Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов



Содержание:



Введение

1. Спектральный анализ и спектральный синтез  периодических сигналов

1.1 Синтез периодических сигналов

1.2 Анализ периодических сигналов

2.Численные методы  расчетов спектральных и временных характеристик   периодических сигналов

2.1  Численные методы  расчетов временных характеристик

2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик

Выводы

Литература
Введение:
Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие .

Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье:

                 

где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, , а   -  частота следования импульсов.
Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями:

       (1)

где =1,2,3…M

соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4)

Здесь А - постоянная составляющая , A_n  и  B_{n  -} амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник,

n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду:

                   (2)

Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники,-фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов.
1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов
1.1.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:
Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: C_n – амплитуда,- частота,

начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,…,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной областиU
(t)

 Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.
1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ:



Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных C_n=f(w) и  фазочастотных  =f(w)  характеристик.

      Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала.
2.Численные методы  расчетов спектральных и временных  характеристик   периодических сигналов

Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем  численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу

Дан сигнал:






Дана таблица параметров данного сигнала

U, mv	M	t0,mks	T,mks	r
2.8	10	459	1499	2

U(t) – функция времени, описывающая сигнал;

M – число учитываемых гармоник;

U- амплитуда;

T - текущее время;

t₀ – время задержки сигнала;

T – период частоты повторения первой гармоники;

r – постоянный коэффициент
2.1  ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации.

 Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле Т_Д<T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов)

Интервал времени Тс равен T_max и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98

M=10

K=5

t0=459

U0=2,8

T=1499

Исходя из полученных данных, строим таблицу

t	u(1)	u(2)	u(3)	u(4)	u(5)	u(6)	u(7)	u(8)	u(9)	u(10)	SUM
0	0,965808	0,812595	0,549919	0,250406	-0,00868	-0,17017	-0,21345	-0,15715	-0,0481	0,058467	2,039651
29,98	0,62897	0,586654	0,507145	0,399954	0,277617	0,15392	0,041996	-0,04743	-0,10736	-0,13529	2,306171
59,96	0,282224	0,278401	0,270848	0,259749	0,245373	0,228066	0,208243	0,186371	0,162963	0,138557	2,260794
89,94	-0,06897	-0,06891	-0,0688	-0,06863	-0,06841	-0,06814	-0,0678	-0,06742	-0,06698	-0,06649	-0,68055
119,92	-0,41908	-0,40656	-0,3822	-0,3473	-0,3037	-0,25369	-0,19984	-0,14483	-0,09131	-0,04174	-2,59023
149,9	-0,76258	-0,68716	-0,54975	-0,37435	-0,19052	-0,02729	0,092569	0,156662	0,164662	0,127265	-2,0505
179,88	-1,09407	-0,87135	-0,50752	-0,1302	0,141263	0,24343	0,188368	0,04829	-0,08485	-0,1436	-2,21024
209,86	-1,40832	-0,93328	-0,27163	0,208272	0,310962	0,118853	-0,11591	-0,18642	-0,07389	0,081852	-2,26951
239,84	-1,70039	-0,86427	0,067917	0,395863	0,123862	-0,19872	-0,174	0,066585	0,163896	0,024397	-2,09487
269,82	-1,96566	-0,674	0,381545	0,296665	-0,20536	-0,1936	0,137477	0,145388	-0,10145	-0,11738	-2,29638
299,8	-2,19997	-0,38916	0,549579	-0,01746	-0,29895	0,125904	0,156966	-0,15618	-0,05536	0,146543	-2,13808
329,78	-2,39962	-0,04971	0,507898	-0,31893	-0,04953	0,240959	-0,15693	-0,04915	0,160677	-0,09603	-2,21036
359,76	-2,56146	0,296704	0,272408	-0,38935	0,256724	-0,03527	-0,13752	0,186463	-0,11654	-0,0067	-2,23455
389,74	-2,68295	0,601491	-0,06703	-0,1777	0,268408	-0,25422	0,173972	-0,06575	-0,036	0,105786	-2,13401
419,72	-2,76217	0,821886	-0,38089	0,162689	-0,02788	-0,06035	0,115958	-0,14595	0,155054	-0,14735	-2,26901
449,7	-2,79788	0,926965	-0,54941	0,385215	-0,29218	0,231523	-0,18834	0,155685	-0,12988	0,108799	-2,14949
479,68	-2,7895	0,901985	-0,50827	0,328667	-0,22123	0,147439	-0,09262	0,05001	-0,01611	-0,01109	-2,21071
509,66	-2,73717	0,75045	-0,27319	0,034011	0,10356	-0,17607	0,19982	-0,1865	0,14711	-0,09265	-2,23063
539,64	-2,64173	0,493623	0,066146	-0,28528	0,309524	-0,21366	0,067854	0,064915	-0,14127	0,146013	-2,13387
569,62	-2,50466	0,167537	0,380238	-0,3979	0,160339	0,095698	-0,20823	0,1465	0,004029	-0,11999	-2,27643
599,6	-2,32813	-0,18206	0,549234	-0,22225	-0,17282	0,24966	-0,04205	-0,15519	0,136964	0,028721	-2,13792
629,58	-2,11493	-0,5061	0,508647	0,11441	-0,30768	-0,00179	0,21344	-0,05087	-0,15056	0,078161	-2,21727
659,56	-1,8684	-0,75914	0,273965	0,368187	-0,08951	-0,25033	0,015597	0,186538	0,024105	-0,14254	-2,24154
689,54	-1,59244	-0,90567	-0,06526	0,355225	0,231368	-0,09237	-0,21537	-0,06408	0,124769	0,129424	-2,0944
719,52	-1,29139	-0,92513	-0,37958	0,084915	0,286774	0,21559	0,011093	-0,14705	-0,15759	-0,04593	-2,34829
749,5	-0,96999	-0,81478	-0,54906	-0,24691	0,013135	0,173461	0,213998	0,154694	0,04382	-0,06253	-2,04417
779,48	-0,63332	-0,59012	-0,50902	-0,39986	-0,27558	-0,15034	-0,03761	0,051727	0,110706	0,136999	-2,29641
809,46	-0,28666	-0,28265	-0,27474	-0,26312	-0,24809	-0,23001	-0,20934	-0,18657	-0,16226	-0,13698	-2,28042
839,44	0,064511	0,064465	0,064374	0,064237	0,064055	0,063828	0,063556	0,06324	0,06288	0,062476	0,637623
869,42	0,414666	0,40254	0,378926	0,345061	0,302703	0,25402	0,20146	0,147599	0,094986	0,045993	2,587955
899,4	0,758288	0,684135	0,548883	0,3759	0,194028	0,031719	-0,08852	-0,15419	-0,1645	-0,12945	2,056285
929,38	1,089963	0,869742	0,509391	0,134413	-0,13728	-0,24209	-0,19049	-0,05258	0,080998	0,142529	2,204598
959,36	1,404466	0,933319	0,275519	-0,20445	-0,31107	-0,12278	0,11213	0,186595	0,077844	-0,07811	2,273469
989,34	1,696843	0,865945	-0,06349	-0,3952	-0,12794	0,195908	0,176594	-0,0624	-0,16428	-0,02878	2,093202
1019,32	1,962486	0,677074	-0,37827	-0,29964	0,201987	0,196467	-0,13401	-0,14814	0,097904	0,120023	2,295876
1049,3	2,197212	0,393204	-0,54871	0,013	0,300154	-0,12201	-0,15999	0,153688	0,059538	-0,146	2,140091
1079,28	2,39732	0,054166	-0,50976	0,31622	0,053923	-0,24236	0,153841	0,053438	-0,1616	0,0926	2,20779
1109,26	2,55966	-0,29247	-0,2763	0,390349	-0,25418	0,030848	0,14092	-0,18662	0,113344	0,011153	2,236711
1139,24	2,681674	-0,59807	0,062602	0,181684	-0,27063	0,253962	-0,17131	0,061559	0,04034	-0,10884	2,132964
1169,22	2,761439	-0,81976	0,377611	-0,1586	0,023437	0,064677	-0,11969	0,148684	-0,1565	0,147351	2,268639
1199,2	2,797698	-0,92643	0,548527	-0,38399	0,290617	-0,22963	0,186138	-0,15318	0,127089	-0,10574	2,151087
1229,18	2,78988	-0,90312	0,510129	-0,33119	0,224342	-0,15105	0,096623	-0,05429	0,020539	0,006639	2,2085
1259,16	2,738109	-0,75309	0,277071	-0,03845	-0,09934	0,172818	-0,19811	0,186636	-0,14906	0,096074	2,232645
1289,14	2,6432	-0,4974	-0,06172	0,282141	-0,30904	0,216055	-0,07207	-0,06072	0,138931	-0,14655	2,132831
1319,12	2,506649	-0,17192	-0,37695	0,398333	-0,16414	-0,09155	0,207044	-0,14922	0,00043	0,117343	2,276008
1349,1	2,330606	0,177679	-0,54835	0,225947	0,169094	-0,25049	0,046413	0,152669	-0,13939	-0,02433	2,139844
1379,08	2,117845	0,502351	-0,5105	-0,11013	0,308313	-0,00267	-0,2128	0,055145	0,148694	-0,0819	2,214352
1409,06	1,871719	0,75654	-0,27785	-0,36642	0,093773	0,249488	-0,02004	-0,18665	-0,01969	0,143611	2,244486
1439,04	1,596104	0,904582	0,060829	-0,35725	-0,22836	0,09651	0,21528	0,059872	-0,12763	-0,12723	2,092694
1469,02	1,295343	0,925705	0,376292	-0,08927	-0,28847	-0,21319	-0,00664	0,149756	0,156231	0,041675	2,347436
1499	0,974174	0,816945	0,548165	0,24339	-0,01759	-0,1767	-0,21446	-0,15215	-0,03951	0,066542	2,048811

После расчета строим временную диаграмму сигнала

2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда А_n и B_n определяются по формулам (1) .  Для того чтобы вычислить An и Bn  преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t₁) , где t_I=i*T_Д (Т_Д – интервал дискретизации).


Представим непрерывную  функцию U(t) как дискретную, сделав замену  t    i * Т_Д  и  d_i       Т_Д, преобразуем выражения A_n ,B_n и запишем ряд Фурье в окончательном виде:
            ( 5)
где k=T/Т_Д – число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации Т_Д выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице

i	Wn	U(ti)	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
0	0	2,03965	0,81586	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	4189,46	-2,1380	-0,0394	-0,0374	-0,0232	0,0230	0,03747	0,00013	-0,0374	-0,0233	0,0229	0,0375	0,00025
2	8378,92	-2,1379	-0,89454	-0,52672	0,851458	-0,8496	0,522101	0,005699	-0,53131	0,85318	-0,84789	0,51746	0,011397
3	12568,4	2,05628	-0,07202	0,042223	-0,06841	0,06862	-0,04278	0,000688	0,04166	-0,06819	0,06883	-0,04333	0,001376
4	16757,8	2,15108	0,788411	-0,75044	-0,46016	0,46827	0,747301	-0,01005	-0,75346	-0,45197	0,47632	0,74403	-0,02009
5	20947,3	2,04881	1,607935	-0,00512	-0,01024	-0,0153	-0,02049	-0,02561	-0,03073	-0,03585	-0,04097	-0,04609	-0,05121

i	B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	-0,0122	0,03182	0,0319	-0,0121	-0,0394	-0,0123	0,03175	0,03197	-0,012	-0,0394
2	0,723026	-0,27426	-0,27968	0,726367	-0,89452	0,719656	-0,26883	-0,28508	0,729678	-0,89447
3	0,058349	-0,02252	-0,02186	0,057943	-0,07202	0,05875	-0,02317	-0,02121	0,057532	-0,07201
4	0,241721	-0,64019	-0,63428	0,251263	0,788347	0,23214	-0,646	-0,62826	0,260763	0,788155
5	1,607927	1,607903	1,607862	1,607805	1,607732	1,607642	1,607536	1,607413	1,607275	1,60712

An	Bn	Cn	Fn
-1,27749	2,618833	2,913808	1,116948
0,28946	0,702756	0,760035	-1,18008
-0,30507	0,70394	0,767204	1,161849
1,243611	2,631307	2,910385	-1,12929
-0,02914	1,390168	1,390474	1,549838
-1,31124	2,605878	2,91718	1,104605
0,273895	0,701282	0,752871	-1,19845
-0,32073	0,704832	0,774375	1,143753
1,209595	2,643297	2,906912	-1,14163
-0,05827	1,389429	1,390651	1,528881

Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ


 

ВЫВОДЫ
:
Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем
:

1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным)   спектром
.

2 Спектральные линии в периодических сигналах  находятся на одинаковом расстоянии  друг от друга
, то есть частоты  гармоник находятся в простых кратных отношениях.
Использование рядов Фурье
, при расчете спектральных и временных характеристик  периодических сигналов
, имеет следующие преимущества
:

1 Простое математическое описание

2 Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое       колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание. 

3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность

4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста.
ЛИТЕРАТУРА:
1.                       С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988

2.                       И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986