Отображения в пространстве R(p₁,p₂)


§1. Пространство
R(p₁,p₂).

А₁- аффинная прямая. Отнесем прямую А₁ к подвижному реперу  r = {a,`e},     где а и`e   соответственно точка и вектор.

   Деривационные формулы репера r имеют вид:

d a= q`e  , d`e= W`e               (1),

причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :

D q = qÙW , DW=WÙW=0.

   Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d²`e + 1/6d<sup>3</sup>`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.

   Пусть R(p₁,p₂) – пространство всех пар (p₁,p₂) точек p₁,p₂  прямой А_1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р₁р₂, а конец вектора `е – в точку р<sub>1</sub>; при этом р<sub>2</sub> совместится с концом вектора -`е.

   Условия стационарности точек р₁ и р₂ в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0,   -W+q=0.

   Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р₁,р₂) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.

   Очевидно, что dim R(p₁,p₂)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р₁*р₂*, близкого к р₁р₂,по отношению к р₁р₂.
§ 2. Отображение
f
.
   А₂ – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,`
e<sub>j</sub>}. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А<sub>2</sub> имеют соответственно вид :dp=W<sup>j</sup>e<sub>j</sub> ; d`
e_j= W_j ^k;

                                    DW^j=W^k^W_k^j ; DW^j=W_j^y^W_y^k .

   Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А₂ в пространстве R(p₁,p₂):f:A₂
®
R(p₁,p₂).

   Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f=2        (1)

Поместим начало Р репера R в точку f^-1(p₁,p₂). Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :

        Q+W=l
_j
W^j   ;   Q-W=m
_j
W^j                 (2)

   Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f^-1: R(p₁,p₂)®
A₂ обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f^-1 имеют вид :

                            W^j=
l
^j
(Q+W)+
m
^j
(Q-W)           (3)

   Из (2) и (3) получаем :

   l
^k
l
_j
+
m
^k
m
_j
=
d
_j
^k


  
l
^j
l
_j
=1

  
m
^j
m
_j
=1                            (*)

  
l
^j
m
_j
=0

  
m
^j
l
_j
=0

   Указанную пару {r;R} реперов пространств А₁ и А₂ будем называть репером нулевого порядка отображения f.
§3.
Фундаментальные геометрические объекты отображения
f.

Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.

     D(λ_jW^j-W-Q)=0,

получаем :  

     dλ_j=λ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

     D(μ_jW^j+W-Q)=0

получаем :

     dμ_j=μ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k

   Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:

     Q+W=λ_jW^j

     Q-W=μ_jW^j

     dλ_j=λ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

     dμ_j=μ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^j

  Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁={λ_j,μ_j} является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

     dλ_k^W_j^k+λ_kdW_j^k+1\4(λjμ_k-λ_kμ_j)^W^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dλ_jk^W^k+λ_jkdW^k=0.

получим:

     (dλ_jt-λ_ktW_j^k-λ_jkW_t^k+1\4(λ_kμ_jt-μ_kλ_jk)W^k+1\16λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

    
dμ_k^W_j^k+μ_kdW_j^k+1\4d(λ_jμ_k-λ_kμ_j)^W^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)dW^k+dμ_jk^W^k+μ_jkdW^k=0

получим:

     (dμ_jt-μ_ktW_j^k-μ_jtW_t^k+1\4(λ_kμ_jt-μ_kλ_jt)W^k+1\16λ_tμ_k(λ_j-μ_j)W^k)^W^t=0

обозначим:

     λ
_j
=dλ_j-λ_tW_j^t

     μ_j=dμ_j-μ_tW_j^t

     λ_jk=dλ_jk-λ_tkW_k^t-λ_jtW_k^t

     μ_jk=dμ_tkW_j^t-μ_jtW_k^t

   Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:

     Q+W=λ_jW^j

     Q-W=μ_jW^j

     dλ_j=λ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+λ_jkW^k

     dμ_j=μ_kW_j^k+1\4(λ_jμ_k-λ_kμ_j)W^k+μ_jkW^k                                          (4)

       λ_jk=(1\4(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+1\16λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+λ_jkα)W^α

       μ_jk=(1\4(μ_αλ_jk-λ_αμ_jk)+1\16λ_kμ_α(μ_j-λ_j)+μ_jkα)W^α

Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk} образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г_Р порядка р :

     Г_Р={λ_j,μ_j,λ_j1j2,μ_j1j2,...,λ_j1j2...jp,μ_j1j2...jp}.
§
4. Векторы и ковекторы первого порядка.

   Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j},{μ_j} образует подобъекты геометрического объекта Г₁. Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

     λ_jX^j=1 ; μ_jX^j=1                             (6)

не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ^j,μ^j} являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j,μ^j} охватываются объектом Г₁.

   Из (*) получаем:

     dλ^j=-λ^kW_k^j-1\4(λ^j+μ^j)μ_tW^t-λ_ktλ^kλ^tW^t-μ_ktW^t^λ^kμ^j

     dμ^j=-μ^kW_k^j-λ_ktμ^kλ^jW^t-μ_ktμ^kμ^jW^t+1\4λ_t(λ^j+μ^j)W^t

   Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁. Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

   Предположение 1.Конец вектора  v₁=λ^je_j (вектора v₂=μ^je_j) лежит на прямой (6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:

λ_jX^j=0  ,  μ_jX^j

= 0                                                       (7).

   Предположение 2. Основные векторы {λ^j} и {μ^j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

                                                                

        λ_jX^j=1                                                           

                                                                             

          V₂                                                                    

                         V₁             μ_jX^j=1                                               

                                                                            

                                                                                          

   Система величин ρ_j=λ_j-μ_j образует ковектор: dρ_j=ρ_kW_j^k+(μ_jk-λ_jk)W^k.                                                                         

   Определяемая им прямая ρ_jX^j=0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6).

   Пусть W-однородное подмногообразие в R(p₁,p₂) содержащее элементы (р₁,р₂) определяемое условием: (р₁^*,р₂^*)∈
W↔p₁^*p₂^*=p₁p₂.                                                                

   Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W) многообразия W при отображении f.

   Доказательство:

     ] (p₁^*,p₂^*)∈
W
и
p₁^*=p₁+dp₁+1\2d²p₁+... ,

                               p₂^*=p₂+dp₂+1\2d²p₂+... .

   Тогда в репере

Г: p₁^*p₂^*=e p₁p₂, где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р₁^*р₂^* по отношению к р₁р₂. Таким образом, (р₁^*р₁^*)∈
W↔W=0.

Из (2) получим: W=ρ₁W^j

   Следовательно, (р₁^*р₂^*)∈
W равносильно ρ_j
W^j=0
                              
(9)                                      

   Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.

   При фиксации элемента (р₁,р₂)∈
R(p₁p₂) определяется функция h: (p₁^*p₂^*)
∈
h(p₁p₂)→e
∈
R, так, что р₁^*р₂^*=е р₁р₂  

   В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия     f^-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f^-1(W).

   ]W₁,W₂- одномерные многообразия в R(p₁p₂), содержащие элемент (р₁р₂) и определяемые соответственно уравнениями:

     (p₁^*,p₂^*)єW₁↔p₂^*=p₂.

     (p₁^*,p₂^*)єW₂↔p₁^*=p₁.

   Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W₂ (многообразия W₁) при отображении f.

   Дифференциальные уравнения линии f^-1(W₁) и f^-1(W₂) имеют соответственно вид:

     λ_jW^j=0
                                       

    
μ_jW^j=0.                                                            

   Пусть W₀- одномерное подмногообразие в R(p₁p₂), содержащее (р₁р₂) и определяемое условием: (p₁^*p₂^*)єW₀↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р₁^*р₂^*.  Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.                                                                      

   Предложение 3. Прямая (λ_j+μ_j)X^-j=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1(W₀) многообразия W₀ при отображении f. Дифференциальное уравнение линии f^-1(W₀) имеет вид: (λ_j+μ_j)W^j=0.

   Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f^-1(W₁), f^-1(W₂),    f^-1(W), f^-1(W₀) составляют гармоническую четверку.

   Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5.
Точечные отображения, индуцируемые отображением
f.
   Рассмотрим отображения:

     П₁: (р₁,р₂)∊
R(p₁,p₂)→p₁
∊
A₁     (5.1)

     П₂: (р₁,р₂)
∊
R(p₁,p₂)→p₂
∊
A₁     (5.2)

   Отображение f: A₂→R(p₁,p₂) порождает точечные отображения:

     φ₁=П₁
∘
f: A₂→A₁     (5.3)

     φ₂=
П₂
∘
f: A₂→A₁     (5.4)

   В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ₁ и φ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б). Подобъекты Г_1,2={
λ
_j
,λ_jk} и Г_2,2={μ_j,μ_jk} объекта Г₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ₁ и φ₂.

   В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

     x=1+λ_jX^j+1/2λ_jkX^jX^k+1/4λ_yρ_kX^jX^k+<3>,     (5.5)

     y=-1+μ_jX^j+1/2μ_jkX^jX^k+1/4μ_yρ_kX^jX^k+<3>,   (5.6)

   Введем системы величин:

     Λ_jk=λ_jk+1/4(λ_jρ_k+λ_kρ_j),

     Μ_jk=μ_jk+1/4(μ_jρ_k+μ_kρ_j)

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

     x=1+λ_jX^j+1/2Λ_jkX^jX^k+<3>     (5.7)

     y=-1+μ_jX^j+1/2Μ_jkX^jX^k+<3>   (5.8)

В <4> доказано, что существует репер плоскости А₂, в котором выполняется:

    λ₁  λ₂         1  0  

               =                          

    μ₁  μ₂        0  1  

Этот репер является каноническим.

   Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

   Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

    
x=1+X¹+1/2Λ_jkX^jX^k+<3>     (5.9),

     y=-1+X²+1/2Μ_jkX^jX^k+<3>   (5.10).

§
6. Инвариантная псевдориманова метрика.

   Рассмотрим систему величин:

     G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j)

   Из (3.1) получим:

dG_jk=1/2(dλ_jμ_k+λ_jμ_k+dλ_kμ_j+λ_kdμ_j)=1/2(μ_kλ_tW_j^t+1/4λ_jμ_kμ_tW^t-1\4μ_kμ_tλ_tW^t+μ_kλ_jtW^t+λ_jμ_tW_k^t+

       +1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jλ_ktW^t+λ_kμ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_kλ_tμ_jW^t+             

       +λ_kμ_jtW^t),

dG_jk=1/2(μ_kλ_t+λ_kμ_t)W_j^t+1/2(λ_jμ_t+λ_tμ_j)W_k^t+G_jktW^t,

где G_jkt=1/2(μ_kλ_jt+λ_yμ_kt+μ_jλ_kt+λ_kμ_jt-1/2μ_jμ_kλ^t+1/2λ_jλ_kμ_t-1/4λ_jμ_kλ_t+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t-

             -1/4μ_jλ_kλ_t)                      (6.3).

Таким образом, система величин {G_jk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику G:

     dS²=G_jkW^jW^k     (6.4)

   Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS²=θ²-W²  (6.5) в R(p₁,p₂).

   Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

   Асимптотические направления определяются уравнением G_jkW^jW^k=0 или

λ_jW^jμ_kW^k=0     (6.6)

Предложение: Основные векторы V₁ и V₂ определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U
) и (y,U^’
) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’)

   Теорема: Метрика dS²=θ²-W² совпадает с метрикой Розенфельда .

   Доказательство: В репере r имеем для координат точек p₁,p₂,p₁+dp₁,p₂+dp₂

Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

     dS²=θ²-W²

   Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

     Г^l_jk=1/2G^tl(G_tkj+G_jtk-G_jkt)


псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г₂={λ_j,μ_j,λ_jk,μ_jk}.

Он определяется формулой: Г^l
_jk
=λ^jΛ_jk+μ^lΜ_jk-λ^lλ_tλ_k+μ^lμ_tμ_k.
§7.
Инвариантная риманова метрика.

 

 Рассмотрим систему величин:

     g_jk=λ_jλ_k+μ_jμ_k     (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_jk=dλ_jλ_k+dλ_kλ_j+dμ_jμ_k+dμ_kμ_j=λ_kλ_tW_j^t+1/4λ_kλ_jμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_jW^t+λ_kλ_jtW^t+λ_jλ_tW_k^t+

      +1/4λ_jλ_kμ_tW^t-1/4λ_jλ_tμ_kW^t+λ_jλ_ktW^t+μ_kμ_tW_j^t+1/4μ_kλ_jμ_tW^t-1/4μ_kλ_tμ_jW^t+μ_kμ_jtW^t+

      +μ_jμ_tW_k^t+1/4μ_jλ_kμ_tW^t-1/4μ_jλ_tμ_kW^t+μ_jμ_ktW^t.

dg_jk=(λ_kλ_t+μ_kμ_t)W_j^t+(λ_jλ_t+μ_jμ_t)W_k^t+g_jktW^t,     (7.2)

где g_jkt=1/2λ_jλ_kμ_t-1/2μ_jμ_kλ_t-1/4λ_kλ_tμ_j-1/4λ_jλ_tμ_k+1/4λ_jμ_kμ_t+1/4μ_jλ_kμ_t+λ_kλ_jt+λ_jλ_kt+

            +μ_kμ_jt+μ_jμ_kt     (7.3)

   Таким образом, система величин {g_jk} образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику g:

     dS²=g_jkW^jW^k     (6^’.4)

   Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6^’
.4) соответствует при отображении f
метрике:

     dS²=2(θ²+W²)     (6^’.5)

в R(p₁,p₂)

   Из (6^’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

   Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

     GjkXjXk=1     (6^’.6)

или (λ_jX^j)²+(μ_jX^j)²=1     (6^’.7)

   Из (6^’.7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

   Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.
                                                               

 

              V₁                                                                                                  

 

                                    V₂                   рис.3.       

                                                    

                                                             
   Пусть g^jk=λ^jλ^k+μ^jμ^k     (6.8)

   В силу (2.7) имеем:

     g^jtg_tk=(λ^jλ^t+μ^jμ^t)(λ_tλ_k+μ_tμ_k)=λ^jλ^k+μ^jμ^k=δ_k^j     (6^’.9)

   Таким образом, тензор g^jk является тензором взаимных к g_jk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.


Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j} (вектора {μ^j}) соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_j} (ковектора {μ_j}).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g.

Доказательство:

     λ^jλ^kg_jk=λ^jλ^kλ_jλ_k+λ^jλ^kμ_jμ_k=1,

     μ^jμ_kg_jk=μ^jμ^kλ_jλ_k+μ^jμ^kμ_jμ_k=1,

     λ^jμ^kg_jk=λ^jμ^kλ_jλ_k+λ^jμ^kμ_jμ^k=0.

   Таким образом, f
задает на А₂ структуру риманова пространства (A₂,g_f).

В работе <2> был построен охват объекта

     γ_jk^l=1/2g^tl(g_tkj+g_jtk-g_jkt)

римановой связности γ фундаментальным объектом

     Г₂={λ_j,μ_j,Λ_jk,Μ_jk}

   Он определяется формулой:

     γ_jk
^l
=λ^lΛ_jk+μ^lM_jk+G_jk(λ^l-μ^l)+1/2(λ^l+μ^l)(μ_jμ_k-λ_jλ_k),

где G_jk=1/2(λ_jμ_k+λ_kμ_j).