Реферат Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Множества с двумя алгебраическими операциями кольца и поля
Предположим, что существует множество R, на котором расположены две алгебраические операции: сложение и умножение.
Принято считать, что умножение имеет свойство правой дистрибутивности по отношению к сложению:
И соответственно сложение имеет свойство левой дистрибутивности по отношению к умножению. В случае, если операция умножения коммутативна, тогда данные свойства равнозначны.
Применяя свойства дистрибутивности, подразумеваем двустороннюю дистрибутивность.
Допустим, операция сложения на множестве R имеет нейтральный элемент, т. е. 0.
Приравняв у и z к нулю, получим: x * 0 = x * 0 + x * 0, владея свойством сокращения для операции сложения, получаем, что x * 0 = 0.
В случае наличия у элемента y противоположный элемент, т. е. отрицательный, приравняв z к (-y), получим: 0 = x * 0 = x * y + x *(-y), отсюда следует, x *(-y) = -x * y.
Полем называется такое ассоциативное коммутативное кольцо с единицей k, в котором всякий ненулевой элемент обратим:
Таким образом, по определению в поле отсутствуют делители нуля.
Кольцом называется множество с двумя алгебраическими операциями R (+, *), если:
Обратимыми называют те элементы кольца R, которые имеют обратные относительно операции умножения, множество R в данном случае обозначается через
Множество
Умножение в R дистрибутивно относительно сложения.
Ассоциативное кольцо — это кольцо, в котором операция умножения обладает свойством ассоциативности.
Кольцо с единицей — наличие нейтрального элемента для операции умножения.
(R, +) — абелева группа (аддитивная группа кольца R).
Приведем некоторые примеры колец и полей.
Допустим R — любое ассоциативное коммутативное кольцо и x — некоторый символ. Формальная сумма вида p =
Нулевой многочлен не имеет степени. Многочлены над R можно складывать и перемножать по обычным правилам, и они образуют кольцо R [x]. Если кольцо R имеет единицу е, то многочлен нулевой степени p = e будет единицей кольца R [x]. Если
Если R не имеет делителей нуля, то deg (pq) = deg (p) + deg (q), и потому R [x] также не имеет делителей нуля. В то же время обратимыми элементами кольца многочленов будут в точности обратимые элементы R, рассматриваемые как многочлены нулевой степени.
Данная конструкция позволяет рассматривать и многочлены от нескольких переменных по определению: R [x,y] = R [x][y] (= R [y][x]).
Аддитивная группа этого кольца — хорошо известная нам бесконечная циклическая группа. Мультипликативная группа
Множество Z целых чисел с операциями сложения и умножения дает важный пример ассоциативного коммутативного кольца с единицей. Элементы, не входящие в
Рассмотрим поля R, Q, и C соответственно вещественных, рациональных и комплексных чисел.
Построенное поле из двух элементов обозначается GF (2).
Если p — простое число, то все вычеты по модулю p, кроме 0, обратимы относительно операции умножения. Любое поле содержит по крайней мере 2 элемента: 0 и e. Этот «минимальный» запас элементов и достаточен для образования поля: операции определяются очевидным образом.
Рассматривая группу
Будем считать, что R является ассоциативным коммутативным кольцом. Кольцо матриц ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.
Множество
Если det (A) — обратимый элемент кольца R, то матрица A обратима в кольце матриц:
Если R содержит единицу
Для любой матрицы
В самом деле, из det (A) = 0 следует, что столбцы А линейно зависимы:
А * В = 0, где А является делителем нуля в том случае, если В — ненулевая матрица.
Подкольцо кольца с единицей может не иметь единицы. Например, подкольцо четных чисел 2 Z
Например, для подкольца
Допустим,
Поскольку К * К
Подкольцо К называется идеалом кольца R, если
Мы видим, что если К является идеалом в R, произведение смежных классов (r + K) * (s + K) содержится в смежном классе r * s + K. Значит, в факторгруппе R / K определена операция умножения, превращающая ее в кольцо, называемое факторкольцом кольца R по идеалу К.
Подкольцом является подмножество
Согласно данной интерпретации, К является подгруппой аддитивной группы R и замкнуто относительно умножения:
К будет обладать свойствами ассоциативности, коммутативности или отсутствием делителей нуля, если R обладает такими свойствами.
Отображение, сохраняющее обе кольцевые операции:
Пусть
Ядро группового гомоморфизма аддитивных групп
Пусть
Аналогично проверяется, что I * x
Взаимно однозначный гомоморфизм является изоморфизмом.
Отсутствие в R делителей нуля еще не гарантирует их отсутствие в факторкольце. Такие свойства как ассоциативность, коммутативность и наличие единицы сохраняются при переходе к факторкольцу
Приведем примеры.
Всякий ненулевой идеал I в S совпадает со всем полем, если кольцо S является полем. В самом деле, если
Если
Этот идеал обозначается (x). Если S кольцо с единицей и элемент x обратим, то (x) = S.
Факторкольцо Z / nZ — это множество вычетов по модулю n с операциями сложения и умножения. Идеалом кольца Z является подкольцо nZ, так как для любого целого m m (nZ)
Допустим, что I — идеал кольца R. Тогда, соотнося каждому элементу
Предположим, что I
Каждый смежный класс q + I содержит элемент
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.matematika-r.info/
