Нижегородский государственный

архитектурно-строительный университет.
Кафедра сопротивления материалов и теории упругости.

Расчетно-проектировочная работа

Плоская задача теории упругости


Выполнил:                                                                                     Студент гр. 163 А.В.Троханов
Проверила:                                                                                                      Т.П. Виноградова                                                                                              
Н.Новгород 2002 г.
Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой  1 см, размеры в плане 20х20 см.
Схема закрепления пластины.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х,у)=а₁х³у+а₂х³+а₃х²у+а₄х²+а₅ху+а₆у²+а₇ху²+а₈у³+а₉ху³

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений s_х, s_у, t_ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически(на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.
Расчет.

Дано: а₃=1/3, а₄= 1

          Е=0,69*10⁶ кг/см²

          n=0,33
Решение:

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф(х,у)= 

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

s_х=

s_у=

t_ху=

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:
Sх=0     -Т₅+Т₆=0 > 0=0

Sy=0     Т₄+Т₃+Т₂-Т₁-N₂+N₁=0 > 0=0

SM=0    M (T₄T₃)=-M(T₂T₁) > 0=0
удовлетворяется, т.е. пластина находится в равновесии.
5.Для точки А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. s_х=0,  s_у=-1,33,  t_ху=3,33, 

Найдем главное напряжение по формуле:
=-0,665±3,396  кгс/см²  

s_max=s_I=2,731 МПа
s_min=s_II= -4,061 МПа
Находим направление главных осей.


     a_I=39,36^o

     a_II=-50,64^o






6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений


Интегрируем полученные выражения



j(у), y(х) –некоторые функции интегрирования





или

После интегрирования получим



где с₁ и с₂ – постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид


Постоянные с₁, с₂, и с определяем из условий закрепления пластины:

1)  v           =0           или           





2)     v          =0            или           
3)     u          =0            или           
Окончательные выражения для функций перемещений u и v


Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.

		1	2	3	4	5	6	7	8	9
координаты	Х(см)	-10	0	10	10	10	0	-10	-10	0
	У(см)	10	10	10	0	-10	-10	-10	0	0
V*10-4		3,8	0,77	0,58	-0,19	0	0,19	3,2	3,1	0
U*10-4		-3,1	-3,5	-3,9	-1,9	0	-0,23	-0,45	-1,8	-1,9

     Масштаб

ü  длин: в 1см – 2см
ü  перемещений: в 1см -  1*10^-4см