Реферат Многомерный статистический анализ
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
РЕФЕРАТ
По эконометрике
Многомерный статистический анализ
В многомерном статистическом анализе выборка состоит из элементов многомерного пространства. Отсюда и название этого раздела эконометрических методов. Из многих задач многомерного статистического анализа рассмотрим две - восстановления зависимости и классификации.
Оценивание линейной прогностической функции
Начнем с задачи точечного и доверительного оценивания линейной прогностической функции одной переменной.
Исходные данные – набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индекс инфляции, курс доллара США, объем месячного производства или размер дневной выручки торговой точки). Предполагается, что переменные связаны зависимостью
xk = a (tk - tср)+ b + ek , k = 1,2,…,n,
где a и b – параметры, неизвестные статистику и подлежащие оцениванию, а ek – погрешности, искажающие зависимость. Среднее арифметическое моментов времени
tср = (t1 + t2 +…+tn ) / n
введено в модель для облегчения дальнейших выкладок.
Обычно оценивают параметры a и b линейной зависимости методом наименьших квадратов. Затем восстановленную зависимость используют для точечного и интервального прогнозирования.
Как известно, метод наименьших квадратов был разработан великим немецким математиком К. Гауссом в 1794 г. Согласно этому методу для расчета наилучшей функции, приближающей линейным образом зависимость x от t, следует рассмотреть функцию двух переменных
Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения a* и b*, при которых функция f(a,b) достигает минимума по всем значениям аргументов.
Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b) по аргументам a и b, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найти оценки: Имеем:
Преобразуем правые части полученных соотношений. Вынесем за знак суммы общие множители 2 и (-1). Затем рассмотрим слагаемые. Раскроем скобки в первом выражении, получим, что каждое слагаемое разбивается на три. Во втором выражении также каждое слагаемое есть сумма трех. Значит, каждая из сумм разбивается на три суммы. Имеем:
Приравняем частные производные 0. Тогда в полученных уравнениях можно сократить множитель (-2). Поскольку
уравнения приобретают вид
Следовательно, оценки метода наименьших квадратов имеют вид
В силу соотношения (1) оценку а* можно записать в более симметричном виде:
Эту оценку нетрудно преобразовать и к виду
Следовательно, восстановленная функция, с помощью которой можно прогнозировать и интерполировать, имеет вид
x*(t) = a*(t - tср)+ b*.
Обратим внимание на то, что использование tср в последней формуле ничуть не ограничивает ее общность. Сравним с моделью вида
xk = c tk+ d + ek , k = 1,2,…,n.
Ясно, что
Аналогичным образом связаны оценки параметров:
Для получения оценок параметров и прогностической формулы нет необходимости обращаться к какой-либо вероятностной модели. Однако для того, чтобы изучать погрешности оценок параметров и восстановленной функции, т.е. строить доверительные интервалы для a*, b* и x*(t), подобная модель необходима.
Непараметрическая вероятностная модель. Пусть значения независимой переменной t детерминированы, а погрешности ek , k = 1,2,…,n, - независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией
В дальнейшем неоднократно будем использовать Центральную Предельную Теорему (ЦПТ) теории вероятностей для величин ek , k = 1,2,…,n (с весами), поэтому для выполнения ее условий необходимо предположить, например, что погрешности ek , k = 1,2,…,n, финитны или имеют конечный третий абсолютный момент. Однако заострять внимание на этих внутриматематических "условиях регулярности" нет необходимости.
Асимптотические распределения оценок параметров. Из формулы (2) следует, что
Согласно ЦПТ оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией
Из формул (2) и (5) вытекает, что
Последнее слагаемое во втором соотношении при суммировании по i обращается в 0, поэтому из формул (2-4) следует, что
Формула (6) показывает, что оценка
Отметим, что многомерная нормальность имеет быть, когда каждое слагаемое в формуле (6) мало сравнительно со всей суммой, т.е.
Из формул (5) и (6) и исходных предположений о погрешностях вытекает также несмещенность оценок параметров.
Несмещенность и асимптотическая нормальность оценок метода наименьших квадратов позволяют легко указывать для них асимптотические доверительные границы (аналогично границам в предыдущей главе) и проверять статистические гипотезы, например, о равенстве определенным значениям, прежде всего 0. Предоставляем читателю возможность выписать формулы для расчета доверительных границ и сформулировать правила проверки упомянутых гипотез.
Асимптотическое распределение прогностической функции. Из формул (5) и (6) следует, что
т.е. рассматриваемая оценка прогностической функции является несмещенной. Поэтому
При этом, поскольку погрешности независимы в совокупности и
Таким образом,
Итак, оценка
Оценивание остаточной дисперсии. В точках tk , k = 1,2,…,n, имеются исходные значения зависимой переменной xk и восстановленные значения x*(tk). Рассмотрим остаточную сумму квадратов
В соответствии с формулами (5) и (6)
Найдем математическое ожидание каждого из слагаемых:
Из сделанных ранее предположений вытекает, что при
Получением состоятельной оценкой остаточной дисперсии завершается последовательность задач, связанных с рассматриваемым простейшим вариантом метода наименьших квадратов. Не представляет труда выписывание верхней и нижней границ для прогностической функции:
где погрешность
Здесь p - доверительная вероятность, U(p), как и в главе 4 - квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, т.е.
При p= 0,95 (наиболее применяемое значение) имеем U(p) = 1,96. Для других доверительных вероятностей соответствующие значения квантилей можно найти в статистических таблицах (см., например, наилучшее в этой сфере издание [1]).
Сравнение параметрического и непараметрического подходов. Во многих литературных источниках рассматривается параметрическая вероятностная модель метода наименьших квадратов. В ней предполагается, что погрешности имеют нормальное распределение. Это предположение позволяет математически строго получить ряд выводов. Так, распределения статистик вычисляются точно, а не в асимптотике, соответственно вместо квантилей нормального распределения используются квантили распределения Стьюдента, а остаточная сумма квадратов SS делится не на n, а на (n-2). Ясно, что при росте объема данных различия стираются.
Рассмотренный выше непараметрический подход не использует нереалистическое предположение о нормальности погрешностей (см. начало главы 4).. Платой за это является асимптотический характер результатов. В случае простейшей модели метода наименьших квадратов оба подхода дают практически совпадающие рекомендации. Это не всегда так, не всегда два подхода бают близкие результаты. Напомним, что в задаче обнаружения выбросов методы, опирающиеся на нормальное распределение, нельзя считать обоснованными, и обнаружено это было с помощью непараметрического подхода (см. главу 4).
Общие принципы. Кратко сформулируем несколько общих принципов построения, описания и использования эконометрических методов анализа данных. Во-первых, должны быть четко сформулированы исходные предпосылки, т.е. полностью описана используемая вероятностно-статистическая модель. Во-вторых, не следует принимать предпосылки, которые редко выполняются на практике. В-третьих, алгоритмы расчетов должны быть корректны с точки зрения математико-статистической теории. В-четвертых, алгоритмы должны давать полезные для практики выводы.
Применительно к задаче восстановления зависимостей это означает, что целесообразно применять непараметрический подход, что и сделано выше. Однако предположение нормальности, хотя и очень сильно сужает возможности применения, с чисто математической точки зрения позволяет продвинуться дальше. Поэтому для первоначального изучения ситуации, так сказать, "в лабораторных условиях", нормальная модель может оказаться полезной.
Пример оценивания по методу наименьших квадратов. Пусть даны n=6 пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,6, представленных во втором и третьем столбцах табл.1. В соответствии с формулами (2) и (4) выше для вычисления оценок метода наименьших квадратов достаточно найти суммы выражений, представленных в четвертом и пятом столбцах табл.1.
Табл.1. Расчет по методу наименьших квадратов при построении
линейной прогностической функции одной переменной
| i | ti | xi | | | | | | ( |
| 1 | 1 | 12 | 1 | 12 | 3,14 | 12,17 | -0,17 | 0,03 |
| 2 | 3 | 20 | 9 | 60 | 9,42 | 18,45 | 1,55 | 2,40 |
| 3 | 4 | 20 | 16 | 80 | 12,56 | 21,59 | -1,59 | 2,53 |
| 4 | 7 | 32 | 49 | 224 | 21,98 | 31,01 | 0,99 | 0,98 |
| 5 | 9 | 35 | 81 | 315 | 28,26 | 37,29 | -2,29 | 5,24 |
| 6 | 10 | 42 | 100 | 420 | 31,40 | 40,43 | 1,57 | 2,46 |
| | 34 | 161 | 256 | 1111 | | | 0,06 | 13,64 |
| | 5,67 | 26,83 | 42,67 | 185,17 | | | | |
В соответствии с формулой (2) b* =26,83, а согласно формуле (4)
Следовательно, прогностическая формула имеет вид
Следующий этап анализа данных - оценка точности приближения функции методом наименьших квадратов. Сначала рассматриваются т.н. восстановленные значения
Это те значения, которые полученная в результате расчетов прогностическая функция принимает в тех точках, в которых известны истинные значения зависимой переменной xi .
Вполне естественно сравнить восстановленные и истинные значения. Это и сделано в шестом - восьмом столбцах табл. 1. Для простоты расчетов в шестом столбце представлены произведения
Непосредственный анализ восьмого столбца табл.1 показывает, что содержащиеся в нем числа сравнительно невелики по величине по сравнению с третьим столбцом (на порядок меньше по величине). Кроме того, знаки "+" и "-" чередуются. Эти два признака свидетельствуют о правильности расчетов. При использовании метода наименьших квадратов знаки не всегда чередуются. Однако если сначала идут только плюсы, а потом только минусы (или наоборот, сначала только минусы, а потом только плюсы), то это верный показатель того, что в вычислениях допущена ошибка.
Верно следующее утверждение.
Теорема.
Доказательство этой теоремы оставляем читателю в качестве упражнения.
Однако сумма по восьмому столбцу дает 0,06, а не 0. Незначительное отличие от 0 связано с ошибками округления при вычислениях. Близость суммы значений зависимой переменной и суммы восстановленных значений - практический критерий правильности расчетов.
В последнем девятом столбце табл.1 приведены квадраты значений из восьмого столбца. Их сумма - это остаточная сумма квадратов SS = 13,64. В соответствии со сказанным выше оценками дисперсии погрешностей и их среднего квадратического отклонения являются
Рассмотрим распределения оценок параметров. Оценка b* имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием b и дисперсией, которая оценивается как 2,27/6=0,38 (здесь считаем, что 6 - "достаточно большое" число, что, конечно, можно оспаривать). Оценкой среднего квадратического отклонения является 0,615. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра b имеет вид (26,83 - 1,96.0,615; 26,83 + 1,96.0,615) = (25,625; 28,035).
В формулах для дисперсий участвует величина
Подставив численные значения, получаем, что
Дисперсия для оценки а* коэффициента при линейном члене прогностической функции оценивается как 2,27/63,1=0,036, а среднее квадратическое отклонение - как 0,19. Следовательно, при доверительной вероятности 0,95 доверительный интервал для параметра а имеет вид (3,14 - 1,96.0,19; 3,14 + 1,96,0,19) = (2,77; 3,51).
Прогностическая формула с учетом погрешности имеет вид (при доверительной вероятности 0,95)
В этой записи сохранено происхождение различных составляющих. Упростим:
Например, при t = 12 эта формула дает
Следовательно, нижняя доверительная граница - это 44,095, а верхняя доверительная граница - это 49,325.
Насколько далеко можно прогнозировать? Обычный ответ таков - до тех пор, пока сохраняется тот стабильный комплекс условий, при котором справедлива рассматриваемая зависимость. Изобретатель метода наименьших квадратов Карл Гаусс исходил из задачи восстановления орбиты астероида (малой планеты) Церера. Движение подобных небесных тел может быть рассчитано на сотни лет. А вот параметры комет (например, срок возвращения) не поддаются столь точному расчету, поскольку за время пребывания в окрестности Солнца сильно меняется масса кометы. В социально-экономической области горизонты надежного прогнозирования еще менее определены. В частности, они сильно зависят от решений центральной власти.
Чтобы выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход
Таким образом, погрешности составляют около
от тренда (математического ожидания) прогностической функции. В социально-экономических исследованиях подобные погрешности считаются вполне приемлемыми.
В предыдущем пункте метод наименьших квадратов описан в простейшем случае. Он допускает различные обобщения. Например, метод наименьших квадратов дает алгоритм расчетов в случае, если исходные данные – по-прежнему набор n пар чисел (tk , xk), k = 1,2,…,n, где tk – независимая переменная (например, время), а xk – зависимая (например, индекс инфляции - см. главу 7), а восстанавливать надо не линейную зависимость, а квадратическую:
Следует рассмотреть функцию трех переменных
Оценки метода наименьших квадратов - это такие значения параметров a*, b* и с*, при которых функция f(a,b,с) достигает минимума по всем значениям аргументов. Чтобы найти эти оценки, надо вычислить частные производные от функции f(a,b,с) по аргументам a, b и с, приравнять их 0, затем из полученных уравнений найти оценки: Имеем:
Приравнивая частную производную к 0, получаем линейное уравнение относительно трех неизвестных параметров a,b,c:
Приравнивая частную производную по параметру b к 0, аналогичным образом получаем уравнение
Наконец, приравнивая частную производную по параметру с к 0, получаем уравнение
Решая систему трех уравнений с тремя неизвестными, находим оценки метода наименьших квадратов.
Другие задачи, рассмотренные в предыдущем пункте (доверительные границы для параметров и прогностической функции и др.), также могут быть решены. Соответствующие алгоритмы более громоздки. Для их записи полезен аппарат матричной алгебры (см., например, одну из лучших в этой области монографий [2]). Для реальных расчетов используют соответствующие компьютерные программы.
Раздел многомерного статистического анализа, посвященный восстановлению зависимостей, называется регрессионным анализом. Термин "линейный регрессионный анализ" используют, когда рассматриваемая функция линейно зависит от оцениваемых параметров (от независимых переменных зависимость может быть произвольной). Теория оценивания неизвестных параметров хорошо развита именно в случае линейного регрессионного анализа. Если же линейности нет и нельзя перейти к линейной задаче, то, как правило, хороших свойств от оценок ожидать не приходится.
Продемонстрируем подходы в случае зависимостей различного вида. Если зависимость имеет вид многочлена (полинома)
то коэффициенты многочлена могут быть найдены путем минимизации функции
Функция от t не обязательно должна быть многочленом. Можно, например, добавить периодическую составляющую, соответствующую сезонным колебаниям. Хорошо известно, например, что инфляция (рост потребительских цен) имеет четко выраженный годовой цикл - в среднем цены быстрее всего растут зимой, в декабре - январе, а медленнее всего (иногда в среднем даже падают) летом, в июле - августе. Пусть для определенности
тогда неизвестные параметры могут быть найдены путем минимизации функции
Пусть I(t) -индекс инфляции в момент t. Принцип стабильности условий приводит к гипотезе о постоянстве темпов роста средних цен, т.е. индекса инфляции. Таким образом, естественная модель для индекса инфляции – это
Эта модель не является линейной, метод наименьших квадратов непосредственно применять нельзя. Однако если прологарифмировать обе части предыдущего равенства:
то получим линейную зависимость, рассмотренную в первом пункте настоящей главы.
Независимых переменных может быть не одна, а несколько. Пусть, например, по исходным данным
где
Зависимость от х и у не обязательно должна быть линейной. Предположим, что из каких-то соображений известно, что зависимость должна иметь вид
тогда для оценки пяти параметров необходимо минимизировать функцию
Более подробно рассмотрим пример из микроэкономики. В одной из оптимизационных моделей поведения фирмы используется т.н. производственная функция f(K,L), задающая объем выпуска в зависимости от затрат капитала K и труда L. В качестве конкретного вида производственной функции часто используется так называемая функция Кобба-Дугласа
Однако откуда взять значения параметров
Следовательно, целесообразно сделать замену переменных
а затем находить оценки параметров
Найдем частные производные:
Приравняем частные производные к 0, сократим на 2, раскроем скобки, перенесем свободные члены вправо. Получим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Таким образом, для вычисления оценок метода наименьших квадратов необходимо найти пять сумм
Для упорядочения расчета этих сумм может быть использована таблица типа той, что применялась в первом пункте настоящей главы. Отметим, что рассмотренная там постановка переходит в разбираемую сейчас при
Подходящая замена переменных во многих случаях позволяет перейти к линейной зависимости. Например, если
то замена z=1/y приводит к линейной зависимости z = a + bx. Если y=(a+bx)2, то замена
Основной показатель качества регрессионной модели. Одни и те же данные можно обрабатывать различными способами. Показателем отклонений данных от модели служит остаточная сумма квадратов SS. Чем этот показатель меньше, тем приближение лучше, значит, и модель лучше описывает реальные данные. Однако это рассуждение годится только для моделей с одинаковым числом параметров. Ведь если добавляется новый параметр, по которому можно минимизировать, то и минимум, как правило, оказывается меньше.
В качестве основного показателя качества регрессионной модели используют оценку остаточной дисперсии
скорректированную на число m параметров, оцениваемых по наблюдаемым данным. В случае линейной прогностической модели, рассмотренной в первом пункте настоящей главы, оценка остаточной дисперсии имеет вид
поскольку число оцениваемых параметров m=2.
Почему эта формула отличается от приведенной в первом пункте? Там в знаменателе n, а здесь - (n-2). Дело в том, что в первом пункте рассмотрена непараметрическая теория при большом объеме данных (при
А вот при подборе вида модели знаменатель дроби, оценивающей остаточную дисперсию, приходится корректировать на число параметров. Если этого не делать, то придется заключить, что многочлен второй степени лучше соответствует данным, чем линейная функция, многочлен третьей степени лучше приближает исходные данные, чем многочлен второй степени, и т.д. В конце концов доходим до многочлена степени (n-1) с n коэффициентами, который проходит через все заданные точки. Но его прогностические возможности, скорее всего, существенно меньше, чем у линейной функции. Излишнее усложнение эконометрических моделей вредно.
Типовое поведение скорректированной оценки остаточной дисперсии
в зависимости от параметра m в случае расширяющейся системы эконометрических моделей выглядит так. Сначала наблюдаем заметное убывание. Затем оценка остаточной дисперсии колеблется около некоторой константы (теоретического значения дисперсии погрешности).
Поясним ситуацию на примере эконометрической модели в виде многочлена
Пусть эта модель справедлива при
Следовательно, скорректированная оценка остаточной дисперсии будет колебаться около указанного предела. Поэтому в качестве оценки неизвестной эконометрику степени многочлена (полинома) можно использовать первый локальный минимум скорректированной оценки остаточной дисперсии, т.е.
В работе [3] найдено предельное распределение этой оценки степени многочлена.
Теорема. При справедливости некоторых условий регулярности
где
Таким образом, предельное распределение оценки m* степени многочлена (полинома) является геометрическим. Это означает, в частности, что оценка не является состоятельной. При этом вероятность получить меньшее значение, чем истинное, исчезающе мала. Далее имеем:
Разработаны и иные методы оценивания неизвестной степени многочлена, например, с помощью многократного применения процедуры проверки адекватности регрессионной зависимости с помощью статистики Фишера (см. работу [3]). Предельное поведение оценок - таково же, как в приведенной выше теореме, только значение параметра
Линейный и непараметрические парные коэффициенты корреляции. Термин "корреляция" означает "связь". В эконометрике этот термин обычно используется в сочетании "коэффициенты корреляции".
Рассмотрим способы измерения связи между двумя случайными переменными. Пусть исходными данными является набор случайных векторов
Если rn = 1, то
Коэффициенты корреляции типа rn используются во многих алгоритмах многомерного статистического анализа эконометрических данных. В теоретических рассмотрениях часто считают, что случайный вектор имеет многомерное нормальное распределение. Распределения реальных данных, как правило, отличны от нормальных (см. главу 4). Почему же распространено представление о многомерном нормальном распределении? Дело в том, что теория в этом случае проще. В частности, равенство 0 теоретического коэффициента корреляции (см. приложение 1) эквивалентно независимости случайных величин. Поэтому проверка независимости сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве 0 теоретического коэффициента корреляции. Эта гипотеза принимается, если
Если случайные вектора
(сходимость по вероятности).
Более того, выборочный коэффициент корреляции является асимптотически нормальным. Это означает, что
где
Здесь под
(см. приложение 1 в конце книги).
Для расчета непараметрического коэффициента ранговой корреляции Спирмена необходимо сделать следующее. Для каждого xi рассчитать его ранг ri в вариационном ряду, построенном по выборке
Табл.2. Данные для расчета коэффициентов корреляции
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| yi | 6 | 7 | 30 | 81 | 300 |
| ri | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| qi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Для данных табл.2 коэффициент линейной корреляции равен 0,83, непосредственной линейной связи нет. А вот коэффициент ранговой корреляции равен 1, поскольку увеличение одной переменной однозначно соответствует увеличению другой переменной. Во многих экономических задачах, например, при выборе инвестиционных проектов для осуществления, достаточно именно монотонной зависимости одной переменной от другой.
Поскольку суммы рангов и их квадратов нетрудно подсчитать, то коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен
Отметим, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена остается постоянным при любом строго возрастающем преобразовании шкалы измерения результатов наблюдений. Другими словами, он является адекватным в порядковой шкале (см. главу 3), как и другие ранговые статистики (см. статистики Вилкоксона, Смирнова, типа омега-квадрат для проверки однородности независимых выборок в главе 4 и общее обсуждение в главе 8).
Широко используется также коэффициент ранговой корреляции
Непараметрическая регрессия. Рассмотрим общее понятие регрессии как условного математического ожидания. Пусть случайный вектор
Условное математическое ожидание, т.е. регрессионная зависимость, имеет вид
Таким образом, для нахождения оценок регрессионной зависимости достаточно найти оценки совместной плотности распределения вероятности
при
при
Общий подход к построению непараметрических оценок плотности распределения вероятностей развит в главе 8 ниже.
Основные понятия теории классификации
При внедрении современных эконометрических и статистических методов в практику технико-экономических исследований, при разработке соответствующих программных продуктов невозможно обойтись без классификации этих методов. Естественно исходить из вида обрабатываемых данных. В соответствии с современными воззрениями делим эконометрику и прикладную статистику на четыре области:
- статистика случайных величин (одномерная статистика);
- многомерный статистический анализ;
- статистика временных рядов и случайных величин;
- статистика объектов нечисловой природы.
В первой области элемент выборки - число, во второй - вектор, в третьей - функция, в четвертой - объект нечисловой природы. Термин "объект нечисловой природы" относится к элементам математического пространства, не являющегося векторным (линейным). Их нельзя складывать, умножать на числа, в отличие от чисел, векторов и функций. Примерами являются бинарные отношения (упорядочения, разбиения на классы, толерантности); множества, нечеткие множества; результаты измерений в номинальной и порядковой шкалах (т.е. по качественным признакам), в частности булевы вектора; вектора разнотипных признаков; тексты и т.д. (подробнее см., например, главу 8).
В настоящем пункте рассматривается важное направление эконометрики и прикладной статистики – математические методы классификации. Основная их часть относится к статистике объектов нечисловой природы, а именно, методы классификации, основанные на расстояниях между объектами.
Основные направления в математической теории классификации. Какие научные исследования относить к этой теории? Исходя из потребностей специалиста, применяющего математические методы классификации, целесообразно принять, что сюда входят исследования, во-первых, отнесенные самими авторами к этой теории; во вторых, связанные с ней общностью тематики, хотя бы их авторы и не упоминали термин «классификация». Это предполагает ее сложную внутреннюю структуру.
В литературных источниках наряду с термином «классификация» в близких смыслах используются термины «группировка», «распознавание образов», «диагностика», «дискриминация», «сортировка» и др. Терминологический разнобой связан, прежде всего, с традициями научных кланов, к которым относятся авторы публикаций, а также с внутренним делением самой теории классификации.
В научных исследованиях по современной теории классификации можно выделить два относительно самостоятельных направления. Одно из них опирается на опыт таких наук, как биология, география, геология, и таких прикладных областей, как ведение классификаторов продукции и библиотечное дело. Типичные объекты рассмотрения - классификация химических элементов (таблица Д.И. Менделеева), биологическая систематика, универсальная десятичная классификация публикаций (УДК), классификатор товаров на основе штрих-кодов.
Другое направление опирается на опыт технических исследований, экономики, маркетинговых исследований, социологии, медицины. Типичные задачи - техническая и медицинская диагностика, а также, например, разбиение на группы отраслей промышленности, тесно связанных между собой, выделение групп однородной продукции. Обычно используются такие термины, как «распознавание образов» или «дискриминантный анализ». Это направление обычно опирается на математические модели; для проведения расчетов интенсивно используется ЭВМ. Однако относить его к математике столь же нецелесообразно, как астрономию или квантовую механику. Рассматриваемые математические модели можно и нужно изучать на формальном уровне, и такие исследования проводятся. Но направление в целом сконцентрировано на решении конкретных задач прикладных областей и вносит вклад в технические или экономические науки, медицину, социологию, но, как правило, не в математику. Использование математических методов как инструмента исследования нельзя относить к чистой математике.
В 60-х годах XX века внутри прикладной статистики достаточно четко оформилась область, посвященная методам классификации. Несколько модифицируя формулировки М. Дж. Кендалла и А. Стьюарта 1966 г. (см. русский перевод [7, с.437]), в теории классификации выделим три подобласти: дискриминация (дискриминантный анализ), кластеризация (кластер-анализ), группировка. Опишем эти подобласти.
В дискриминантном анализе классы предполагаются заданными - плотностями вероятностей или обучающими выборками. Задача состоит в том, чтобы вновь поступающий объект отнести в один из этих классов. У понятия «дискриминация» имеется много синонимов: диагностика, распознавание образов с учителем, автоматическая классификация с учителем, статистическая классификация и т.д.
При кластеризации и группировке целью является выявление и выделение классов. Синонимы: построение классификации, распознавание образов без учителя, автоматическая классификация без учителя, таксономия и др. Задача кластер-анализа состоит в выяснении по эмпирическим данным, насколько элементы "группируются" или распадаются на изолированные "скопления", "кластеры"(от cluster (англ.) - гроздь, скопление). Иными словами, задача - выявление естественного разбиения на классы, свободного от субъективизма исследователя, а цель - выделение групп однородных объектов, сходных между собой, при резком отличии этих групп друг от друга.
При группировке, наоборот, «мы хотим разбить элементы на группы независимо от того, естественны ли границы разбиения или нет» [7, с.437]. Цель по-прежнему состоит в выявлении групп однородных объектов, сходных между собой (как в кластер-анализе), однако «соседние» группы могут не иметь резких различий (в отличие от кластер-анализа). Границы между группами условны, не являются естественными, зависят от субъективизма исследователя. Аналогично при лесоустройстве проведение просек (границ участков) зависит от специалистов лесного ведомства, а не от свойств леса.
Задачи кластеризации и группировки принципиально различны, хотя для их решения могут применяться одни и те же алгоритмы. Важная для практической деятельности проблема состоит в том, чтобы понять, разрешима ли задача кластер-анализа для конкретных данных или возможна только их группировка, поскольку они достаточно однородны и не разбиваются на резко разделяющиеся между собой кластеры.
Как правило, в математических задачах кластеризации и группировки основное - выбор метрики, расстояния между объектами, меры близости, сходства, различия. Хорошо известно, что для любого заданного разбиения объектов на группы и любого e > 0 можно указать метрику такую, что расстояния между объектами из одной группы будут меньше e, а между объектами из разных групп - больше 1/e. Тогда любой разумный алгоритм кластеризации даст именно заданное разбиение.
Ситуация осложняется использованием одного и того же термина в разных смыслах. Термином "классификация" (и термином "диагностика") обозначают, по крайней мере, три разные вещи: процедуру построения классификации (и выделение классов, используемых при диагностике), построенную классификацию (систему выделенных классов) и процедуру ее использования (правила отнесения вновь поступающего объекта к одному из ранее выделенных классов). Другими словами, имеем естественную триаду: построение – изучение – использование классификации.
Как уже отмечалось, для построения системы диагностических классов используют разнообразные методы кластерного анализа и группировки объектов. Наименее известен второй член триады – изучение отношений эквивалентности, полученных в результате построения системы диагностических классов. Статистический анализ полученных, в частности экспертами, отношений эквивалентности - часть статистики бинарных отношений и тем самым - статистики объектов нечисловой природы. Помимо общих результатов этой области эконометрики и прикладной статистики, представляют интерес частные результаты, полученные специально для отношений эквивалентности (см. главу 8)).
Диагностика в узком смысле слова (процедура использования классификации, т.е. отнесения вновь поступающего объекта к одному из выделенных ранее классов) - предмет дискриминантного анализа. Отметим, что с точки зрения статистики объектов нечисловой природы дискриминантный анализ является частным случаем общей схемы регрессионного анализа, соответствующим ситуации, когда зависимая переменная принимает конечное число значений, а именно - номера классов, а вместо квадрата разности стоит функция потерь от неправильной классификации. Однако есть ряд специфических постановок, выделяющих задачи диагностики среди всех регрессионных задач.
О построении диагностических правил. Начнем с обсуждения одного распространенного заблуждения. Иногда рекомендуют сначала построить систему диагностических классов, а потом в каждом диагностическом классе отдельно проводить регрессионный анализ (в классическом смысле) или применять иные методы многомерного статистического анализа. Однако обычно забывают, что при этом нельзя опираться на вероятностную модель многомерного нормального распределения, так как распределение результатов наблюдений, попавших в определенный кластер, будет отнюдь не нормальным, а усеченным нормальным (усечение определяется границами кластера).
Процедуры построения диагностических правил делятся на вероятностные и детерминированные. К первым относятся так называемые задачи расщепления смесей. В них предполагается, что распределение вновь поступающего случайного элемента является смесью вероятностных законов, соответствующих диагностическим классам. Как и при выборе степени полинома в регрессии (см. предыдущий пункт настоящей главы), при анализе реальных социально-экономических данных встает вопрос об оценке числа элементов смеси, т.е. числа диагностических классов. Были изучены результаты применения обычно рекомендуемого критерия Уилкса для оценки числа элементов смеси. Оказалось (см. статью [8]), что оценка с помощью критерия Уилкса не является состоятельной, асимптотическое распределение этой оценки – геометрическое, как и в случае задачи восстановления зависимости в регрессионном анализе (см. выше). Итак, продемонстрирована несостоятельность обычно используемых оценок. Для получения состоятельных оценок достаточно связать уровень значимости в критерии Уилкса с объемом выборки, как это было предложено и для задач регрессии.
Как уже отмечалось, задачи построения системы диагностических классов целесообразно разбить на два типа: с четко разделенными кластерами (задачи кластер-анализа) и с условными границами, непрерывно переходящими друг в друга классами (задачи группировки). Такое деление полезно, хотя в обоих случаях могут применяться одинаковые алгоритмы. Сколько же существует алгоритмов построения системы диагностических правил? Иногда называют то или иное число. На самом же деле их бесконечно много, в чем нетрудно убедиться.
Действительно, рассмотрим один определенный алгоритм - алгоритм средней связи. Он основан на использовании некоторой меры близости d(x,y) между объектами x и у. Как он работает? На первом шаге каждый объект рассматривается как отдельный кластер. На каждом следующем шаге объединяются две ближайших кластера. Расстояние между объектами рассчитывается как средняя связь (отсюда и название алгоритма), т.е. как среднее арифметическое расстояний между парами объектов, один из которых входит в первый кластер, а другой - во второй. В конце концов все объекты объединяются вместе, и результат работы алгоритма представляет собой дерево последовательных объединений (в терминах теории графов), или "Дендрограмму". Из нее можно выделить кластеры разными способами. Один подход - исходя из заданного числа кластеров. Другой - из соображений предметной области. Третий - исходя из устойчивости (если разбиение долго не менялось при возрастании порога объединения - значит оно отражает реальность). И т.д.
К алгоритму средней связи естественно сразу добавить алгоритм ближайшего соседа (когда расстоянием между кластерами называется минимальное из расстояний между парами объектов, один из которых входит в первый кластер, а другой - во второй) и алгоритм дальнего соседа (когда расстоянием между кластерами называется максимальное из расстояний между парами объектов, один из которых входит в первый кластер, а другой - во второй).
Каждый из трех описанных алгоритмов (средней связи, ближайшего соседа, дальнего соседа), как легко проверить, порождает бесконечное (континуальное) семейство алгоритмов кластер-анализа. Дело в том, что величина d a(x,y), a>0, также является мерой близости между x и у и порождает новый алгоритм. Если параметр а пробегает отрезок, то получается бесконечно много алгоритмов классификации.
Каким из них пользоваться при обработке данных? Дело осложняется тем, что практически в любом пространстве данных мер близости различных видов существует весьма много. Именно в связи с обсуждаемой проблемой следует указать на принципиальное различие между кластер-анализом и задачами группировки.
Если классы реальны, естественны, существуют на самом деле, четко отделены друг от друга, то любой алгоритм кластер-анализа их выделит. Следовательно, в качестве критерия естественности классификации следует рассматривать устойчивость относительно выбора алгоритма кластер-анализа.
Проверить устойчивость можно, применив к данным несколько подходов, например, столь непохожие алгоритмы, как «ближнего соседа» и «дальнего соседа». Если полученные результаты содержательно близки, то они адекватны действительности. В противном случае следует предположить, что естественной классификации не существует, задача кластер-анализа не имеет решения, и можно проводить только группировку.
Как уже отмечалось, часто применяется т.н. агломеративный иерархический алгоритм "Дендрограмма", в котором вначале все элементы рассматриваются как отдельные кластеры, а затем на каждом шагу объединяются два наиболее близких кластера. Для работы «Дендрограммы» необходимо задать правило вычисления расстояния между кластерами. Оно вычисляется через расстояние d(x,у) между элементами х и у. Поскольку d a(x,y) при 0<a<1 также расстояние, то, как правило, существует бесконечно много различных вариантов этого алгоритма. Представим себе, что они применяются для обработки одних и тех же реальных данных. Если при всех а получается одинаковое разбиение элементов на кластеры, т.е. результат работы алгоритма устойчив по отношению к изменению а (в смысле общей схемы устойчивости, рассмотренной в главе 10 ниже), то имеем «естественную» классификацию. В противном случае результат зависит от субъективно выбранного исследователем параметра а, т.е. задача кластер-анализа неразрешима (предполагаем, что выбор а нельзя специально обосновать). Задача группировки в этой ситуации имеет много решений. Из них можно выбрать одно по дополнительным критериям.
Следовательно, получаем эвристический критерий: если решение задачи кластер-анализа существует, то оно находится с помощью любого алгоритма. Целесообразно использовать наиболее простой.
Проблема поиска естественной классификации. Существуют различные точки зрения на эту проблему. На Всесоюзной школе-семинаре «Использование математических методов в задачах классификации» (г. Пущино, 1986 г.), в частности, были высказаны мнения, что естественная классификация:
- закон природы;
- основана на глубоких закономерностях, тогда как искусственная классификация - на неглубоких;
- для конкретного индивида та, которая наиболее быстро вытекает из его тезауруса;
- удовлетворяет многим целям; цель искусственной классификации задает человек;
- классификация с точки зрения потребителя продукции;
- классификация, позволяющая делать прогнозы;
- имеет критерием устойчивость.
Приведенные высказывания уже дают представление о больших расхождениях в понимании «естественной классификации». Этот термин следует признать нечетким, как, впрочем, и многие другие термины, как социально-экономические, научно-технические, так и используемые в обыденном языке. Нетрудно подробно обоснована нечеткость естественного языка и тот факт, что "мы мыслим нечетко", что однако не слишком мешает нам решать производственные и жизненные проблемы. Кажущееся рациональным требование выработать сначала строгие определения, а потом развивать науку - невыполнимо. Следовать ему - значит отвлекать силы от реальных задач. При системном подходе к теории классификации становится ясно, что строгие определения можно надеяться получить на последних этапах построения теории. Мы же сейчас находимся чаще всего на первых этапах. Поэтому, не давая определения понятиям «естественная классификация»и «естественная диагностика», обсудим, как проверить на «естественность» классификацию (набор диагностических классов), полученную расчетным путем.
Можно выделить два критерия «естественности», по поводу которых имеется относительное согласие:
А. Естественная классификация должна быть реальной, соответствующей действительному миру, лишенной внесенного исследователем субъективизма;
Б. Естественная классификация должна быть важной или с научной точки зрения (давать возможность прогноза, предсказания новых свойств, сжатия информации и т.д.), или с практической.
Пусть классификация проводится на основе информации об объектах, представленной в виде матрицы «объект-признак» или матрицы попарных расстояний (мер близости). Пусть алгоритм классификации дал разбиение на кластеры. Как можно получить доводы в пользу естественности этой классификации? Например, уверенность в том, что она - закон природы, может появиться только в результате длительного ее изучения и практического применения. Это соображение относится и к другим из перечисленных выше критериев, в частности к Б (важности). Сосредоточимся на критерии А (реальности).
Понятие «реальности» кластера требует специального обсуждения. (оно начато в работе [8]). Рассмотрим существо различий между понятиями «классификация» и «группировка». Пусть, к примеру, необходимо деревья, растущие в определенной местности, разбить на группы находящихся рядом друг с другом. Ясна интуитивная разница между несколькими отдельными рощами, далеко отстоящими друг от друга и разделенными полями, и сплошным лесом, разбитым просеками на квадраты с целью лесоустройства. Однако формально определить эту разницу столь же сложно, как определить понятие «куча зерен», чем занимались еще в Древней Греции (одно зерно не составляет кучи, два зерна не составляют кучи,…, если к тому, что не составляет кучи, добавить еще одно зерно, то куча не получится; значит - по принципу математической индукции - никакое количество зерен не составляет кучи; но ясно, что миллиард зерен - большая куча зерен - подсчитайте объем!).
Переформулируем сказанное в терминах "кластер-анализа" и "методов группировки". Выделенные с помощью первого подхода кластеры реальны, а потому могут рассматриваться как кандидаты в "естественные". Группировка дает "искусственные" классы, которые не могут быть "естественными".
Выборку из унимодального распределения можно, видимо, рассматривать как "естественный", "реальный" кластер. Применим к ней какой-либо алгоритм классификации ("средней связи", "ближайшего соседа" и т.п.). Он даст какое-то разбиение на классы, которые, разумеется, не являются "реальными", поскольку отражают прежде всего свойства алгоритма, а не исходных данных. Как отличить такую ситуацию от противоположной, когда имеются реальные кластеры и алгоритм классификации более или менее точно их выделяет? Как известно, "критерий истины – практика", но слишком много времени необходимо для применения подобного критерия. Поэтому представляет интерес критерий, оценивающий "реальность" выделяемых с помощью алгоритма классификации кластеров одновременно с его применением.
Такой показатель существует - это критерий устойчивости. Устойчивость - понятие широкое. Общая схема формулирования и изучения проблем устойчивости рассмотрена в главе 10. В частности, поскольку значения признаков всегда измеряются с погрешностями, то "реальное" разбиение должно быть устойчиво (т.е. не меняться или меняться слабо) при малых отклонениях исходных данных. Алгоритмов классификации существует бесконечно много, и "реальное" разбиение должно быть устойчиво по отношению к переходу к другому алгоритму. Другими словами, если "реальное" разбиение на диагностические классы возможно, то оно находится с помощью любого алгоритма автоматической классификация. Следовательно, критерием естественности классификации может служить совпадение результатов работы двух достаточно различающихся алгоритмов, например "ближайшего соседа" и "дальнего соседа".
Выше рассмотрены два типа "глобальных" критериев "естественности классификации", касающихся разбиения в целом. "Локальны"» критерии относятся к отдельным кластерам. Простейшая постановка такова: достаточно ли однородны два кластера (две совокупности) для их объединения:? Если объединение возможно, то кластеры не являются "естественными". Преимущество этой постановки в том, что она допускает применение статистических критериев однородности двух выборок. В одномерном случае (классификация по одному признаку) разработано большое число подобных критериев — Крамера-Уэлча, Смирнова, омега-квадрат (Лемана-Розенблатта), Вилкоксона, Ван-дер-Вардена, Лорда, Стьюдента и др. (см. главу 4 и справочник [1]). Имеются критерии и для многомерных данных. Для одного из видов объектов нечисловой природы - люсианов - статистические методы выделения "реальных" кластеров развиты в работе [9].
Что касается глобальных критериев, то для изучения устойчивости по отношению к малым отклонениям исходных данных естественно использовать метод статистических испытаний и проводить расчеты по "возмущенным" данным. Некоторые теоретические утверждения, касающиеся влияния «возмущений» на кластеры различных типов, получены в работе [8].
Опишем практический опыт реализации анализа устойчивости. Несколько алгоритмов классификации были применены к данным, полученным при проведении маркетинга образовательных услуг и приведенным в работе [10]. Для анализа данных были использованы широко известные алгоритмы "ближайшего соседа", "дальнего соседа" и алгоритм кластер-анализа из работы [11]. С содержательной точки зрения полученные разбиения отличались мало. Поэтому есть основания считать, что с помощью этих алгоритмов действительно выявлена «реальная» структура данных.
Идея устойчивости как критерия "реальности" иногда реализуется неадекватно. Так, для однопараметрических алгоритмов один из специалистов предлагал выделять разбиения, которым соответствуют наибольшие интервалы устойчивости по параметру, т.е. наибольшие приращения параметра между очередными объединениями кластеров. Для данных работы [10] это предложение не дало полезных результатов - были получены различные разбиения: три алгоритма - три разбиения. И с теоретической точки зрения предложение этого специалиста несостоятельно. Покажем это.
Действительно, рассмотрим алгоритм "ближайшего соседа", использующий меру близости d(x,у), и однопараметрическое семейство алгоритмов с мерой близости da(x,y), а>0, также являющихся алгоритмами "ближайшего соседа". Тогда дендрограммы, полученные с помощью этих алгоритмов, совпадают при всех a, поскольку при их реализации происходит лишь сравнение мер близости между объектами. Другими словами, дендрограмма, полученная с помощью алгоритма «ближайшего соседа», является адекватной в порядковой шкале (измерения меры близости d(x,у)), т.е. сохраняется при любом строго возрастающем преобразовании этой меры (см. главу 3). Однако выделенные по обсуждаемому методу "устойчивые разбиения" меняются. В частности, при достаточно большом а "наиболее объективным" в соответствии с предложением этого специалиста будет, как нетрудно показать, разбиение на два кластера! Таким образом, разбиение, выдвинутое им как "устойчивое", на самом деле оказывается весьма неустойчивым.
Эконометрика классификации
Рассмотрим несколько конкретных эконометрических вопросов теории классификации.
Вероятностная теория кластер-анализа. Как и для прочих методов эконометрики и прикладной статистики, свойства алгоритмов кластер-анализа необходимо изучать на вероятностных моделях. Это касается, например, условий естественного объединения двух кластеров.
Вероятностные постановки нужно применять, в частности, при перенесении результатов, полученных по выборке, на генеральную совокупность. Вероятностная теория кластер-анализа и методов группировки различна для исходных данных типа таблиц «объект x признак» и матриц сходства. Для первых параметрическая вероятностно-статистическая теория называется "расщеплением смесей". Непараметрическая теория основана на непараметрических оценках плотностей вероятностей и их мод. Основные результаты, связанные с непараметрическими оценками плотности, обсуждаются ниже (глава 8).
Если исходные данные - матрица сходства ||d(x,y)||, то необходимо признать, что развитой вероятностно-статистической теории пока нет. Подходы к ее построению обсуждались в работе [8]. Одна из основных проблем - проверка "реальности" кластера, его объективного существования независимо от расчетов исследователя. Проблема "реальности" кластера давно обсуждается специалистами различных областей. Типичное рассуждение таково. Предположим, что результаты наблюдений можно рассматривать как выборку из некоторого распределения с монотонно убывающей плотностью при увеличении расстояния от некоторого центра. Примененный к подобным данным какой-либо алгоритм кластер-анализа порождает некоторое разбиение. Ясно, что оно - чисто формальное, поскольку выделенным таксонам (кластерам) не соответствуют никакие "реальные" классы. Другими словами, задача кластер-анализа не имеет решения, а алгоритм дает лишь группировку. При обработке реальных данных мы не знаем вида плотности. Проблема состоит в том, чтобы определить, каков результат работы алгоритма (реальные кластеры или формальные группы).
Частный случай этой проблемы - проверка обоснованности объединения двух кластеров, которые мы рассматриваем как два множества объектов, а именно, множества {a1, a2,…, ak} и {b1, b2,…, bm}. Пусть, например, используется алгоритм типа "Дендрограмма". Естественной представляется следующая идея. Пусть есть две совокупности мер близости: одна - меры близости между объектами, лежащими внутри одного кластера, т.е. d(ai,aj), 1<i<j<k, d(ba,bb), 1<a<b<m, и другая - меры близости между объектами, лежащими в разных кластерах, т.е. d(ai,ba), 1<i<k, 1<a<m. Эти две совокупности мер близости предлагается рассматривать как независимые выборки и проверять гипотезу о совпадении их функций распределения. Если гипотеза не отвергается, объединение кластеров считается обоснованным; в противном случае - объединять нельзя, алгоритм прекращает работу.
В рассматриваемом подходе есть две некорректности (см. также работу [8, разд.4]). Во-первых, меры близости не являются независимыми случайными величинами. Во-вторых, не учитывается, что объединяются не заранее фиксированные кластеры (с детерминированным составом), а полученные в результате работы некоторого алгоритма, и их состав (в частности, количество элементов) оказывается случайным От первой из этих некорректностей можно частично избавиться. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть a1, a2,…, ak, b1, b2,…, bm - независимые одинаково распределенные случайные величины (со значениями в произвольном пространстве). Пусть случайная величина d(а1,а2) имеет все моменты. Тогда при k,т®¥ распределение статистики
(где U - сумма рангов элементов первой выборки в объединенной выборке; первая выборка составлена из внутрикластерных расстояний (мер близости) d(ai,aj), 1<i<j<k, и d(ba,bb), 1<a<b<m, а вторая - из межкластерных расстояний d(ai,ba), 1<i<k, 1<a<m) сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
На основе теоремы 1 очевидным образом формулируется правило проверки обоснованности объединения двух кластеров. Другими словами, мы проверяем статистическую гипотезу, согласно которой объединение двух кластеров образует однородную совокупность. Если величина U слишком мала, статистическая гипотеза однородности отклоняется (на заданном уровне значимости), и возможность объединения отбрасывается. Таким образом, хотя расстояния между объектами в кластерах зависимы, но эта зависимость слаба, и доказана математическая теорема о допустимости применения критерия Вилкоксона для проверки возможности объединения кластеров.
О вычислительной сходимости алгоритмов кластер-анализа. Алгоритмы кластер-анализа и группировки зачастую являются итерационными. Например, формулируется правило улучшения решения задачи кластер-анализа шаг за шагом, но момент остановки вычислений не обсуждается. Примером является известный алгоритм "Форель", в котором постепенно улучшается положение центра кластера. В этом алгоритме на каждом шагу строится шар определенного заранее радиуса, выделяются элементы кластеризуемой совокупности, попадающие в этот шар, и новый центр кластера строится как центр тяжести выделенных элементов. При анализе алгоритма «Форель» возникает проблема: завершится ли процесс улучшения положения центра кластера через конечное число шагов или же он может быть бесконечным. Она получила название «проблема остановки». Для широкого класса так называемых "эталонных алгоритмов" проблема остановки была решена в работе [8]: процесс улучшения остановится через конечное число шагов.
Отметим, что алгоритмы кластер-анализа могут быть модифицированы разнообразными способами. Например, описывая алгоритм "Форель" в стиле статистики объектов нечисловой природы, заметим, что вычисление центра тяжести для совокупности многомерных точек – это нахождение эмпирического среднего для меры близости, равной квадрату евклидова расстояния. Если взять более естественную меру близости – само евклидово расстояние, то получим алгоритм кластер-анализа "Медиана", отличающийся от "Форели" тем, что новый центр строится не с помощью средних арифметических координат элементов, попавших в кластер, а с помощью медиан.
Проблема остановки возникает не только при построении диагностических классов. Она принципиально важна, в частности, и при оценивании параметров вероятностных распределений методом максимального правдоподобия. Обычно не представляет большого труда выписать систему уравнений максимального правдоподобия и предложить решать ее каким-либо численным методом. Однако когда остановиться, сколько итераций сделать, какая точность оценивания будет при этом достигнута? Общий ответ, видимо, невозможно найти, но обычно нет ответа и для конкретных семейств распределения вероятностей. Именно поэтому мы нет оснований рекомендовать решать системы уравнений максимального правдоподобия, вместо них целесообразно использовать т.н. одношаговые оценки (подробнее см. об этих оценках работу [12]). Эти оценки задаются конечными формулами, но асимптотически столь же хороши (на профессиональном языке - эффективны), как и оценки максимального правдоподобия.
О сравнении алгоритмов диагностики по результатам обработки реальных данных. Перейдем к этапу применения диагностических правил, когда классы, к одному из которых нужно отнести вновь поступающий объект, уже выделены.
В прикладных эконометрических исследованиях применяют различные методы дискриминантного анализа, основанные на вероятностно-статистических моделях, а также с ними не связанные, т.е. эвристические, использующие детерминированные методы анализа данных. Независимо от "происхождения", каждый подобный алгоритм должен быть исследован как на параметрических и непараметрических вероятностно-статистических моделях порождения данных, так и на различных массивах реальных данных. Цель исследования - выбор наилучшего алгоритма в определенной области применения, включение его в стандартные программные продукты, методические материалы, учебные программы и пособия. Но для этого надо уметь сравнивать алгоритмы по качеству. Как это делать?
Часто используют такой показатель качества алгоритма диагностики, как "вероятность правильной классификации" (при обработке конкретных данных - "частота правильной классификации"). Чуть ниже мы покажем, что этот показатель качества некорректен, а потому пользоваться им не рекомендуется. Целесообразно применять другой показатель качества алгоритма диагностики - оценку специального вида т.н. "расстояния Махаланобиса" между классами. Изложение проведем на примере разработки программного продукта для специалистов по диагностике материалов. Прообразом является диалоговая система «АРМ материаловеда», разработанная Институтом высоких статистических технологий и эконометрики для ВНИИ эластомерных материалов.
При построении информационно-исследовательской системы диагностики материалов (ИИСДМ) возникает задача сравнения прогностических правил «по силе». Прогностическое правило - это алгоритм, позволяющий по характеристикам материала прогнозировать его свойства. Если прогноз дихотомичен («есть» или «нет»), то правило является алгоритмом диагностики, при котором материал относится к одному из двух классов. Ясно, что случай нескольких классов может быть сведен к конечной последовательности выбора между двумя классами.
Прогностические правила могут быть извлечены из научно-технической литературы и практики. Каждое из них обычно формулируется в терминах небольшого числа признаков, но наборы признаков сильно меняются от правила к правилу. Поскольку в ИИСДМ должно фиксироваться лишь ограниченное число признаков, то возникает проблема их отбора. Естественно отбирать лишь те их них, которые входят в наборы, дающие наиболее «надежные» прогнозы. Для придания точного смысла термину «надежный» необходимо иметь способ сравнения алгоритмов диагностики по прогностической "силе".
Результаты обработки реальных данных с помощью некоторого алгоритма диагностики в рассматриваемом случае двух классов описываются долями: правильной диагностики в первом классе
; правильной диагностики во втором классе 
; долями классов в объединенной совокупности 
Величины
определяются ретроспективно.
Нередко как показатель качества алгоритма диагностики (прогностической «силы») используют долю правильной диагностики
Однако показатель
определяется, в частности, через характеристики 
и
частично заданные исследователем (например, на них влияет тактика отбора образцов для изучения). В аналогичной медицинской задаче величина оказалась больше для тривиального прогноза (у всех больных течение заболевания будет благоприятно), чем для использованного в работе [13] группы под руководством академика АН СССР И.М. Гельфанда алгоритма выделения больных с прогнозируемым тяжелым течением заболевания, применение которого с медицинской точки зрения вполне оправдано. Другими словами, по доле правильной классификации алгоритм академика И.М. Гельфанда оказался хуже тривиального - объявить всех больных легкими, не требующими специального наблюдения. Этот вывод нелеп. И причина появления нелепости понятна. Хотя доля тяжелых больных невелика, но смертельные исходы сосредоточены именно в этой группе больных. Поэтому целесообразна гипердиагностика - рациональнее часть легких больных объявить тяжелыми, чем сделать ошибку в противоположную сторону. Применение теории статистических решений в рассматриваемой постановке вряд ли возможно, поскольку оценить количественно потери от смерти больного нельзя по этическим соображениям. Поэтому, на наш взгляд, долю правильной диагностики нецелесообразно использовать как показатель качества алгоритма диагностики.
Применение теории статистических решений требует знания потерь от ошибочной диагностики, а в большинстве научно-технических и экономических задач определить потери, как уже отмечалось, сложно. В частности, из-за необходимости оценивать человеческую жизнь в денежных единицах. По этическим соображениям это, на наш взгляд, недопустимо. Сказанное не означает отрицания пользы страхования, но, очевидно, страховые выплаты следует рассматривать лишь как способ первоначального смягчения потерь от утраты близких.
Для выявления информативного набора признаков целесообразно использовать метод пересчета на модель линейного дискриминантного анализа, согласно которому статистической оценкой прогностической "силы" является
где
- функция стандартного нормального распределения вероятностей с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, а 
- обратная ей функция.
Если классы описываются выборками из многомерных нормальных совокупностей с одинаковыми матрицами ковариаций, а для классификации применяется классический линейный дискриминантный анализ Р.Фишера, то величина
представляет собой состоятельную статистическую оценку так называемого расстояния Махаланобиса между рассматриваемыми двумя совокупностями (конкретный вид этого расстояния сейчас не имеет значения), независимо от порогового значения, определяющего конкретное решающее правило. В общем случае показатель 
вводится как эвристический.
Пусть алгоритм классификации применяется к совокупности, состоящей из т объектов первого класса и n объектов второго класса.
Теорема 2. Пусть т, п®¥. Тогда для всех х
,
где
- истинная "прогностическая сила" алгоритма диагностики; 
- ее эмпирическая оценка,
;
) - плотность стандартного нормального распределения вероятностей с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
С помощью теоремы 2 по и обычным образом определяют доверительные границы для "прогностической силы" .
Как проверить обоснованность пересчета на модель линейного дискриминантного анализа? Допустим, что классификация состоит в вычислении некоторого прогностического индекса у и сравнении его с заданным порогом с; объект относят к первому классу, если у<с, ко второму, если у>с. Возьмем два значения порога с1 и c2. Если пересчет на модель линейного дискриминантного анализа обоснован, то "прогностические силы" для обоих правил совпадают:
. Эту статистическую гипотезу можно проверить.
Пусть
- доля объектов первого класса, для которых y<c1, а 
- доля объектов первого класса, для которых c1<y<c2. Аналогично пусть 
- доля объектов второго класса, для которых c1<y<c2, а 
- доля объектов второго класса, для которых у>с2. Тогда можно рассчитать две оценки одного и того же расстояния Махаланобиса. Они имеют вид:
Теорема 3. Если истинные прогностические силы двух правил диагностики совпадают,
то при 
при всех х
,
Где
;
.
Из теоремы 3 вытекает метод проверки рассматриваемой гипотезы: при выполнении неравенства
она принимается на уровне значимости, асимптотически равном
, в противном случае - отвергается.
Подходы к построению прогностических правил. Для решения задач диагностики используют два подхода – параметрический и непараметрический. Первый из них обычно основан на использовании того или иного индекса и сравнения его с порогом. Индекс может быть построен по статистическим данным, например, как в уже упомянутом линейном дискриминантном анализе Фишера. Часто индекс представляет собой линейную функцию от характеристик, выбранных специалистами предметной области, коэффициенты которой подбирают эмпирически. Непараметрический подход связан с леммой Неймана-Пирсона в математической статистике и с теорией статистических решений. Он опирается на использование непараметрических оценок плотностей распределений вероятностей, описывающих диагностические классы.
Обсудим ситуацию подробнее. Математические методы диагностики, как и статистические методы в целом, делятся на параметрические и непараметрические. Первые основаны на предположении, что классы описываются распределениями из некоторых параметрических семейств. Обычно рассматривают многомерные нормальные распределения, при этом зачастую принимают гипотезу о том, что ковариационные матрицы для различных классов совпадают. Именно в таких предположениях сформулирован классический дискриминантный анализ Фишера. Как известно, обычно нет оснований считать, что наблюдения извлечены из нормального распределения.
Поэтому более корректными, чем параметрические, являются непараметрические методы диагностики. Исходная идея таких методов основана на лемме Неймана-Пирсона, входящей в стандартный курс математической статистики. Согласно этой лемме решение об отнесении вновь поступающего объекта (сигнала, наблюдения и др.) к одному из двух классов принимается на основе отношения плотностей f(x)/g(x), где f(x) - плотность распределения, соответствующая первому классу, а g(x) - плотность распределения, соответствующая второму классу. Если плотности распределения неизвестны, то применяют их непараметрические оценки, построенные по обучающим выборкам. Пусть обучающая выборка объектов из первого класса состоит из n элементов, а обучающая выборка для второго класса - из m объектов. Тогда рассчитывают значения непараметрических оценок плотностей fn(x) и gm(x) для первого и второго классов соответственно, а диагностическое решение принимают по их отношению. Таким образом, для решения задачи диагностики достаточно научиться строить непараметрические оценки плотности для выборок объектов произвольной природы.
Методы построения непараметрических оценок плотности распределения вероятностей в пространствах произвольной природы рассмотрены в главе 8.
Цитированная литература
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.
2. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.
3. Орлов А.И. Оценка размерности модели в регрессии. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. - С.92-99.
4. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.
5. Красильников В.В. Статистика объектов нечисловой природы. - Наб. Челны: Изд-во Камского политехнического института, 2001. - 144 с.
6. Кендэл М. Ранговые корреляции. - М.: Статистика, 1975. - 216 с.
7. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. – 736 с.
8. Орлов А.И. Некоторые вероятностные вопросы теории классификации. – В сб.: Прикладная статистика. Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. – С.166-179.
9. Орлов А.И.; Гусейнов Г.А. Математические методы в изучении способных к математике школьников – В сб.: Исследования по вероятностно-статистическому моделированию реальных систем. - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1977. - С.80-93.
10. Куперштох B.JI., Миркин Б.Г., Трофимов В.А. Сумма внутренних связей как показатель качества классификации // Автоматика и телемеханика. 1976. № 3. С.91-98.
11. Гельфанд И.М., Алексеевская М.А., Губерман Ш.А. и др. Прогнозирование исхода инфаркта миокарда с помощью программы "Кора-3" // Кардиология. 1977. Т.17. № 6. С.19-23.
Рассмотрим несколько конкретных эконометрических вопросов теории классификации.
Вероятностная теория кластер-анализа. Как и для прочих методов эконометрики и прикладной статистики, свойства алгоритмов кластер-анализа необходимо изучать на вероятностных моделях. Это касается, например, условий естественного объединения двух кластеров.
Вероятностные постановки нужно применять, в частности, при перенесении результатов, полученных по выборке, на генеральную совокупность. Вероятностная теория кластер-анализа и методов группировки различна для исходных данных типа таблиц «объект x признак» и матриц сходства. Для первых параметрическая вероятностно-статистическая теория называется "расщеплением смесей". Непараметрическая теория основана на непараметрических оценках плотностей вероятностей и их мод. Основные результаты, связанные с непараметрическими оценками плотности, обсуждаются ниже (глава 8).
Если исходные данные - матрица сходства ||d(x,y)||, то необходимо признать, что развитой вероятностно-статистической теории пока нет. Подходы к ее построению обсуждались в работе [8]. Одна из основных проблем - проверка "реальности" кластера, его объективного существования независимо от расчетов исследователя. Проблема "реальности" кластера давно обсуждается специалистами различных областей. Типичное рассуждение таково. Предположим, что результаты наблюдений можно рассматривать как выборку из некоторого распределения с монотонно убывающей плотностью при увеличении расстояния от некоторого центра. Примененный к подобным данным какой-либо алгоритм кластер-анализа порождает некоторое разбиение. Ясно, что оно - чисто формальное, поскольку выделенным таксонам (кластерам) не соответствуют никакие "реальные" классы. Другими словами, задача кластер-анализа не имеет решения, а алгоритм дает лишь группировку. При обработке реальных данных мы не знаем вида плотности. Проблема состоит в том, чтобы определить, каков результат работы алгоритма (реальные кластеры или формальные группы).
Частный случай этой проблемы - проверка обоснованности объединения двух кластеров, которые мы рассматриваем как два множества объектов, а именно, множества {a1, a2,…, ak} и {b1, b2,…, bm}. Пусть, например, используется алгоритм типа "Дендрограмма". Естественной представляется следующая идея. Пусть есть две совокупности мер близости: одна - меры близости между объектами, лежащими внутри одного кластера, т.е. d(ai,aj), 1<i<j<k, d(ba,bb), 1<a<b<m, и другая - меры близости между объектами, лежащими в разных кластерах, т.е. d(ai,ba), 1<i<k, 1<a<m. Эти две совокупности мер близости предлагается рассматривать как независимые выборки и проверять гипотезу о совпадении их функций распределения. Если гипотеза не отвергается, объединение кластеров считается обоснованным; в противном случае - объединять нельзя, алгоритм прекращает работу.
В рассматриваемом подходе есть две некорректности (см. также работу [8, разд.4]). Во-первых, меры близости не являются независимыми случайными величинами. Во-вторых, не учитывается, что объединяются не заранее фиксированные кластеры (с детерминированным составом), а полученные в результате работы некоторого алгоритма, и их состав (в частности, количество элементов) оказывается случайным От первой из этих некорректностей можно частично избавиться. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть a1, a2,…, ak, b1, b2,…, bm - независимые одинаково распределенные случайные величины (со значениями в произвольном пространстве). Пусть случайная величина d(а1,а2) имеет все моменты. Тогда при k,т®¥ распределение статистики
(где U - сумма рангов элементов первой выборки в объединенной выборке; первая выборка составлена из внутрикластерных расстояний (мер близости) d(ai,aj), 1<i<j<k, и d(ba,bb), 1<a<b<m, а вторая - из межкластерных расстояний d(ai,ba), 1<i<k, 1<a<m) сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
На основе теоремы 1 очевидным образом формулируется правило проверки обоснованности объединения двух кластеров. Другими словами, мы проверяем статистическую гипотезу, согласно которой объединение двух кластеров образует однородную совокупность. Если величина U слишком мала, статистическая гипотеза однородности отклоняется (на заданном уровне значимости), и возможность объединения отбрасывается. Таким образом, хотя расстояния между объектами в кластерах зависимы, но эта зависимость слаба, и доказана математическая теорема о допустимости применения критерия Вилкоксона для проверки возможности объединения кластеров.
О вычислительной сходимости алгоритмов кластер-анализа. Алгоритмы кластер-анализа и группировки зачастую являются итерационными. Например, формулируется правило улучшения решения задачи кластер-анализа шаг за шагом, но момент остановки вычислений не обсуждается. Примером является известный алгоритм "Форель", в котором постепенно улучшается положение центра кластера. В этом алгоритме на каждом шагу строится шар определенного заранее радиуса, выделяются элементы кластеризуемой совокупности, попадающие в этот шар, и новый центр кластера строится как центр тяжести выделенных элементов. При анализе алгоритма «Форель» возникает проблема: завершится ли процесс улучшения положения центра кластера через конечное число шагов или же он может быть бесконечным. Она получила название «проблема остановки». Для широкого класса так называемых "эталонных алгоритмов" проблема остановки была решена в работе [8]: процесс улучшения остановится через конечное число шагов.
Отметим, что алгоритмы кластер-анализа могут быть модифицированы разнообразными способами. Например, описывая алгоритм "Форель" в стиле статистики объектов нечисловой природы, заметим, что вычисление центра тяжести для совокупности многомерных точек – это нахождение эмпирического среднего для меры близости, равной квадрату евклидова расстояния. Если взять более естественную меру близости – само евклидово расстояние, то получим алгоритм кластер-анализа "Медиана", отличающийся от "Форели" тем, что новый центр строится не с помощью средних арифметических координат элементов, попавших в кластер, а с помощью медиан.
Проблема остановки возникает не только при построении диагностических классов. Она принципиально важна, в частности, и при оценивании параметров вероятностных распределений методом максимального правдоподобия. Обычно не представляет большого труда выписать систему уравнений максимального правдоподобия и предложить решать ее каким-либо численным методом. Однако когда остановиться, сколько итераций сделать, какая точность оценивания будет при этом достигнута? Общий ответ, видимо, невозможно найти, но обычно нет ответа и для конкретных семейств распределения вероятностей. Именно поэтому мы нет оснований рекомендовать решать системы уравнений максимального правдоподобия, вместо них целесообразно использовать т.н. одношаговые оценки (подробнее см. об этих оценках работу [12]). Эти оценки задаются конечными формулами, но асимптотически столь же хороши (на профессиональном языке - эффективны), как и оценки максимального правдоподобия.
О сравнении алгоритмов диагностики по результатам обработки реальных данных. Перейдем к этапу применения диагностических правил, когда классы, к одному из которых нужно отнести вновь поступающий объект, уже выделены.
В прикладных эконометрических исследованиях применяют различные методы дискриминантного анализа, основанные на вероятностно-статистических моделях, а также с ними не связанные, т.е. эвристические, использующие детерминированные методы анализа данных. Независимо от "происхождения", каждый подобный алгоритм должен быть исследован как на параметрических и непараметрических вероятностно-статистических моделях порождения данных, так и на различных массивах реальных данных. Цель исследования - выбор наилучшего алгоритма в определенной области применения, включение его в стандартные программные продукты, методические материалы, учебные программы и пособия. Но для этого надо уметь сравнивать алгоритмы по качеству. Как это делать?
Часто используют такой показатель качества алгоритма диагностики, как "вероятность правильной классификации" (при обработке конкретных данных - "частота правильной классификации"). Чуть ниже мы покажем, что этот показатель качества некорректен, а потому пользоваться им не рекомендуется. Целесообразно применять другой показатель качества алгоритма диагностики - оценку специального вида т.н. "расстояния Махаланобиса" между классами. Изложение проведем на примере разработки программного продукта для специалистов по диагностике материалов. Прообразом является диалоговая система «АРМ материаловеда», разработанная Институтом высоких статистических технологий и эконометрики для ВНИИ эластомерных материалов.
При построении информационно-исследовательской системы диагностики материалов (ИИСДМ) возникает задача сравнения прогностических правил «по силе». Прогностическое правило - это алгоритм, позволяющий по характеристикам материала прогнозировать его свойства. Если прогноз дихотомичен («есть» или «нет»), то правило является алгоритмом диагностики, при котором материал относится к одному из двух классов. Ясно, что случай нескольких классов может быть сведен к конечной последовательности выбора между двумя классами.
Прогностические правила могут быть извлечены из научно-технической литературы и практики. Каждое из них обычно формулируется в терминах небольшого числа признаков, но наборы признаков сильно меняются от правила к правилу. Поскольку в ИИСДМ должно фиксироваться лишь ограниченное число признаков, то возникает проблема их отбора. Естественно отбирать лишь те их них, которые входят в наборы, дающие наиболее «надежные» прогнозы. Для придания точного смысла термину «надежный» необходимо иметь способ сравнения алгоритмов диагностики по прогностической "силе".
Результаты обработки реальных данных с помощью некоторого алгоритма диагностики в рассматриваемом случае двух классов описываются долями: правильной диагностики в первом классе
Величины
Нередко как показатель качества алгоритма диагностики (прогностической «силы») используют долю правильной диагностики
Однако показатель
Применение теории статистических решений требует знания потерь от ошибочной диагностики, а в большинстве научно-технических и экономических задач определить потери, как уже отмечалось, сложно. В частности, из-за необходимости оценивать человеческую жизнь в денежных единицах. По этическим соображениям это, на наш взгляд, недопустимо. Сказанное не означает отрицания пользы страхования, но, очевидно, страховые выплаты следует рассматривать лишь как способ первоначального смягчения потерь от утраты близких.
Для выявления информативного набора признаков целесообразно использовать метод пересчета на модель линейного дискриминантного анализа, согласно которому статистической оценкой прогностической "силы" является
где
Если классы описываются выборками из многомерных нормальных совокупностей с одинаковыми матрицами ковариаций, а для классификации применяется классический линейный дискриминантный анализ Р.Фишера, то величина
Пусть алгоритм классификации применяется к совокупности, состоящей из т объектов первого класса и n объектов второго класса.
Теорема 2. Пусть т, п®¥. Тогда для всех х
где
С помощью теоремы 2 по
Как проверить обоснованность пересчета на модель линейного дискриминантного анализа? Допустим, что классификация состоит в вычислении некоторого прогностического индекса у и сравнении его с заданным порогом с; объект относят к первому классу, если у<с, ко второму, если у>с. Возьмем два значения порога с1 и c2. Если пересчет на модель линейного дискриминантного анализа обоснован, то "прогностические силы" для обоих правил совпадают:
Пусть
Теорема 3. Если истинные прогностические силы двух правил диагностики совпадают,
Где
Из теоремы 3 вытекает метод проверки рассматриваемой гипотезы: при выполнении неравенства
она принимается на уровне значимости, асимптотически равном
Подходы к построению прогностических правил. Для решения задач диагностики используют два подхода – параметрический и непараметрический. Первый из них обычно основан на использовании того или иного индекса и сравнения его с порогом. Индекс может быть построен по статистическим данным, например, как в уже упомянутом линейном дискриминантном анализе Фишера. Часто индекс представляет собой линейную функцию от характеристик, выбранных специалистами предметной области, коэффициенты которой подбирают эмпирически. Непараметрический подход связан с леммой Неймана-Пирсона в математической статистике и с теорией статистических решений. Он опирается на использование непараметрических оценок плотностей распределений вероятностей, описывающих диагностические классы.
Обсудим ситуацию подробнее. Математические методы диагностики, как и статистические методы в целом, делятся на параметрические и непараметрические. Первые основаны на предположении, что классы описываются распределениями из некоторых параметрических семейств. Обычно рассматривают многомерные нормальные распределения, при этом зачастую принимают гипотезу о том, что ковариационные матрицы для различных классов совпадают. Именно в таких предположениях сформулирован классический дискриминантный анализ Фишера. Как известно, обычно нет оснований считать, что наблюдения извлечены из нормального распределения.
Поэтому более корректными, чем параметрические, являются непараметрические методы диагностики. Исходная идея таких методов основана на лемме Неймана-Пирсона, входящей в стандартный курс математической статистики. Согласно этой лемме решение об отнесении вновь поступающего объекта (сигнала, наблюдения и др.) к одному из двух классов принимается на основе отношения плотностей f(x)/g(x), где f(x) - плотность распределения, соответствующая первому классу, а g(x) - плотность распределения, соответствующая второму классу. Если плотности распределения неизвестны, то применяют их непараметрические оценки, построенные по обучающим выборкам. Пусть обучающая выборка объектов из первого класса состоит из n элементов, а обучающая выборка для второго класса - из m объектов. Тогда рассчитывают значения непараметрических оценок плотностей fn(x) и gm(x) для первого и второго классов соответственно, а диагностическое решение принимают по их отношению. Таким образом, для решения задачи диагностики достаточно научиться строить непараметрические оценки плотности для выборок объектов произвольной природы.
Методы построения непараметрических оценок плотности распределения вероятностей в пространствах произвольной природы рассмотрены в главе 8.
Цитированная литература
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.
2. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980. - 456 с.
3. Орлов А.И. Оценка размерности модели в регрессии. – В сб.: Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. Ученые записки по статистике, т.36. - М.: Наука, 1980. - С.92-99.
4. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975. - 648 с.
5. Красильников В.В. Статистика объектов нечисловой природы. - Наб. Челны: Изд-во Камского политехнического института, 2001. - 144 с.
6. Кендэл М. Ранговые корреляции. - М.: Статистика, 1975. - 216 с.
7. Кендалл М.Дж., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. – 736 с.
8. Орлов А.И. Некоторые вероятностные вопросы теории классификации. – В сб.: Прикладная статистика. Ученые записки по статистике, т.45. - М.: Наука, 1983. – С.166-179.
9. Орлов А.И.; Гусейнов Г.А. Математические методы в изучении способных к математике школьников – В сб.: Исследования по вероятностно-статистическому моделированию реальных систем. - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1977. - С.80-93.
10. Куперштох B.JI., Миркин Б.Г., Трофимов В.А. Сумма внутренних связей как показатель качества классификации // Автоматика и телемеханика. 1976. № 3. С.91-98.
11. Гельфанд И.М., Алексеевская М.А., Губерман Ш.А. и др. Прогнозирование исхода инфаркта миокарда с помощью программы "Кора-3" // Кардиология. 1977. Т.17. № 6. С.19-23.
