Национальный Технический Университет Украины

«Киевский Политехнический Институт»

Реферат

По курсу: Квантовая Механика

На тему:

« Движение в центрально – симметричном поле »
Выполнил студент

группы ДС-71

Садрицкий Роман.
Киев-1999г.

Содержание:

1.    Движение в центрально-симметричном поле.

2.    Падение частицы на центр.

3.    Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).

 

 1.Движение в центрально-симметричном поле.

  Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц ( с массами  ) , взаимодействующих по закону  -расстояние между частицами), имеет вид
                                                     (1,1)
где - операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо  радиусов-векторов частиц  и  новые переменные  и :
                                                                           (1,2)
 - вектор взаимного расстояния, а - радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:
                                                           (1,3)
(  и  - операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов  и ;

 - полная масса системы;  - приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать  в виде произведения , где функция  описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой ), а  описывает относительное движение частиц ( как движение частицы массы  в центрально-симметричном поле  ).

    Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном поле имеет вид
                                                                             (1,4)
Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде
     .

                                                                                                                        (1,5)
Если ввести сюда оператор квадрата момента:
                                ,
то мы получим
                                              (1,6)
   При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.  Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента  и его проекции . Заданием значений  и  определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (1,6) в виде 
                                                                                        (1,7)
где - сферические функции. Поскольку  , то для «радиальной функции»  получаем уравнение

      

                                         (1,8)
Это уравнение не содержит вовсе значения , что соответствует -кратному вырождению уровней по направлениям момента.

     Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой
                                                                                                 (1,9)
уравнение (1,8) приводится к виду
                                                            (1,10)
Если потенциальная энергия  везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция , а следовательно, и ее радиальная часть . Отсюда следует, что  должна обращаться в нуль при :
                                                                                                        (1,11)
В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося при  в бесконечность.

      Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией
                                                                            (1,12)
равной сумме энергии , и члена
                                                        ,
который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при ). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции , определяющееся интегралом

     

.
   При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями  и , мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями . Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют полный набор физических величин для такого движения.

    Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения энергии ( дискретного спектра ) при заданном  в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами , причем наиболее низкому уровню приписывается номер . Тогда   определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях  (не считая точки ). Число  называют радиальным квантовым числом. Число  при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, а - магнитным квантовым числом.

    Для обозначения состояний с различными значениями момента  частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:
  1    2   3    4   5   6   7  . . .

                                                                                                 (1,13)
   Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является  - состояние; действительно, при  угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном  собственное значение энергии растет с увеличением . Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена , растущего с увеличением .

  Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что
                                                                                                (1,14)
Ищем  в виде степенного ряда по , оставляя при малых  только первый член разложения; другими словами, ищем  в виде . Подставляя это в уравнение
                                               ,
получающееся из (1,8) умножением последнего на  и переходя к , найдем
                                                       .                     

Отсюда

                                                           или           .
Решение  не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при  ( напомним, что  ). Таким образом, остается решение с , т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным  пропорциональны :
                                                            .                                     (1,15) 

        

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между  и  определяется величиной  и поэтому пропорциональна . Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение .

           

Отсюда находим

                                                                             (3,25)
Асимптотический вид этой функции при больших
                                                           (3,26)
Множитель  исчезает при переходе к нормировке «по шкале энергии», т.е. от функции  к функции ; именно функция  остается конечной в пределе .

   В кулоновом поле отталкивания  имеется только непрерывный спектр положительных собственных значений энергии. Уравнение Шредингера в этом поле может быть формально получено из уравнения для поля притяжения изменением знака у . Поэтому волновые функции стационарных состояний получаются непосредственно из (3,18) посредством этой же замены.
Нормировочный коэффициент снова определяется по асимптотическому выражению и в результате получается

,
                .         (3,27)
Асимптотическое выражение этой функции при больших  имеет вид
,

                                                                                                                       (3,28)

.















Природа кулонова вырождения.

   

    При классическом движении частицы в кулоновом поле имеет место специфический для этого поля закон сохранения; в случае поля притяжения
                                                                                     (3,29)
В квантовой механике этой величине отвечает оператор
                                                                                    (3,30)
коммутативный, как легко проверить, с гамильтонианом .

    Прямое вычисление приводит к следующим правилам коммутации для операторов  друг с другом и с оператором момента:
                          ,                 .                  (3,31)
    Некоммутативность операторов  друг с другом означает, что величины  не могут иметь в квантовой механике одновременно определенных значений. Каждый из этих операторов, скажем , коммутативен с такой же компонентой момента , но некоммутативен с оператором квадрата

момента . Наличие новой сохраняющейся величины, не измеримой одновременно с другими сохраняющимися величинами, , приводит к дополнительному вырождению уровней, - это и есть специфическое для кулонова поля «случайное» вырождение дискретных уровней энергии.

  Происхождение этого вырождения можно сформулировать также и в терминах той повышенной симметрии ( по сравнению с симметрией по отношению  к пространственным вращениям ), которой обладает кулонова задача в квантовой механике.

    Для этого отмечаем, что для состояний дискретного спектра, с фиксированной отрицательной энергией, можно заменить  в правой стороне соотношения (3,31) на  и ввести вместо  операторы . Для них правила коммутации принимают вид
                              ,                                          (3,32)
Вместе с правилом  эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.

   Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо  и  операторы
                                         ,        .                         (3,33)
Для них имеем
                    ,     ,                 (3,34)
Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов  и  равны  и , где . С другой стороны, по определению операторов  и , находим, после простого вычисления:
,

       


( при вычислении суммы  снова заменено  на  ). Отсюда

(где  ) и затем .
Обозначив
                                             ,            ,                        (3,35)
приходим к требуемому результату . Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: . Наконец, поскольку  , то при заданном  орбитальный момент пробегает значения от  до .
 

---