Нахождение оптимальных параметров для полета тела через прямоугольную преграду

Выполнил: ученик 11 Б класса Назаркин Павел Дмитриевич

Муниципальное общеобразовательное учреждение  «Лицей №43»

Саранск, 2004

Постановка задачи.

Произвести необходимые расчеты для нахождения минимальной скорости тела, брошенного через прямоугольное препятствие.

Методы выполнения работы.

Для выполнения данной работы проделаем ряд математических вычислений и преобразований с использованием физических формул.

Зная, что траекторией движения тела, является парабола, а также математическую формулу записи данной линии, будем использовать уравнение параболы общего вида в качестве начальных данных поставленной задачи. В выбранной нами прямоугольной системе координат запишем данное уравнение для двух точек, принадлежащих линии движения – начальной точке А и точке В, в которой тело окажется через некоторый промежуток времени t. Решая систему полученных при этом уравнений, путем математических замен и преобразований выведем формулу зависимости движения тела от одной переменной L, т.е. коэффициенты k и b, участвующие в общем виде уравнения параболы, выразим через L. Затем, используя физический закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, выразим переменную L через  и V . В результате получим уравнение движения, в качестве коэффициентов в котором будут выступать переменные  и V. Затем составим систему двух уравнений, полученных подстановкой координат точек А и В в последнее уравнение движения. Решая данную систему, мы найдем неизвестные нам величины  и V, выразив их через имеющиеся известные нам параметры – ширину и высоту прямоугольного препятствия. Для нахождения Vmin воспользуемся производной функции.

Решение.



Уравнением линии движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие, в общем виде является уравнение параболы :

y=-kx2+b

Введем прямоугольную систему координат и свяжем ее с прямоугольным препятствием, как показано на рисунке.

В данной системе координат уравнение движения тела в точках А и Б примет вид:

 0=-k(a+L)2+b,

h=-ka2+b.

Выразим k и b через одну неизвестную L:

Вычитаем 1)-ое из 2)-ого:

h=k(a2+2aL+L2-a2),

h=k(2aL+L2) , (*);

h=b-ka2+b b=h+ka2 . (*)

Получилось, что уравнение движения зависит только от L:

y=-kx2+b, где коэффициенты k и b имеют вид (*).

Найдем зависимость L оти V.

Из курса физики известно: что движение тела, брошенного под углом горизонта описывается уравнениями

 x=Vxt L=Vxt L=Vcost

 y=Vyt+gt2/2 h=Vyt-gy t2/2 gt2-2Vyt+2h=0.

gt2-2Vyt+2h=0.

.

Мы рассматриваем время движения от точки А до Б, значит

, где Vy=Vsin.

Итак,  

Умножив обе части уравнения на g, получим:

 (1)

Известно, что  т.е.

 (2)

С другой стороны tg=y’ в точке А, т.е. tg=y’(-a-L);



Подставив значение tg в (2), получим:

V2sin2=g(a+L) tg

V2sincos=g(a+L) Lg=V2sincos-ga (3)

Сравнив (1) и (3) получаем, что:



.

Получили уравнение с двумя неизвестными V и: выразив V через , мы получим ту самую функцию, которую мы должны были найти:

Пусть z=V2, тогда z cos2(z sin2-2gh)=g2a2;

z2 cos2 sin2- z cos22gh-g2a2=0;

Получили квадратное уравнение относительно z



Очевидно,  значит, т.к. z=V2>0, то .

Вместо зависимости V от рассмотрим зависимость z от , и обозначив  получим зависимость z от t.

Получим , где z=V2, .

Выразим  через t, если ;  

Значит,

Т.е.  



Таким образом, чтобы найти Vmin и , нам нужно во-первых, найти fmin и t.

 .

Умножив обе части уравнения на , получим







Прежде чем возвести обе части в квадрат, сделаем предварительный анализ получившегося уравнения: т.к.

то и

т.е.  и









Умножив обе части уравнения на (t-1)2, получим





 Т.к t<2 и t>1 (т.к. ), то можно извлечь корень.

 

 

 



; (4)





Итак, f(t)=2h+2a, значит .

Т.к. z=V2, то  т.е.  (5)

Осталось найти L:

Его найдем используя (3).













Результаты работы.

Проделанным расчетом мы нашли зависимость скорости, движения брошенного через прямоугольное препятствие тела, так чтобы она была минимальной, от длины и высоты прямоугольного препятствия. То есть, зная данные препятствия, - его длину и ширину – а так же формулы, полученные в данной работе, мы можем определить на каком расстоянии от препятствия, под каким углом и с какой минимальной скоростью необходимо бросить тело, чтобы оно перелетело через это препятствие.

Актуальность темы.

Данные расчеты и выведенные формулы используются в различных сферах деятельности человека. В частности, в военной практике, для правильного расчета движения траектории снарядов.

Приложение.

К работе прилагается программа, результатом которой является вывод на экран траектории движения тела, брошенного через прямоугольное препятствие. Входными параметрами программы являются данные прямоугольного препятствия – его длина и высота. Программа написана на языке программирования Delphi.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://licey43.ru