РЕФЕРАТ
Функции

Понятие функции – одно из важнейших понятий математики. Пусть даны два множества Х и У и каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие единственный элемент у Î У, который обозначен через f(х). В этом случае говорят, что на множестве Х задана функция f и пишут:
f : Х ® У.
Например, пусть Х = {а; b; с; d}, У = {a; b; g; d} и функция f:Х ®У определена так:
 f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = d.
Наглядно эту функцию можно представить следующим образом: множества Х и У изобразим в виде областей, элементы множеств – в виде точек, а установленное соответствие – в виде стрелок:

b

а

с

d

a

b

g

d

Х

Y

·

·

·

·

·

·

·

·

Идея функциональной зависимости зародилась в античной математике, но она еще не была явно выражена и не являлась самостоятельным объектом исследования, хотя и был известен широкий круг конкретных систематически изучавшихся функциональных соответствий. В зачаточной форме понятие функции появляется в трудах ученых в средние века, но лишь в работах математиков 17 века, и прежде всего П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона и Г. Лейбница, это понятие стало оформляться как самостоятельное. Термин «функция» впервые появился у Г. Лейбница. Для задания функции использовались геометрические, аналитические и кинематические концепции, но постепенно стало превалировать представление о функции как о некотором аналитическом выражении. В четкой форме это было сформулировано в 18 веке. И. Бернулли принадлежит определение, что «функцией переменной величины… называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Л. Эйлер, приняв это определение, заменил в нем слово «количество» словами «аналитическое выражение». Несколько позже у Л. Эйлера появился уже и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила свое дальнейшее развитие в трудах Ж. Фурье, Н.И. Лобачевского, П. Дирихле, Б. Больцано, О. Коши, где стало выкристаллизовываться представление о функции как о соответствии между двумя числовыми множествами. Так, в 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Определение функции как соответствия между двумя произвольными (не обязательно числовыми) множествами в 1887 году было сформулировано Р. Дедекиндом.
Понятие соответствия, а следовательно, и понятие функции иногда сводится к другим понятиям (множеству, отношению или другим теоретико-множественным и логико-математическим концепциям), а иногда принимается за первичное, неопределяемое понятие, поскольку, как это выразил, например, А. Черч: «В конечном счете понятие функции – или какое-либо сходное понятие, например, понятие класса, - приходится считать первоначальным, или неопределимым».
Ниже рассматривается понятие функции, основанное на понятии множества и простейших операций над множествами.
Пусть даны два множества Х и У. Всякое множество f = {(х; у)} упорядоченных пар (х; у), х Î Х, у ÎУ, такое, что для любых пар (х¢; у¢) Îf и (х¢¢; у¢¢) Î f из условия у¢¹у¢¢ следует, что х¢ ¹ х¢¢, называется функцией, или, что то же самое, отображением из Х в У.
В рассмотренном выше примере функция представляет собой следующее множество упорядоченных пар: f = {(а; b), (b; a), (с; d), (d; d)}. Таким образом, функция есть не что иное, как спецификация подмножества декартова произведения Х  У.
Множество всех первых элементов упорядоченных пар (х; у) некоторой функции f называется областью определения этой функции и обозначается Х_f, а множество всех вторых элементов – множеством значений функции, которое  обозначается У_f . Если f = {(х; у)} есть функция, то пишут f: Х_f ® У и говорят, что f отображает множество Х_f  во множество У. В случае Х = Х_f  пишется просто f: Х®У.
Если f: Х®У – функция и (х; у) Î f, то пишут у = f(х), а также f: х у,
х Î Х, у Î У, и говорят, что функция f ставит в соответствие элементу х элемент у или, что тоже самое, элемент у соответствует элементу х. В этом случае говорят также, что элемент у является значением функции f в точке х или образом элемента х при отображении f.
Иногда сама функция f обозначается символом f(х). Обозначение функции f:Х®У и ее значения в точке х Î Х одним и тем же символом f(х) обычно не приводит к недоразумению, так как в каждом конкретном случае, как правило, всегда бывает ясно, о чем именно идет речь. Обозначение f(х) часто оказывается удобнее обозначения f:х  у при вычислениях. Например, запись f(х) = х² удобнее и проще использовать при аналитических преобразованиях, чем запись f:х  х².
Вспомним еще, что бинарное отношение из множества Х во множество У мы определили как всякое подмножество декартова произведения Х  У. Таким образом, функция f:Х®У – это просто специальный вид бинарных отношений из Х в У, который удовлетворяет условию: для каждого х Î Х существует единственный у Î У такой, что   (х; у) Î f. Подчеркнем, что один и тот же образ могут иметь несколько элементов области определения, и что не все элементы множества У обязаны быть образами некоторых элементов Х, т.е. множество значений функции У_f может совпадать с множеством У, а может быть его собственным подмножеством.
При заданном у Î У совокупность всех таких элементов х Î Х, что
 f(х) = у называется прообразом элемента у и обозначается f ^-1(у). Таким образом, 
f ^-1(у) = {х½ х Î Х, f(х) = у}.
Очевидно, что если у Î У\ У_f, то f ^-1(у) = Æ.
Сюръекции, инъекции и биекции
Пусть задано отображение f:Х ® У. Иначе говоря, каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие и притом единственный элемент у Î У, и каждый элемент у Î У_f Í У поставлен в соответствие хотя бы одному элементу х Î Х. Если У=Х, то говорят, что отображение f  отображает множество Х в себя. Если У= У_f , т.е. множество У совпадает с множеством значений функции f, то говорят, что f отображает множество Х на множество У, или что отображение f является сюръективным отображением, короче сюръекцией. Таким образом, отображение f:Х ® У есть сюръекция, если для любого элемента у Î У существует, по крайней мере, один такой элемент х Î Х, что f(х) = у.

Если при отображении f:Х ® У разным элементам х Î Х соответствуют разные элементы у Î У, т.е. при х¢ ¹ х¢¢ имеет место f(х¢) ¹ f(х¢¢), то отображение f называется инъективным отображением или инъекцией. Таким образом, отображение f:Х ® У инъективно тогда и только тогда, когда прообраз каждого элемента у, принадлежащего множеству значений функции f, т.е. y  У_f, состоит в точности из одного элемента. Если отображение f:Х ® У является одновременно инъекцией и сюръекцией, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Примеры.
1.     Функция f:R ® R, f(х) = х² не является ни инъекцией, ни сюръекцией, так как разным элементам, например, х¢ = 2 и х¢¢ = -2 соответствует одинаковый образ 4, и любое отрицательное действительное число не является образом ни для одного из элементов области определения.
2.     Функция f: {a; b; c; d} ® {a, b, g, d, e}, заданная следующим образом: f(а) = b, f(b) = g, f(c)= , f(d) = e является инъективной и не является сюръективной.

а

b

c

d

g

e

b

d

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Эта функция инъективная, потому что у нее ни для одной пары элементов области определения образы не совпадают, но сюръекцией эта функция не является, потому что элемент d множества У не является образом какого-либо элемента множества Х.
3.           С другой стороны, функция g:{a; b; c; d; e} ® {a; b; g; d}, определенная так g(a) = a, g(b) = a, g(c) = b, g(d) = d, g(e) = g является сюръективной и не является инъективной.

a

b

c

d

e

a

b

g

d

· ·

·

·

·

·

·

·

·

Х

g

Y

 

Эта функция сюръективна потому, что каждый элемент множества У является образом, по крайней мере, одного элемента из множества Х, но инъективной эта функция не является, потому что два элемента а и b области определения имеют один образ.
На практике доказательство того, что заданная функция является инъективной, как правило, бывает проще производить, используя метод доказательства с помощью контрапозиции, согласно которого доказывается, что для всех х¢и х¢¢ Î Х из равенства f(х¢)= f(х¢¢) следует, что х¢= х¢¢. Конечно, чтобы показать, что функция не является инъективной, нам достаточно найти контрпример, то есть найти два разных элемента х₁ и х₂ Î Х, у которых образы равны: f(х₁) = f(х₂).
4.     Любая линейная функция f:R®R, f(x) = ax+b, (где а,b – фиксированные действительные числа, а¹0) является одновременно и инъективной и сюръективной, т.е. является биекцией.
Чтобы показать, что f является инъекцией, мы должны показать, что для всех действительных чисел х¢и х¢¢ из равенства f(х¢)= f(х¢¢) следует, что х¢= х¢¢. Итак, пусть f(х¢)= f(х¢¢) Û ах¢ + b = ах¢¢ + b Û ах¢= ах¢¢ Û х¢= х¢¢, поэтому f – инъекция.
Чтобы показать, что f – сюръекция, предположим, что у – любое действительное число. Мы должны найти х Î R такое, что f(х) = у.
Пусть
,
тогда х Î R и
,
поэтому f -сюръекция.
Рассмотрим функцию f: Х ® У, где Х и У – подмножества R. Если у нас есть график функции у = f(х), то мы можем легко ответить на вопросы: является или нет функция f(х) инъективной или сюръективной? Предположим, что f не инъективна. Тогда существуют два элемента  х¢и х¢¢ в Х такие, что х¢¹ х¢¢, но f(х¢)= f(х¢¢) = b, то есть горизонтальная прямая у = b должна дважды пересечь график функции в точках, которые отвечают х = х¢ и х = х¢¢.

y

x

b

х¢

х¢¢

X

y = f(x)

Если же f – инъективна, то такой ситуации никогда не возникнет, то есть горизонтальная прямая у = b, проведенная через любую точку b Î У на оси Оу, никогда не будет иметь с графиком функции более, чем одной общей точки.
Если же f – сюръективна, то У_f = У, и любая горизонтальная прямая, проходящая через точку множества У, обязательно будет иметь общую с графиком точку.
Проведенные рассуждения суммируем в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть f:Х ® У – функция, где Х и У – подмножества R. Тогда:
1)     f – инъективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b на оси Оу, будет иметь самое большее, одну общую точку с графиком f(х);
2)     f – сюръективна, если и только если каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b Î У оси Оу, будет иметь, по крайней мере, одну общую точку с графиком f(х).
Примеры.

x

y

0

X

Y

а)

x

y

0

X

Y

б)

x

y

Y

X

0

в)

г)

x

y

Y

X

0

Функция с графиком (а) является инъективной, так как каждая горизонтальная прямая, проходящая через точку b оси OУ имеет не более, чем одну общую точку с графиком. Эта функция не является сюръективной, так как, например, горизонтальные прямые, проходящие через точки с отрицательными ординатама, не пересекают график функции ни разу.
График (б) – это график функции, которая сюръективна, но не инъективна. Каждая горизонтальная прямая, проходящая через точки У, обязательно имеет хотя бы одну общую точку с графиком. Однако, у самой функции имеется горизонтальный участок, поэтому при соответствующем значении у горизонтальная прямая будет иметь бесконечно много общих точек с графиком.
Аналогичные рассуждения показывают, что функция, представленная на графике (в), будет одновременно и инъективна и сюръективна, т.е. является биекцией, а функция, изображенная на графике (г), одновременно не является ни инъективной, ни сюръективной.
Если f:Х ® У и А Í Х, то множество S = {у½уÎУ, у = f(х), х Î А}, т.е. множество всех тех у, в каждый из которых при отображении f отображается хотя бы один элемент из подмножества А множества Х, называется образом подмножества А и обозначается          S = f(А). В частности, всегда У_f  = f(X). Для образов множеств А  Х и В  Х справедливы следующие соотношения:
f(АÈВ) = f(А)Èf(B),
f(АÇВ) Í f(А)Çf(B),
f(А)\f(В) Í f(А\В),
и если АÍВ, то f(А)Íf(В).
Если f:Х ® У и SÍУ, то множество А = {х½хÎХ, f(х)ÎS}
называется прообразом множества S и обозначается А=f ^-1(S). Таким образом, прообраз множества S состоит из всех тех элементов хÎХ, которые при отображении f отображаются в элементы из S, или, что то же самое, которое состоит из всех прообразов элементов уÎS, т.е. f ^-1(S) = f^{- -1}(у). Для прообразов множеств SÍУ и ТÍУ справедливы соотношения:
f ^-1(S È Т) = f ^-1(S) È f ^-1(Т)
f ^-1(S Ç Т) = f ^-1(S) Ç f ^-1(Т)
f ^-1(S \ Т) = f ^-1(S) \ f ^-1(Т),
а если SÍТ, то f ^-1(S) Í f ^-1(Т).
Если АÍХ, то функция f:Х ® У естественным образом порождает функцию, определенную на множестве А, ставящую в соответствие каждому элементу хÎА элемент f(х). Эта функция называется сужением функции f на множестве А и иногда обозначается f_А. Таким образом, f_А: А®У и для любого хÎА имеет место f_А: х f(х). Если множество А не совпадает со множеством Х, то сужение f_А функции f на множестве А имеет другую область определения, чем функция f, и, следовательно, является другой, чем f, функцией.

Композиция функций
Пусть f:Х®У и g:У®Z – функции. Функция F:X®Z, определенная для каждого хÎХ формулой F(x)=g(f(x)) называется композицией (суперпозицией) функций f и g, или сложной функцией, и обозначается .
Композицию функций  можно проиллюстрировать следующим образом:

x

f(x)

g(f(x))= ( )(x)

Х

f

Y

Z

g

·

·

·

Пример. Пусть Х= {a; b; c; d; e}, У= {a; b; g; d}, Z= {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Пусть f:Х ®У и g:У®Z – функции, определенные соответственно так:
f(a) = b, f(b) = a, f(c) = f(d) = f(e) = d;
g(a) = 3, g(b) = g(d) = 5, g(g) = 1.

5

a

b

c

d

e

2

4

6

a

b

g

d

1

3

5

X

f

Y

g

Z

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Тогда композиция функций : Х®Z будет: а 5, b 3, с 5, d 5, e 5.
Заметим, что множество значений композиции является подмножеством множества значений функции g, т.е. имеет место
Теорема 2. Пусть ¦:Х®У и g:У®Z. Тогда ( ) (Х) Í g (У) или Í .
Доказательство. Пусть z Î (g   f) (X), тогда существует хÎХ такой, что
( )(х) = g(f(x)) = z. Пусть у=¦(х)ÎУ, тогда g(y) =z, поэтому zÎg(Y) и теорема доказана.
Теорема 3. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если f и g обе инъективны, то композиция также инъективна, а если f и g обе сюръективны, то и композиция  также сюръективна.
Доказательство. Пусть f и g – инъективны. Пусть х¢, х¢¢ÎХ, у¢=f(x¢), у¢¢=f(x¢¢). Тогда из равенства ( )(х¢) = ( ) (х¢¢) следует, что g(f(x¢)) = g(f(x¢¢)) или g(y¢) = g(у¢¢)Þ у¢ = у¢¢ (так как g инъективна) Þ f(x¢) = f(x¢¢) (так как у¢ = f(x¢), у¢¢ = f(x¢¢) Þ х¢ = х¢¢ (так как f инъективна), следовательно – инъективна.
Пусть f и g сюръективны и z Î Z. Так как g сюръективна, то существует у Î У такой, что g(y) = z, и так как f сюръективна, то существует х Î Х такой, что f(x) = у.
Следовательно, существует х Î Х такой, что ( ) (х) = g(f(x)) = g(y) = z, поэтому сюръективна.
Можно показать, что обратное утверждение не имеет места, то есть если композиция инъективна (сюръективна), то отсюда не следует, что f и g с неизбежностью являются инъективными (сюръективными). Для этого приведем следующий пример:
Пусть
Х= {х₁; х₂}, У={ у₁; у₂; у₃}, Z = {z₁; z₂} и определим f:Х®У,
f(х₁) = у₁, f(х₂) = у₂;
g:У®Z, g(у₁) = Z₁, g(у₂) = g(у₃) = Z₂:

x1

x2

y1

y2

y3

z1

z2

Х

Y

Z

f

g

·

·

·

·

·

·

·

Ясно, что f – инъективна, но не сюръективна; g – сюръективна, но не инъективна, тем не менее композиция ( ):Х®Z дает ( )(х₁) = z₁, ( )(х₂) = z₂, то есть  одновременно и инъективна, и сюръективна.
Рассмотренный пример приводит к следующей теореме:
Теорема 4. Пусть даны две функции f:Х®У и g:У®Z. Тогда если композиция инъективна, то f также инъективна, а если композиция сюръективна, то g также сюръективна.
Доказательство. В обоих случаях применим метод доказательства с помощью контрапозиции. В первом случае высказывание контрапозиции будет следующим: если f – неинъективная, то и композиция – неинъективная. Предположим, что f – неинъективная, тогда существуют х¢, х¢¢ÎХ такие, что х¢¹х¢¢, но f(x¢) = f(x¢¢).
Следовательно, ( )(х¢) = (g ° f)(х¢¢), поэтому композиция функций также не инъективна.
Во втором случае высказывание контрапозиции будет таким: если g несюръективна, то композиция  несюръективна. Предположим, что g несюръективна. Тогда множество значений этой функции g(У) является собственным подмножеством множества Z. Так как, по теореме 2, ( )(Х) Í g(Y), то ( )(Х) есть также собственное подмножество множества Z, поэтому композиция не является сюръективной функцией.