ТЕМА

ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини
Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій – множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: w₁ – випадання "решки" та w₂ – випадання герба. Введемо до розгляду функцію x= f(w), що визначається за формулами: f(w₁)=0, f(w₂)=1. Це – числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :

Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи  та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють
 і
У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер x,h,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:
Таблиця 1

				...
				...

У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, пов’язаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:
Таблиця 2

	0	1
	1/2	1/2

Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення  і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення – відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції  складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція  взагалі принципово не визначена.

Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією

що називається функцією розподілу випадкової величини .


Рисунок 1
У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах

На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.


Рисунок 2
Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень – круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:

При цьому функція розподілу

графік якої зображено на рис. 3, має вигляд




Рисунок 3
Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.


Рисунок 4
За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною




,

,


При цьому закон розподілу випадкової величини  має вигляд табл. 3:
Таблиця 3

	1	5	10
	5/9	1/3	1/9

За цим законом розподілу випадкової величини  знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).



Рисунок 5


Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неубутна функція. Дійсно, якщо x₁<x₂ (рис. 6).


Рисунок 6
F(x₂)=P(x<x₂)=P(x<x₁)+P(x₁<x<x₂)>P(x<x₁)=F(x₁); F(x₁)<F(x₂);

2. F(+¥)=1; F(-¥)=0; F(+¥)=P(x<¥)=1;

P(-¥<x<¥)=1; F(-¥)=0;

P(a£x<b)=P(x<b) - P(x<a)=F_x(b) - F_x(a).
Якщо функція розподілу в деякій точці x=а має неусувний розрив 1-го роду – стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(x=а)=р.


Рисунок 7
Дійсно, розглянемо [а, b), b® a+0.
P(x=а)=.
Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.

2 Дискретна випадкова величинаВипадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.

Нехай х₁,х₂,…,х_n – можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.

Випадкові події [x=x₁], [x=x₂], …[x=x_n] утворять повну систему елементарних подій. При цьому
,
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично – точками на площині (x_i, p_i); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):


Рисунок 8
Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу




F_x(x)=P(x<x)=

або



де


Її графік наведено на рис. 9


Рисунок 9
Як видно з рис. 9, функція розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці х_i вона зростає на величину . При цьому
.
3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин
Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:
Р(А)=р; .
Як випадкову величину, яку позначимо , розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність появи події  визначається формулою Бернуллі у вигляді
;                                       (1)
де  – кількість сполучень з  елементів по  (1).

Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)ⁿ (табл. 4).
Таблиця 4

xn	0	1	…	k	…	n
pn	qn	npqn-1	…		…	pn

Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань  і наслідків  дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у зв’язку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.

Нехай кількість випробувань  необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі

або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи  разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях

Розподіл випадкової величина  за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число l називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:
Таблиця 5

x	0	1	…	k	…
p	e-l	le-l	…		…

Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається l відмовлень.

При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:

1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).

2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.

Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:
р(А)=l Dt+o(Dt), Dt®0.
4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(Dt), Dt®0.

Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин .

Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування


При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т

Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.

Як випадкову величину  розглядатимемо кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:
Таблиця 6

x	1	2	3	…	k
P	P	qp	q2p	…	qk-1p