Реферат Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Задачі обробки сигналів та критерії оптимальності рішень
1
. Класифікація задач обробки сигналів
Існують різні типи задач обробки сигналів, серед яких основними є наступні.
Виявлення сигналу на фоні завад. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з двох гіпотез – діє тільки завада або сигнал з завадою:
Задача розрізнення заданих сигналів. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з
Задача оцінювання параметрів сигналів. У цій задачі обробки сигналів за сумішшю сигналу з завадою
Задача фільтрації сигналів. У цій задачі обробки сигналів із суміші сигналу з завадою
Зустрічаються також комбіновані задачі обробки сигналів, зокрема, сумісного виявлення (чи розрізнювання) та оцінювання параметрів сигналів.
При вирішенні вказаних задач обробки сигналів припускається відомою інформація про вид корисного сигналу та статичні характеристики завади (щільність ймовірності розподілу, кореляційна функція, математичне сподівання, дисперсія та ін.). Окрім того вважається заданим критерій оптимальності вирішення задачі обробки сигналів. Оскільки сигнали, що поступають на вхід приймального пристрою, носять випадковий характер, то при отриманні оптимальних методів обробки сигналів необхідно використовувати основні положення математичної статистики та теорії прийняття статистичних рішень. Математична статистика одержує певні висновки з експериментальних даних. Тому припускається, що відома реалізація прийнятого сигналу, яка використовується безпосередньо або у вигляді деяких її відліків.
Серед задач статистичного синтезу найважливішими для теорії обробки сигналів є такі: перевірка статистичних гіпотез (коли відносно характеристик розподілу ймовірностей висуваються несумісні гіпотези
У задачах перевірки гіпотез
У цій задачі
При оцінюванні параметра розподілу за спостереженням
У математичній статистиці, крім простору спостережень
Для того, щоб порівняти рішення, у математичній статистиці вибирають ті чи інші показники якості – критерії якості правил вибору рішень. Останні називають також алгоритмами обробки спостережень. Спинимося на особливостях критеріїв у задачах перевірки гіпотез, оцінювання параметрів і фільтрування повідомлень.
Залежно від того, яка у дослідника є апріорна інформація, вибираються ті чи інші показники якості вирішення задачі обробки сигналів.
2
.
П
оказники якості
вирішення задачі обробки сигналів
Показник середнього ризику. У задачах перевірки гіпотез
Середній ризик вводиться як математичне сподівання матриці втрат:
де
Враховуючи, що імовірності
остаточно маємо
Показник середньої імовірності похибки. Середній ризик враховує як похибки, коли номер рішення
Замість
Показник апостеріорної ймовірності гіпотези. Матриця втрат
Використовують й інші показники якості. Досить часто (особливо в задачах оцінювання параметрів) за критерій якості приймають саму функцію правдоподібності.
Розглянуті показники якості рішення використовують для формулювання критеріїв оптимальності рішень при розв’язанні задач обробки сигналів.
3. К
ритерії оптимальності рішень
у задачі перевірки гіпотез
Розглянемо критерії оптимальності рішень при вирішенні задач перевірки гіпотез.
Байєсівський критерій оптимальності використовує середній ризик (2) і вимагає його мінімізації (у загальному випадку забезпечення нижньої границі):
Рішення – це гіпотеза
Критерій мінімуму середньої ймовірності похибки (критерій Зігерта-Котельникова або критерій ідеального спостерігача). У цьому разі використовується показник якості рішення (3). Цей критерій оптимальності вимагає мінімізації величини середньої ймовірності похибки:
або
Критерій називають також критерієм „ідеального спостерігача”, тому що можна уявити собі, що деякий спостерігач задає вагову матрицю
Іноді зручніше використовувати замість
Критерій максимуму апостеріорної ймовірності. Згідно з показником якості (5) критерій оптимальності рішення задається так: серед гіпотез
Мінімаксний критерій оптимальності. Введені вище критерії по суті вимагали знання розподілу
У теорії статистичних рішень доводиться, що рішення буде таке саме, якщо використовувати умовні ризики
та вимагати, щоб рішення шукалось за умови
Мінімаксний критерій приводить до байєсівського рішення в умовах найгіршого розподілу параметра (переданого сигналу).
Критерій оптимальності Неймана-Пірсона. Спинимося детальніше на ілюстрованому прикладі приймання сигналів амплітудної маніпуляції. Тут задається лише дві гіпотези. Гіпотезу
У задачі перевірки гіпотези
та
Ситуація, коли приймається гіпотеза
Крім імовірностей похибок
та
Критерій оптимальності рішення Неймана-Пірсона використовує два показники якості рішень – умовні ймовірності хибної тривоги та пропуску цілі. У класичній літературі з теорії статистичних рішень ця обставина не підкреслюється. Але на рівні сучасної теорії вибору рішень (чи оптимізації систем і пристроїв) про це треба пам’ятати.
Критерій Неймана-Пірсона вимагає знаходження рішення, що забезпечує мінімальне значення умовної ймовірності пропуску цілі
при обмеженні умовної ймовірності хибної тривоги
Замість (12) часто використовують умову максимізації ймовірності правильного рішення про наявність цілі:
4. Критерії оптимальності в задачі о
цінювання параметрів
Критерії оптимальності в задачі оцінювання параметрів розподілів ймовірностей мають деякі відмінності порівняно із задачею перевірки гіпотез. Різниця у тому, що параметр функції правдоподібності
Показник середнього ризику. Середній ризик – це середнє значення функції втрат:
Тут припускається, що вимірність вектора параметрів
Показник середньоквадратичної похибки. В окремому випадку квадратичної функції втрат середній ризик приводить до середньоквадратичної похибки оцінювання скалярного параметра
Величина цієї похибки і використовується як показник якості рішення.
Показник апостеріорної щільності ймовірності. Для завдання цього показника (критерію) якості використовують відповідну формулу Байєса:
Наведені показники (критерії) якості дають змогу ввести відповідні критерії оптимальності рішень.
Байєсівський критерій оптимальності. Аналогічно (6), байєсівський критерій оптимальності характеризується умовою мінімізації середнього ризику (13):
Враховуючи, що
співвідношення (16) можна записати так:
У теорії оцінювання параметрів доводиться, що оцінка, яка мінімізує функціонал
мінімізує також і середній ризик
Критерій мінімізації середньоквадратичної похибки. Тут вимагається мінімізація величини похибки
Критерій максимуму апостеріорної щільності ймовірності. У задачі оцінювання параметрів цей критерій набирає такого вигляду:
Оцінка
Аналогічно задачі вибору гіпотез можна розглядати мінімаксний критерій, критерій максимальної правдоподібності та інші.
Критерій максимальної правдоподібності. Показником якості рішення може бути функція правдоподібності, а критерієм оптимальності – вимога максимізації цієї функції:
У теорії оцінювання параметрів розподілів важливі якісні характеристики одержуваних оцінок, основним з яких є: незсуненість, ефективність, обґрунтованість.
Оцінка, математичне сподівання якої за будь-якого значення параметра збігається з істинним значенням параметра
називається незсуненою.
Нагадаємо, що оцінка – це функція спостереження
Для порівняння різних оцінок вводять ту чи іншу міру розкиду. Так, для скалярного параметра використовують другий момент
Оцінка
Введемо нижню границю
Нарешті, оцінка
5. Критерії оптимальності в задачі
ф
ільтрування повідомлень
У теорії зв’зку розглядаються особливості передавння різних повідомлень (дискретних, аналогових) різними методами. При передаванні дискретних чи аналогових повідомлень з використанням цифрових і дискретних методів модуляції задачі приймання сигналів можна розв’язувати методами теорії перевірки гіпотез та оцінювання параметрів. Проте у загальному випадку передавання аналогових повідомлень з використанням аналогових методів модуляції цих методів недостатньо. Необхідно використовувати більш спеціальні методи – методи фільтрування повідомлень.
Згідно з узагальненим рівнянням зв’язку, прийнятий сигнал
де передане повідомлення –
У нелінійних методах модуляції (ЧМ, ФМ, деякі імпульсні методи модуляції) за необхідністю ця залежність більш складна.
Задача фільтрування полягає у тому, що за прийнятою реалізацією сигналу
Як і в задачах перевірки гіпотез та оцінювання параметрів, насамперед, необхідно ввести (показники) критерії якості рішення та критерії їх оптимальності.
Якщо розв’язувати задачу фільтрування при кожному фіксованому значенні часу
Найчастіше використовується критерій середньоквадратичної похибки, що вводиться для кожного
Співвідношення (24) можна подати так:
Відповідний критерій оптимальності рішення задається у вигляді вимоги мінімізації похибки (24а):
Мінімум у (24) забезпечується, якщо мінімізувати функціонал
тобто якщо забезпечити мінімізацію середньоквадратичної похибки при кожному спостереженні
Найпростіша задача (24а) приводить до лінійного фільтрування.
