Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости  Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной  , используя  параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной  переменной t. Пусть <= t<=причем и могут быть бесконечными числами .

Пусть и удовлетворяют условию : [‘(t)]² + [‘(t)]²  0.  Очевидно, что задание координат  =tи (t), равносильно заданию комплексной функции  (t)= (t) i(t).

Пусть в каждой точке  (t)  кривой С определена некоторая функция f ( ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления ₀ , ₁ , ₂ , …,  _n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t₀, t₁, …, t _i+1 > t _i.

 _i = _i –  _i-1. Составим интегрируемую функцию S = f (*) _i .  (1)
где *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max | _i | 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек  _i , то этот  предел называется интегралом от функции f ( ) по кривой С.

                            (2) 

f (_i* ) = u (P_i*) + iv (P_i*)      (3)

где  _i = (t) i(t)     ((t) и(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :



           (4)
Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при  и  0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :



                                                            (5)
Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f ( ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :












О ограниченности интеграла.


При этом z
=  ( ).
   7.) Пусть Cp – окружность радиуса , с центром в точке Z₀. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp :  = Z₀ + e^i,    0    2,      d = ie^i d .


Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.
ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :


Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:



        ( 8 )
ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:


Т.к. f( ) аналитическая всюду, то  U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:


Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :




ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f() является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.
TEOPEMA
3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f () является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С₀, а изнутри контурами С₁, С₂, .. ,С_n (см. рис.). Пусть f () непрерывна в замкнутой области G, тогда :



, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С₁, С₂, .. , С_n. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.
Неопределенный интеграл.


Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z₀ и обозначим:

 интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z₀ и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией  Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

         

                  ( 9)
Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.
Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.


Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z₀ и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию  (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z₀. Проведем контур  с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z₀, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и . Согласно теореме Коши имеем :
По свойствам интегралов :
          (2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве  окружность _ с радиусом  . Тогда:
           (3)
Уравнение окружности _ :  = Z₀ + e^i (4)

Подставив (4) в (3) получим :


       ( 5 )
                                                                        



            ( 6 )

       


       (7)
Устремим  _ 0, т.е.  0.

Тогда т.к. функция  f() аналитична в точке Z=Z₀ и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех >0 существует >0, что для всех  из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z₀) | < .






               (8)
Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :


Подставляя в ( 5)  и выражая f(Z0) имеем :
            (9)
Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z₀ через ее значение на произвольном контуре  , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z₀ внутри.

Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы  в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z₀ на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z₀ принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z₀ принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :


При Z₀  Г указанный интеграл не существует.
Интегралы, зависящие от параметра.
Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования  и Z₀. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z₀.

Пусть задана функция двух комплексных переменных  (Z,  ), причем   Z= x + iy  в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i   С.  (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция  (Z,  )  удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений  С является аналитической в области G. 2) Функция  (Z,  )  и ее производная  являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и  при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :


Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :
                              (2)
Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
ТЕОРЕМА.  Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :


 (3)
С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции  f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.
ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему  G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.
Разложение функции комплексного переменного в ряды.
Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :



Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

               (2) – разложение в ряд Тейлора.
Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z₀ |<R, где R – радиус сходимости ряда (2).

Функция f (z), которая может быть представлена в виде ряда (2) является аналитической функцией. Неаналитическая функция в ряд Тейлора не раскладывается.

                     

Изображение производных.

Теорема. Если , то справедливо выражение :

                                             (1)

Доказательство :





                           (2)

    (3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :



Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :

  Если x(0)=0   и x’(0)=0

Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.





       

Изображающее уравнение :





Теорема о интегрировании оригинала. Пусть  находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение .

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть  – функция оригинал, которая имеет изображение и  также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда .

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до  в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

            (1)

Свертка обозначается следующим образом :

                         (1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:




 Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений  представляется сверткой оригиналов .

Доказательство :

Пусть изображение свертки

                      (1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и  . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и  входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.



Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F₂(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция  находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда  .

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл  Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

  (2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.

 - Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

, где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде ,  k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ₁, ₂, …,  _n соответствующий кратности k₁, k₂, …, k_n , при этом k₁+ k₂ +…+ k_n = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :



                                       (3)
Например :




Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

                            (1)

На  f
(
t
) наложены условия :

1)                    f
(
t
) определена и непрерывна на всем интервале: (- ;  )

2)                    f(t) 0 , t  (-  ;0)

3)                    При  M, S₀ >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me ^S0t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f
(
t
) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

                            (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2)  p
=
a
+
in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(
p
) = a = 0, т.е.

                           (4)

                           (5)

(4)                  и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
1)                    Должна быть определена на промежутке (- ;  ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

2)                    Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

3)                    Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me ^S0t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f
(
t
) =
C




Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

   т.к.
Если  f
(
t
) = 0 при t
>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F
(
p
) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если  f(t)  0, t<0

     (6)


Обозначим

Очевидно, что                            (6’
)

Функция (6) называется спектральной плотностью



В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

1)                    Вычисление интеграла (5)

2)                    Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F
(
iu
) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

                                                (7)

|F
(
iu
)| - амплитудное значение спектральной плотности,  (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F
(
iu
) =
a
(
u
) +
ib
(
u
)

                                           (8)

                                                      (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F
(
iu
)|  и фазовый угол  (u).
Пример.

Найти спектральную плотность импульса :



откуда , далее




Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

1)                    Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

2)                    Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y
=
f
(
t) существует непрерывное изображение по Лапласу F
(
p
), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p
=
iu
.

Спектральной плотностью  F
₁
(
iu
) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F
₂
(
iu

) абсолютно интегрируемой функции.