Реферат Теорема Штольца

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.12.2024

Содержание работы:
1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.

2. Применение теоремы Штольца:

a)

;

b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты

;

c)

;

d)

.
3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений

типа

часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.

Пусть варианта

, причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и

возрастает:

. Тогда

,

Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).

Допустим, что этот предел равен конечному числу

.

Тогда по любому заданному

найдется такой номер N, что для n>N будет

или

.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби

, …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания y_n вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

Напишем теперь тождество:

,

откуда

.

Второе слагаемое справа при n>N становится <

; первое же слагаемое, ввиду того, что

, также будет <

, скажем, для n>N^’. Если при этом взять N^’>N, то для n>N^’, очевидно,

, что и доказывает наше утверждение.
Примеры:

1. Пусть, например,

. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n)

, следовательно, вместе с y_n и x_n

, причем варианта x_n возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что

, что и требовалось доказать.
2. При а>1

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения:

Если варианта a_n

имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

(“среднее арифметическое” первых n значений варианты а_n).

Действительно, полагая в теореме Штольца

X_n=a₁+a₂+…+a_n,y_n=n,

Имеем:

Например, если мы знаем, что

,

то и

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)

,

которая представляет неопределённость вида

.

Полагая в теореме Штольца

x_n=1^k+2^k+…+n^k, yⁿ=n^k+1,

будем иметь

.

Но

(n-1)^k+1=n^k+1-(k+1)n^k+… ,

так что

n^k+1-(n-1)^k+1=(k+1)n^k+…

и

.
5. Определим предел варианты

,

представляющей в первой форме неопределенность вида

, а во второй – вида

. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида

.

Полагая x_n равным числителю этой дроби, а y_n – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим

.

Но

,

а

,

так что, окончательно,

.
Пример 1.

.
Пример 2.

=

=

.
Пример 3.

.
Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.

Пусть функция

, причем, начиная с некоторой x_k, g(x_k+1)>g(x_k), т.е. функция возрастающая.
Тогда

,

если только существует предел справа конечный или бесконечный.

Доказательство:

Допустим, что этот предел равен конечному числу k

.

Тогда, по определению предела

или

.

Значит, какой бы

ни взять, все дроби

, …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(x_n) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь

, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при

.

Напишем тождество(которое легко проверить):

Откуда

.

Второе слагаемое справа при

становится

; первое же слагаемое, ввиду того, что

, так же будет

, скажем, для

. Если при этом взять

, то для

, очевидно

, что и доказывает теорему.

Примеры:

Найти следующие пределы:
1.

очевидна неопределенность

=2
2.

неопределенность

=0
3.

неопределенность

Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.

Bukvasha