НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМЕНІ С.П. ТИМОШЕНКА

 

Головко Костянтин Григорович

УДК 539.3

Осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях
01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті механіки
ім. С.П. Тимошенка НАН України, м. Київ
Науковий керівник
доктор технічних наук, професор,
Заслужений діяч науки і техніки України
Луговий Петро Захарович,
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, в.о.
завідувача відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій
Офіційні опоненти:
доктор технічних наук, професор
Шнеренко Кузьма Іванович
відділ динаміки та стійкості суцільних середовищ,
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України,
головний науковий співробітник;
доктор технічних наук, професор
Гайдайчук Віктор Васильович
Київський національний університет будівництва і архітектури
Міністерство освіти і науки України, завідувач кафедри теоретичної механіки
Захист відбудеться «01» липня 2008 р. о 10⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.
Автореферат розісланий «28» травня 2008 р.
Учений секретар
спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01
доктор фізико-математичних наук О.П. Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Задачі теоретичного дослідження динаміки підкріплених оболонкових конструкцій на пружній основі під дією нестаціонарних навантажень виникають в багатьох галузях техніки, наприклад, різні резервуари і трубопроводи, які закладені в грунт, колони нафтових і газових свердловин, пускові шахти, тунелі метро та інші конструкції спеціального призначення. Діючі на ці конструкції імпульсні навантаження можуть бути генеровані полями тиску сейсмічних хвиль, гірських ударів, стрибками тиску в трубних магістралях, ефектами детонації, вибухами природного газу, ударними хвилями технологічних вибухів та ін.
При дії нестаціонарних навантажень на підкріплені оболонки обертання, які мають контакт з навколишнім пружним середовищем, в останніх виникають складні поля напружень і деформацій, структура яких залежить від способу врахування розміщення ребер жорсткості, фізико-механічних властивостей пружної основи, характеру взаємодії оболонка – середовище та інших чинників.
Більша частина відомих досліджень по вказаній проблемі виконана на основі співвідношень теорії стержнів і оболонок Кірхгофа–Лява при дії статичних навантажень, а пружне середовище моделюється основою Вінклера. Існує ряд робіт призначених вивченню динамічної поведінки балок, пластин та оболонок обертання на одно– та двопараметричній пружній основі. В цих роботах здебільшого використовується технічна теорія оболонок і лише в окремих статтях – уточнені теорії оболонок. Започатковані як експериментальні, так і теоретичні дослідження по визначенню коефіцієнтів пружного середовища.
Оскільки вказані оболонкові елементи конструкцій досить широко зустрічаються в техніці, можна зробити висновок, що задача теоретичного дослідження на базі геометрично нелінійної теорії стержнів і оболонок типу Тимошенка динаміки дискретно підкріплених оболонок обертання, що контактують з пружнім середовищем, яке моделюється трьохкомпонентним нелінійним ґрунтом, являється актуальною.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційна робота виконана у відповідності до програм і планів наукових досліджень Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України та проектами Міносвіти і науки України. Її результати увійшли до звітів науково дослідних робіт, зокрема: по проекту № 01.07/0063 Державного фонду фундаментальних досліджень Міністерства освіти і науки України, а також як науковий доробок до теми відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 1.3.1.358 “Розробка нових нетрадиційних підходів на основі дискретно-континуальних методів і комбінованих моделей до дослідження деформування і руйнування композитних матеріалів для розв’язання проблем міцності і довговічності сучасних конструкцій”.
Мета і задачі роботи. Метою являється теоретичне дослідження осесиметричних коливань дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі при дії імпульсних навантажень та аналіз механічних явищ, які при цьому відбуваються, включаючи:
–  постановку задач про коливання ребристих оболонок коливання на пружній основі з використанням геометрично нелінійної теорії стержнів і оболонок типу Тимошенка;
–  вивід рівнянь коливань дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі Вінклера або Пастернака з допомогою варіаційного принципу Гамільтона – Остроградського;
–  постановку зв’язаних задач про взаємодію циліндричних та сферичних оболонок з ґрунтовим середовищем, яке моделюється нелінійним трьохкомпонентним ґрунтом;
–  розробка чисельних алгоритмів розв'язування динамічних задач дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі, а також для зв’язаних задач при дії імпульсних навантажень на циліндричні та сферичні оболонки, які контактують з водонасиченим ґрунтовим масивом;
–  розв'язування зв’язаних задач для циліндричних та сферичних оболонок для теоретичної оцінки коефіцієнтів пружного середовища;
–  розв'язування задач осесиметричних коливань дискретно підкріплених оболонок обертання, аналіз впливу властивостей пружного середовища на механічні ефекти в неоднорідних оболонкових структурах.
Об’єктом досліджень є осесиметричні коливальні процеси, які відбуваються в дискретно підкріплених оболонках обертання, що контактують з навколишнім середовищем при дії на них імпульсних навантажень.
Предметом наукового дослідження є вплив параметрів пружного середовища на закономірності коливальних процесів в циліндричних і сферичних підкріплених оболонках.
Методи досліджень. В основу розробленої методики теоретичного дослідження динаміки дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі покладені геометрично нелінійні моделі стержнів і оболонок типу Тимошенка, навколишнє середовище моделюється нелінійним трьохкомпонентним грунтом. Для розв'язування задач динаміки неоднорідних оболонкових структур на пружній основі розроблені скінченно–різницеві схеми, які отримані на базі інтегро–інтерполяційного методу. Для розв'язування рівнянь руху з граничними умовами для ґрунтового середовища при взаємодії з циліндричними та сферичними оболонками відповідно побудовані скінченно–різницеві схеми Мак-Кормака
Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що дана уточнена постановка задач та вивід рівнянь осесиметричних та неосесиметричних коливань дискретно підкріплених оболонок обертання, які контактують з навколишнім пружнім середовищем. Покладалося, що напружено–деформований стан неоднорідної пружної структури визначається в рамках геометрично нелінійної теорії стержнів і оболонок типу Тимошенка. Використання варіаційного принципу Гамільтона–Остроградського дало можливість отримати рівняння коливань підкріплених оболонок обертання з врахуванням дії зовнішнього середовища, записати природні граничні та початкові умови для дискретно підкріплених оболонок. Розв’язана задача і проведений аналіз розповсюдження гармонійних хвиль у конструктивно – ортотропній моделі підкріпленої циліндричної оболонки показали перевагу двохпараметричної моделі основи Пастернака. Вдосконалена постановка задач про взаємодію циліндричних та сферичних оболонок з навколишнім середовищем, яке моделюється нелінійним трьохкомпонентним ґрунтом.
Розроблені чисельні алгоритми розв'язування динамічних задач неоднорідних оболонкових структур на пружній основі двосторонньої дії, оскільки вона моделюється трьохкомпонентним водонасиченим ґрунтом. Для скінченно–різницевих схем, які описують динамічну поведінку підкріплених кільцевими ребрами циліндричних оболонок на пружній основі отримано необхідну умову стійкості різницевих схем у замкненому вигляді. Для розв'язування зв’язаних динамічних задач оболонка - грунт побудовані відповідні скінченно–різницеві схеми Мак – Кормака.
Новими елементами у роботі є запропонована теоретична оцінка коефіцієнта Вінклера, яка базується на подібності структури рівнянь циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі та в грунтовому середовищі. Отримані розв’язки задач осесиметричних коливань циліндричних та сферичних дискретно підкріплених оболонок при імпульсних навантаженнях вперше дозволили проаналізувати вплив основи Вінклера та Пастернака на відмінність максимальних прогинів та напружень, яка може сягати 20 – 30%.
Достовірність отриманих в роботі результатів. Достовірність отриманих в роботі результатів визначається коректністю постановок задач, теоретичним обґрунтуванням скінченно–різницевих схем, які використовуються; контрольованою точністю та практичною збіжністю чисельних розрахунків; проведенням тестових розрахунків і порівнянням їх результатів з відомими в літературі; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій.
Практичне значення одержаних результатів. Розв'язки нових задач динаміки дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі при імпульсних навантаженнях, які одержані в роботі, можуть бути застосовані для дослідження прикладних задач, які виникають при прогнозуванні динамічної поведінки колекторів нафтових та газових свердловин при застосуванні імпульсних технологій інтенсифікації видобутку вуглеводнів, складанні проектів проведення вибухово–прострільних робіт в копальнях, оцінці аварійних ризиків в пускових шахтах та захисних оболонкових структурах атомних електростанцій, визначенні ефективності підкріплень при модернізації підземних трубопроводів. Практичне значення мають також розроблені в роботі теоретичні методики визначення коефіцієнтів пружної основи для водонасичених грунтів.
Особистий внесок здобувача. Роботу виконано під науковим керівництвом д.т.н., проф. Лугового П.З. У співавторстві з ним було опубліковано праці [1–7]. Здобувачем особисто проведено вивід рівнянь коливань дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі, розробка методів їх розв'язування, створення алгоритмів і програм, проведення чисельних розрахунків на ПК і аналіз отриманих результатів, реалізована ідея теоретичного визначення пружних характеристик для трьохкомпонентних ґрунтових середовищ.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на семінарах відділу будівельної механіки тонкостінних конструкцій Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України; повністю робота доповідалась на науковому семінарі за напрямком “Механіка оболонкових систем” при Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України. Частково матеріали дисертації доповідалися на міжнародних конференціях “Математичні проблеми технічної механіки – 2006; 2007” [6, 8] (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ), регіональній науковій конференції “Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепло переносу” [7] (Дніпропетровськ , 2006).
Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 8 наукових праць, в тому числі 4 статті у наукових журналах та збірниках [1–4], які входять до переліку ВАК України з технічних наук, а також робіт у збірниках матеріалів міжнародних конференцій [6–8].
Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел з 137 найменувань. Робота включає 142 сторінки основного тексту, 23 рисунки, 7 таблиць, усього – 173сторінки.
Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові доктору технічних наук, професору, Заслуженому діячу науки і техніки України П.З. Луговому за постійну допомогу та корисні поради при написанні дисертаційної роботи, а також провідному науковому співробітнику доктору фізико-математичних наук, професору В.Ф.Мейшу за консультації по обчислювальним методам.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі розкрито суть і стан науково–технічної задачі, обґрунтовано можливість і актуальність теми дисертації, викладено мету роботи та сформульовано основні положення, що виносяться на захист, практичне значення та наукову новизну результатів дисертаційної роботи.
Наводяться дані щодо апробації та структури роботи.
У першому розділі описуються особливості неоднорідних оболонок обертання, які знаходяться в пружному середовищі і є відповідальними елементами багатьох сучасних конструкцій. Тому розв’язуванню задач їх коливань, зв’язаних задач, чисельному дослідженню напружен-деформівного стану присвячена значна кількість робіт відомих вчених, зокрема:
В.З.Власова, А.С.Вольміра, О.М.Гузя, Я.М.Григоренка, В.Д.Кубенка, О.А.Бабаєва, В.А.Баженова, В.І.Гуляєва, В.В.Гайдайчука, В.Г.Карнаухова, М.А.Ільгамова, В.Г.Піскунова, В.І.Пожуєва, О.О.Рассказова, М.О.Шульги, Є.Г.Янютіна та інших.
Дослідження в області динаміки підкріплених оболонок знайшли своє місцк в работах: І.Я.Аміро, Н.В.Андріанова, А.Є.Богдановича, Ю.П.Жигалко, В.О..Заруцького, О.І.Лиходіда, П.З.Лугового, О.О.Малиніна, Л.І.Маневича, В.Ф.Мейша та інших.
Аналіз цих робіт показує, що автори досліджень прагнуть якомога точніше враховувати особливості, які притаманні реальним конструкціям в експлуатаційних умовах. Однією з таких особливостей є розміщення дискретно підкріплених оболонок обертання в пружному середовищі, оцінка властивостей якого і вплив його на динаміку неоднорідних оболонкових структур ускладнює розрахункові схеми і вимагає розвитку і розробки методик їх розрахунку. В літературі практично відсутні роботи по дослідженню дії імпульсного навантаження на дискретно підкріплені оболонки обертання на пружній основі, яка, зокрема, моделюється нелінійним трьохкомпонентним ґрунтом.
На основі аналізу виконаного літературного огляду сучасного стану проблеми взаємодії тонкостінних елементів конструкцій з пружнім середовищем, в якому вони знаходяться, визначено місце даної роботи серед проведених раніше розробок і обґрунтовано вибір напрямків досліджень.
У другому розділі детально викладено постановки задач осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених оболонок обертання з врахуванням зовнішнього середовища. Покладалось, що напружено-деформований стан неоднорідної пружної структури може бути визначений в рамках геометрично нелінійної теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка. Деформований стан гладкої оболонки визначається через компоненти узагальненого вектора переміщень серединної поверхні –. Деформований стан ребра, направленого вздовж осі , визначається вектором переміщення лінії центра ваги поперечного зрізу.
Деформаційні співвідношення для обшивки визначаються згідно формул
,... ,                                              (1)   
Покладається, що підкріплюючі ребра жорстко з’єднані з гладкою оболонкою. Умови контакту оболонка – j-те ребро приймаються у вигляді
.…. (2)
Для виводу рівнянь коливань підкріплених оболонок на пружній основі використовується варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона –Остроградського, згідно якого

                                                                                (3)
Після стандартних перетворень в варіаційному функціоналі (3), з врахуванням співвідношень (2), отримаємо наступні системи диференціальних рівнянь:
– рівняння коливань гладких оболонок обертання з врахуванням пружної основи
, ….                                    (4)
– рівняння коливань для -го ребра
, ….                                                                     (5)
Рівняння коливань (4) –(5) доповнюються відповідними граничними та початковими умовами.                     
Також в другому розділі наведено постановку зв’язаної задачі оболонка – ґрунтове середовище.
Рівняння руху ґрунтового середовища приймаються у вигляді
, ….                                                                  (6)
Рівняння стану ґрунтового середовища приймається в рамках нелінійної рідкої трьохкомпонентної моделі ґрунтів В.М. Ляхова

, (7)
де  зміст компонент по об’єму ; величини з індексом 1 відносяться до газоподібної компоненти, з індексом 2 відносяться до рідкої компоненти; з індексом 3 - до твердої компоненти;  - показники ізентроп в газоподібній, рідкій і твердій компонентах середовищах;  - швидкості звуку у відповідних компонентах середовища при атмосферному тиску;  - густини компонентів середовища.
Рівняння коливань оболонки, яка взаємодіє із ґрунтовим середовищем має вигляд
,                                                    (8)
З метою оцінки впливу зовнішнього середовища на розповсюдження гармонійних хвиль у конструктивно-ортотропній моделі підкріпленої циліндричної оболонки на двохпараметричній основі Пастернака проведене аналітичне дослідження. Для лінійного варіанту рівнянь (4) для циліндричної оболонки вдалося виключити функцію 1 кута повороту нормалі до серединної поверхні і отримати систему рівнянь відносно переміщення u і прогину w. Відкинувши в цих рівняннях праві частини, отримаємо однорідне рівняння для дослідження розповсюдження гармонійних хвиль, які будемо шукати у вигляді:
; , (9)
де k – хвильове число, циклічна частота  = Vk, V – швидкість гармонійних хвиль.
Підставивши (9) в отримане однорідне рівняння і скоротивши на sin(kx- t) і cos(kx- t), отримаємо однорідну систему рівнянь відносно U і W. Щоб ця система мала ненульовий розв’язок необхідно щоб її визначник дорівнював нулю. З цієї умови маємо дисперсійне рівняння:
….. …= 0. (10)
Проведемо асимптотичне дослідження можливих розв’язків цього рівняння: для випадку, коли довжина хвилі набагато більше ніж поперечний переріз оболонки то k  0 -маємо стержень:
                 (11)
Оболонка без постелі має стержневу швидкість, а з абсолютно жорсткою постіллю - пластинчату.
Для тонкої оболонки k  1, і з рівняння (10) одержуємо:
, . (12)
Проведений аналіз показав, що модель Пастернака більш адекватно описує взаємодію пружного навколишнього середовища з оболонкою ніж модель Вінклера.
У третьому розділі розглядаються чисельні алгоритми розв'язування нестаціонарних динамічних задач теорії підкріплених оболонок на пружній основі. Чисельний алгоритм розв'язування нестаціонарних задач теорії підкріплених оболонок базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу побудови скінченно – різницевих схем по просторовій координаті та явній скінченно – різницевій схемі типу „хрест” по часовій координаті. В силу вихідної постановки задач (врахування дискретності розміщення ребер) шукається чисельний розв’язок в гладкій області – рівняння (4) та на лініях розташування ребер – рівняння (5).
Вихідна група рівнянь, що описує динамічну поведінку неоднорідної оболонкової структури на пружній основі представляє собою дві системи рівнянь. Одна з них – це рівняння коливань підкріплених оболонок обертання (рівняння коливань гладкої оболонки на пружній основі – рівняння (4) та рівняння коливань ребер – співвідношення (5)), друга – співвідношення узагальненого закону Гука для кожного з вказаних елементів. Перехід від неперервної системи рівнянь до скінченно – різницевих виконується в два етапи. Перший етап полягає в скінченно – різницевій апроксимації дивергентних рівнянь коливань в зусиллях – моментах, що базується на застосуванні інтегро – інтерполяційного методу апроксимації рівнянь коливань оболонки та ребер. Другий етап апроксимації рівнянь полягає у виборі енергетично погоджених скінчено – різницевих апроксимацій величин зусиль – моментів і відповідних величин деформацій, щоб виконувався закон збереження повної механічної енергії на різницевому рівні.
Виходячи з того, що явні скінченно – різницеві схеми є умовно стійкими, для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі проведено дослідження стійкості відповідних різницевих рівнянь і отримано необхідну умову стійкості скінченно – різницевих рівнянь , де  – максимальна частота вільних коливань дискретного елементу.
Для розв’язку зв’язаних задач – рівняння (6) – (8), побудовані чисельні алгоритми, які базуються на застосуванні скінченно – різницевих схем Мак – Кормака. У випадку задачі взаємодії циліндричної оболонки з ґрунтовим середовищем різницеві схеми Мак – Кормака (13)-(16).
У четвертому розділі розроблена та апробована методика розрахунку динаміки оболонок обертання на пружній основі дала можливість дослідити динаміку дискретно підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі. Дана геометрично нелінійна постановка задач динаміки підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі з врахуванням дискретного розміщення ребер. Аналіз чисельних розрахунків дискретно підкріплених циліндричних оболонок на основі Вінклера та сферичних оболонок на основі Пастернака показує, що різниця між максимальними значеннями прогинів  та напружень  за рахунок пружного середовища може сягати 20 – 30%.
Наведена постановка задач для циліндричних оболонок на пружній основі Вінклера та зв’язаних задач – циліндрична оболонка в нелінійному ґрунтовому середовищі при внутрішньому осесиметричному імпульсному навантаженні. Використовуючи алгоритми, розроблені в Розділі 3, отримані чисельні розв’язки поставлених задач. Виходячи з аналізу структури рівнянь циліндричних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі і, спираючись на їх подібність запропонована оцінка коефіцієнта ґрунтової основи Вінклера за допомогою формули , де величини  і  визначаються з розв'язку зв’язаної задачі;  - час досягнення . Порівняльний аналіз розв’язків подібних задач показав працездатність запропонованої формули.
Детально визначено вплив складу трьохкомпонентного середовища на характер розповсюдження хвильових процесів в ґрунтовому середовищі і динамічної поведінки циліндричних оболонок при імпульсному навантаженні. Звертає увагу на себе той факт, що незначне збільшення повітряної складової значно впливає на частоти, швидкість і затухання амплітуд динамічних процесів.
Подібні дослідження проведено для сферичної оболонки на пружній основі Вінклера і зв’язаної задачі нелінійне ґрунтове середовище – сферична оболонка. Подібність структури рівнянь сферичних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі також дозволили провести оцінку коефіцієнта С пружної основи Вінклера за допомогою формули наведеної вище. З проведених розрахунків слідує, що вплив пружної основи на напружено деформований стан оболонки починає проявлятися після часу досягнення напруженнями  свого максимального значення.
Чисельні розрахунки проводилися для випадку підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі згідно моделі Вінклера при внутрішньому нормальному імпульсному навантаженні. Покладалося, що краї оболонки жорстко защемлені. Початкові умови нульові.
Осесиметричні коливання підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі розглядалися при наступних геометричних та фізико – механічних параметрах:
L/h = 80; R/h = 10; E = 7.10¹⁰ Па; = 0,3;  = 2700 кг/м³; A = 10⁶Па; C = 4,6.10¹⁰Н/м³.
Нормальне імпульсне навантаження задавалося у вигляді
,
де  – амплітуда навантаження,  – тривалість навантаження. В розрахунках покладалося
. Підкріплюючі ребра розташовані на лініях. Коефіцієнт Вінклера  визначався згідно запропонованої методики при розв'язку зв’язаної задачі циліндрична оболонка – ґрунтове середовище. Водонасичений грунт розглядався з параметрами
 (газова складова);  (рідинна складова);  (тверда складова).
На рис.1 та рис.2 приведено залежності величин прогину  та напруження  в залежності від просторової координати  в момент часу . Криві з індексом 1 відповідають випадку врахування основи Вінклера, криві з індексом 2 – без врахування основи. Різниця по максимальним значенням величин  та  сягає порядку 50%. Чітко проявляються лінії знаходження ребер.
Розглядалася аналогічна задача динаміки підкріпленої циліндричної оболонки на пружній основі Вінклера з коефіцієнтом  Н/м³ при внутрішньому імпульсному навантаженні. Ребра розташовані на лініях. Коефіцієнт Вінклера  вибирався згідно вище вказаної методики розв’язування зв’язаних задач циліндрична оболонка – грунтове середовище. Водонасичений грунт розглядався з параметрами  (газова складова);  (рідинна складова);  (тверда складова). На рис.3 та рис 4. приведено залежності величин  та  в залежності від просторової координати  в моменти часу  (крива 1) та  (крива 2). На рисунках чітко проявляються лінії розташування підкріплюючих ребер.
Розглядалася задача про вимушені осесиметричні коливання підкріпленої сферичної оболонки в рамках моделі Пастернака (двохпараметрична модель пружної основи). Розглядався сферичний сегмент в області . Приймалися умови жорсткого закріплення по краям. Початкові умови нульові. Коефіцієнти моделі  і  при розрахунках вибирались з відомих літературних джерел. Покладалося, що сферичний сегмент підкріплено чотирма ребрами. Задача розв’язувалася при наступних геометричних та фізико – механічних параметрах:
Нормальне імпульсне навантаження задавалось у вигляді
,
де  – амплітуда навантаження,  – тривалість навантаження. В розрахунках покладалося
.
На рис.5 та рис. 6 приведено залежності величин  та  від просторової координати. На рис.5 крива 1 відповідає часу , крива 2 – . На рис.6 крива 1 відповідає часу , крива 2 – . Як і в попередніх задачах, чітко проявляються лінії розташування ребер –.
На рис.7 та рис.8 наведено залежності величин  та  в перерізі  від часової координати . Крива 1 відповідає результатам динамічної поведінки підкріпленої оболонки по моделі Пастернака, крива 2 – без врахування пружної основи. Як бачимо з графічного матеріалу, різниця між результатами проявляється по часу починаючи з часу .
Для порівняння результатів розрахунків розглядалася гладка сферична оболонка на пружній основі Пастернака. Розглядалася аналогічна задача динамічної поведінки сферичного сегменту на пружній основі при імпульсному навантаженні. На рис.9 приведено результати розрахунків для величин  в залежності від часу  в перерізі . Як видно з приведеного графічного матеріалу, різниця між результатами розрахунків починає проявлятися по часу з .
Також, в четвертому розділі показано, що достовірність одержаних в роботі результатів визначається коректністю постановок задач; теоретичним обґрунтуванням скінчено – різницевих схем, які використовуються; контрольованою точністю та практичною збіжністю чисельних розрахунків; проведенням тестових розрахунків і порівнянням їх результатів з відомими в літературі; відповідністю встановлених закономірностей загальним властивостям коливань тонкостінних елементів конструкцій.
У висновках коротко сформульовано основні результати дисертаційної роботі.

ВИСНОВКИ
На основі розробленої методики розв’язано актуальну науково-технічну задачу про осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях. У результаті проведених у дисертаційній роботі досліджень отримані нові дані про вплив одно- та двопараметричної основи на характер коливань ребристих циліндричних та сферичних оболонок.
Основні наукові й практичні результати полягають у наступному:
1. Виведені уточнені рівняння осесиметричних та неосесиметричних коливань підкріплених оболонок обертання з врахуванням зовнішнього середовища. Покладалося, що напружено–деформований стан неоднорідної пружної структури може бути визначений в рамках геометрично нелінійної теорії оболонок і стержнів типу Тимошенка. Для виводу рівнянь коливань неоднорідної структури використовувався варіаційний принцип стаціонарності Гамільтона –Остроградського.
2. Вперше розв’язана задача про розповсюдження гармонійних хвиль в конструктивно-ортотропній циліндричній оболонці на двохпараметричній основі. З допомогою асимптотичного аналізу показано перевагу постелі Пастернака в порівнянні з постіллю Вінклера.
3. Наведена постановка задач про взаємодію циліндричних та сферичних оболонок з ґрунтовим середовищем в рамках нелінійної рідкої трьохкомпонентної моделі ґрунтів.
4. Розроблені чисельні алгоритми розв’язування динамічних задач неоднорідних оболонкових структур на пружній основі Для дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі скінчено – різницеві схеми отримано з використанням інтегро – інтерполяційного методу побудови різницевих схем. Для них отримано необхідну умову стійкості різницевих схем у замкнутому вигляді. Для рівнянь руху і граничних умов ґрунтового середовища при взаємодії з циліндричними та сферичними оболонками відповідно побудовано скінчено – різницеві схеми Мак – Кормака.
5. Розроблено новий підхід для оцінку коефіцієнта пружної основи Вінклера за допомогою зв’язаної задачі нелінійне ґрунтове середовище – оболонка. Подібність структури рівнянь циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі та в ґрунтовому середовищі дозволили провести вказану оцінку в залежності від складу трьохкомпонентного ґрунту.
6. Розроблена та апробована методика розрахунку динаміки оболонок обертання в геометрично нелінійній постановці на пружній основі дала можливість розв’язати нові складні задачі і дослідити динаміку дискретно підкріплених циліндричних та сферичних оболонок на пружній основі. Аналіз чисельних розрахунків осесиметричних коливань дискретно підкріплених циліндричних оболонок на основі Вінклера та сферичних оболонок на основі Пастернака при імпульсних навантаженнях показує, що різниця між максимальними значеннями прогинів  та напружень  за рахунок пружного середовища може сягати 20 – 30%.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1.     Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. К решению динамических задач теории подкрепленных цилиндрических оболочек на упругом основании типа Винклера при импульсных нагрузках // Системні технології. Вип.: Математичні проблеми технічної механіки. -№4(45), 2006. – С.3-7.
2.     Луговой П.З., Мейш В.Ф., Головко К.Г. Волновые процессы в подкрепленных цилиндрических оболочках на упругом основании при импульсных нагрузках // Вісник НТУУ „КПІ”. Серія „Гірництво”: Зб. Наук. праць. – К.: НТУУ „КПІ”. -2006. –Вип.14. – С. 31 -37.
3.     Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Динамическое поведение сферических оболочек на упругом основании типа при импульсных нагрузках // Системні технології. Вип.: Математичні проблеми технічної механіки. -№4(51), 2007. – С.9 -13.
4.     Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. О решении осесимметричных задач динамики цилиндрических оболочек на упругом основании // Прикладная механика. – 2007. - 43,№ 12. – С. 85-94.
5.     Луговий П.З., Подільчук І.Ю., Головко К.Г. Про вплив пружної основи на поширення гармонічних хвиль в ортотропній циліндричній оболонці // Математичні методи та фізико – механічні поля. – 2007. – 50, №1. – С.98 -106.
6.     Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Вынужденные колебания подкрепленных цилиндрических оболочек с учетом влияния внешней среды //Математичні проблеми технічної механіки – 2006. Міжнародна наукова конференція. Матеріали конференції. – Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ. – 2006. – С.154.
7.     Головко К.Г., Луговой П.З., Мейш В.Ф. Математическое моделирование волновых процессов в системе цилиндрическая оболочка – водонасыщенный грунт // Прикладні проблеми аерогідромеханіки та тепло переносу. Матеріали регіональної наукової конференції. – Дніпропетровськ, 2006. Дніпропетровський національний університет, 2006. – С.45.
8.     Головко К.Г. К решению динамических задач теории сферических оболочек на упругом основании при импульсных нагрузках //Математичні проблеми технічної механіки – 2007. Міжнародна наукова конференція. Матеріали конференції. – Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ. – 2007. – С.105.

АНОТАЦІЯ
Головко К.Г. Осесиметричні коливання дискретно підкріплених оболонкових елементів конструкцій на пружній основі при імпульсних навантаженнях. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за фахом 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, Київ, 2008.
Дисертація присвячена розв’язуванню задач динаміки дискретно підкріплених оболонок обертання на пружній основі при імпульсних навантаженнях.
В дисертаційній роботі проведена розробка і реалізація чисельного підходу для аналізу динамічної поведінки дискретно підкріплених оболонок обертання, які контактують з зовнішнім середовищем, при нестаціонарних навантаженнях. Вивід рівнянь коливань дискретно підкріплених оболонок обертання на базі теорії С.П.Тимошенка в геометрично нелінійній постановці виконаний з допомогою варіаційного принципу Гамільтоа-Остроградського з врахуванням дії пружної основи. Для лінійного варіанту конструктивно-ортотропної моделі підкріпленої циліндричної оболонки на двохпараметричній пружній основі отримано аналітичний розв'язок про розповсюдження гармонійних хвиль. Чисельний розв'язок зв'язаних задач про взаємодію циліндричних і сферичних оболонок з нелінійним трьохкомпонентним грунтом, виконаний методом Мак-Кормака, використовується для оцінки параметрів пружної основи. З допомогою розроблених чисельних алгоритмів на базі інтегро-інтерполяційного методу розв'язані задачі осесиметричних коливань дискретно підкріплених циліндричних і сферичних оболонок на одно- і двохпараметричній пружній основі. Проведений аналіз впливу властивостей оточуючого пружного середовища і дискретності розташування підкріплюючих ребер на механічні ефекти в неоднорідних оболонкових елементах конструкцій.
Ключові слова: оболонка, ребриста оболонка, пружна основа, коливання, чисельні методи, трьохкомпонентний грунт.

АННОТАЦИЯ
Головко К.Г. Осесимметричные колебания дискретно подкрепленных оболочечных элементов конструкций на упругом основании при импульсных нагрузках. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформированного твердого тела – Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 2008.
Диссертация посвящена решению задач динамики дискретно подкрепленных оболочек вращения на упругом основании при импульсных нагрузках.
В диссертационной работе проведена разработка и реализация численного подхода для анализа динамического поведения дискретно подкрепленных оболочек вращения, которые контактируют с внешней средой, при нестационарных нагрузках. Вывод уравнений колебаний дискретно подкрепленных оболочек вращения на базе теории С.П.Тимошенко в геометрически нелинейной постановке проведен с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского с учетом действия упругого основания. Для линейного варианта костуктивно- ортотропной модели подкрепленной цилиндрической оболочки на двохпараметрическом упругом основании получено аналитическое решение о распространении гармонических волн. Численное решение связанных задач о взаимодействии цилиндрических и сферических оболочек с нелинейным трьохкомпонентным грунтом, проведенное методом Мак-Кормака, используется для оценки параметров упругого основания. С помощью разработанных численных алгоритмов на базе итегро-интерполяционного метода решены задачи осесимметричных колебаний дискретно подкрепленных цилиндрических и сферических оболочек на одно- и двохпараметрическом упругом основании. Проведен анализ влияния свойств окружающей упругой среды и дискретности расположения подкрепляющих ребер на механические эффекты в неоднородных оболочечных элементах конструкций.
Ключевые слова: оболочка, ребристая оболочка, упругое основание, колебания, численные методы, трьохкомпонентный грунт.

ABSTRACT
Golovko K.G. Axially symmetric vsbrations of discretely reinforced shell elements of structures on elastic foundation under pulsed loads. Manuscript.
Thesis for a Candidate’s Degree in Technical sciences on speciality 01.02.04 – mechanic of deformable solids. – S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 2008.
The dissertation is dedicated to solving the dynamic problems for discretely reinforsed axially symmetric shells on elastic foundation under action of pulsed forsces.
In dissertation the elaboration and realization of numerical approach to analysis of dynamic behavior of discretely reinforced shells with arial symmetry are performed. It is supposed thet the shell contacts with external medium under nonstationary loads. The equations of the shell dynamics are deduced on the basis of the S.P.Timoshenko theory in the geometrically non-linear statement with the help of the Hamilton-Ostrogradsky principle with account made for the elastic foundation action. Analytic Solution of the problem about harmonic wave propagation is obtained for the linear version of the structurally orthotropic model of the reinforsed cylindrical shell on two-parametric elastic foundation. Numerical solution of the joint problems about interaction of cylindrical and spherical shells with non-linear three-component soil obtained by the Mac-Kormic method is used for the evaluation of the elastic foundation parameters. The problems about axially symmetric vibrations of discretely reinforsed cylindrical and spherical shells on one – and two-parametric elastic foundation are solved on the on the basis of integro-differential method with the us of elaborated numerical algorithms. The analysis of influence of the ambient elastic medium property and the reinforcing ribs arrangement on the mechanical effects in the heterogeneous shell structure elements is performed.
Keywords: shell, reinforced shell, elastic foundation, vibrations, numerical methods, three-component soil.