М
ИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РЭС (РТС)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу «Методы проектирования и оптимизации РЭ
A»

Вариант №7

Выполнил: ст.гр. РТз – 98 – 1 Чернов В.В. Шифр 8209127

Проверил: Карташов В. И. ____________________

Харьков 2003

            Задание 1. Выполнить моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими значениями.
Решение
            Базовой называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи функции rnd(m) пакета MathCad 2000, возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале 0xm.
            а) для выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax = 0.996.

Первый начальный момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:
                                                   М_Х = 0.502 ,                                             (1.1)
второй центральный момент (дисперсия):
                              D =  0.086 ,                            (1.2)
среднеквадратичное отклонение:
                                                        s = 0.293 .                                                  (1.3)


Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
            Для выборки объемом 1700 (рис. 1.2): X_min = 0.0037, X_max = 0.998,
                                                   М_Х = 0.505 ,                                           (1.4)
                                D =  0.085 ,                        (1.5)
             

                                                             s = 0.292 .                                              (1.6)


Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из определения плотности распределения вероятности:
                                                            p_равн(x) =  ,                                                  (1.7)
математическое ожидание:
                                                 M_x = 0.5 ,                                       (1.8)
дисперсия:
                               D_x =

                                                           =0.083 ,                                                  (1.9)
что хорошо совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной случайной величины.
Решение
а) выборка получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):



Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin = 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:
                                                       DX = .                                             (2.1)      
            Количества выборок, попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2. Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения (1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения

Номеринтер-вала	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Диапа-зон значе-ний	0-0.1	0.1-0.2	0.2-0.3	0.3-0.4	0.4-0.5	0.5-0.6	0.6-0.7	0.7-0.8	0.8-0.9	0.9-1
Коли-чество попа-даний	151	174	149	189	190	161	166	182	177	161
Часто-та по-пада-ния Pi	0.089	0.102	0.088	0.111	0.112	0.095	0.098	0.107	0.104	0.095
Оцен-ка плот-ности pi	0.888	1.024	0.876	1.112	1.118	0.947	0.976	1.071	1.041	0.947

Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n = 1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):


Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения математического ожидания и дисперсии:
                                                    M = 0.512 ,                                                          (3.1)
                                             D =  0.088 .                                            (3.2)
в) функция корреляции:
                                              R(j) =  ,                                           (3.3)
значения R(j) для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 , значение R(0) = 0.088  совпадает с дисперсией.

Таблица 3.1 Значения функции корреляции:

j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
R(j)	-9.6·10-4	3.53­·10-3	2.7·10-4	4.24·10-3	-1.73·10-3	6.61·10-4	4.11·10-4	6.74·10-5	3.95·10-4	1.12·10-3

Задание 4. Выполнить моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки n = 17, s² = 27.
Решение
            Ддя получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим метод обратной функции:
а) для распределения Релея

                                                                  p(x) =                                                           (4.1)
случайная величина
                                             x = F(x) =                                       (4.2)
равномерно распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную величину, распределенную по закону (4.1):

                                                            x_i =  ,
                                                       x_i =  ,                                                            (4.3)
где x_i – значения выборки БСВ
Результат моделирования случайной величины x_i представлен на рис. 4.1:


Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной по закону Релея
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.      Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2.      Тихонов В. И. и др. Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио,  1970. – 600 стр.
3.      Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь, 1988. – 304 с.