ются в 1ой точке. называется прямая, проходящая через
середину отрезка и перпендикулярная
Теорема:
Каждая точка се- к нему.
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез- точке.
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре. Теорема:
в любой 3-угольник мож-
но вписать окружность.
Теорема:
Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой точке. окружность.
Теорема:
Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно онисать окруж- противоположных углов = 180°.
ность.
Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.
Глава
IX
.
Векторы.
Физические величины, характери- Определение:
Отрезок, для кот-
зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,
называется вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-
влены.
Определение:
Векторы,
называются равными, если От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и
ны равны. притом только один.
Теорема:
для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:
1. ă + č = č + ă (переместительный закон);
2.
( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Теорема:
Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
ă – č = ă + ( - č ).
Для любого числа
k
и любого векто- ( kl )ă=
k
(
lă ) (сочетательный закон);
ра ă векторы ă и
kă коллинеарны. (
k
+
l
)ă=
kă+lă(1ый рспред-ный закон);
k
(ă+č )=
kă+kč.
Теорема:
Средняя линия тра-
пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава
X
.
Метод координат.
Лемма:
Если векторы ă и č Теорема:
Любой вектор можно раз-
коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число
k
, что č=
kă. ным векторам, причём коэффициен-
ты разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух
ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора на число = произведению соот-
Каждая координата разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот- на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число. Координаты точки М = соответству-
ющим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его концов.
Глава
XI
.
Соотношения между сторонами
и углами 3-угольника.
Скалярное произведение
векторов.
Для любого угла α из промежут- tg угла α(α=90°) называется отношение
ка 0° <α<180°
sin
угла α называ-
sinα/cos
α.
ется ордината у точки М, а cos
угла α – абсцисса х угла α.
sin
(90°-- α)= cos α
Теорема:
S
3-угольника = ½
Теорема:
Стороны 3-угольника про-
произведения 2ух его сторон на порциональны
sin
противолежащих
sin
угла между ними. углов.
Теорема:
Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.
а2=
b
2
+с2-2
b
с cos α.
Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов называется произве- ту его длины.
дение их длин на cos угла между
ними.
Теорема:
Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и
b
( х2; у2 ) выражается формулой:
ab=х1 х2 +у1 у2.
Нулевые векторы а( х1; у1) и cos угла а между нулевыми векторами
b
( х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1) и
b
( х1; у1) выражается формулой:
тогда и только тогда, ког- cos α=х1 х2 +у1 у2 / х1+у1 х2 + у2.
да х1 х2 + у1 у2 = 0.
Для любых векторов а,
b
, с и любого числа
k
справедливы соотношения:
а2>0, причём а2>0 при а=0.
а
b
=
b
а (переместительный закон).
( а+
b
)с=ас+
b
с (распределительный закон).
(
k
а )
b
=
k
( ab) (сочетательный закон).
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора на число = произведению соот-
Каждая координата разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот- на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число. Координаты точки М = соответству-
ющим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его концов.
Глава
XI
.
Соотношения между сторонами
и углами 3-угольника.
Скалярное произведение
векторов.
Для любого угла α из промежут- tg угла α(α=90°) называется отношение
ка 0° <α<180°
sin
угла α называ-
sinα/cos
α.
ется ордината у точки М, а cos
угла α – абсцисса х угла α.
sin
(90°-- α)= cos α
Теорема:
S
3-угольника = ½
Теорема:
Стороны 3-угольника про-
произведения 2ух его сторон на порциональны
sin
противолежащих
sin
угла между ними. углов.
Теорема:
Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.
а2=
b
2
+с2-2
b
с cos α.
Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов называется произве- ту его длины.
дение их длин на cos угла между
ними.
Теорема:
Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и
b
( х2; у2 ) выражается формулой:
ab=х1 х2 +у1 у2.
Нулевые векторы а( х1; у1) и cos угла а между нулевыми векторами
b
( х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1) и
b
( х1; у1) выражается формулой:
тогда и только тогда, ког- cos α=х1 х2 +у1 у2 / х1+у1 х2 + у2.
да х1 х2 + у1 у2 = 0.
Для любых векторов а,
b
, с и любого числа
k
справедливы соотношения:
а2>0, причём а2>0 при а=0.
а
b
=
b
а (переместительный закон).
( а+
b
)с=ас+
b
с (распределительный закон).
(
k
а )
b
=
k
( ab) (сочетательный закон).
