Реферат Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.   Многочлены Лежандра

2.   Многочлены Чебышева

3.   Преобразование Лапласа

4.   Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке

4.1 Постановка задачи

4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

Заключение

преобразование смещенный многочлен исчисление

ВВЕДЕНИЕ

Математический анализ – раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и поверхностями (интегральное исчисление). Для задач математического анализа характерно, что их решение связано с понятием предела.

Начало математическому анализу положил в 1665 И.Ньютон и (около 1675) независимо от него Г.Лейбниц, хотя важную подготовительную работу провели И.Кеплер (1571–1630), Ф.Кавальери (1598–1647), П.Ферма (1601–1665), Дж.Валлис (1616–1703) и И.Барроу (1630–1677).

Операционное исчисление –раздел математики, занимающийся главным образом алгебраическими операциями, производимыми над символами операции (или преобразования).

Во многих задачах математического анализа рассматриваются ситуации, в которых каждая точка одного пространства ставится в соответствие некоторой точке другого (или того же) пространства. Пространства могут быть абстрактными, в которых «точки» в действительности являются функциями. Соответствие между двумя точками устанавливается с помощью преобразования или оператора. В задачу теории операторов входит подробное описание и классификация различных видов преобразований и их свойств, а также разработка символических методов, позволяющих минимизировать и упростить вычисления. Обычно теорию операторов применяют к пространствам, в которых допускается сложение или умножение точек, т.е. линейным пространствам, группам, кольцам, полям и т.д.

Операционное исчисление позволяет осуществить абстрактные постановки задач и обобщить такие разделы математического анализа, как теория дифференциальных и интегральных уравнений. Мощным стимулом для развития теории операторов стали современные проблемы квантовой теории. Наиболее полные результаты получены для дистрибутивных операторов в т.н. гильбертовом пространстве. Интерес к этой области во многом связан с представлением таких операторов интегральными преобразованиями.

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования.
$p = {d\over dt}$ .
Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию русского математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах.
$\frac{1}{p}f(t) = \int\limits_{0}^{t}\!f(u)\,du$

В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая и считая f(u) = 0 для u < 0. Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.
$\bar{f}(p) = L \left[f(t)\right] =\int\limits_{0}^\infty\! e^{-pt} f(t)\,dt$
Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа и оператором дифференцирования
${d\over dt}.$
если существует производная $f^\prime(t)$ , для которой
$L\left[{df\over dt}\right]$
существует и f(0) = 0, то
$L\left[{df\over dt}\right]=p \bar{f}(p)$ .
Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой
$Tf(u) = \int\limits_{S}K(t, u)\, f(t)\, dt$ , (1)
где функции

называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства

, при этом функция

называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:
$f(t) = \int\limits_{S'} K^{-1}( u,t )\, (Tf(u))\, du.$ (2)
Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего.

преобразование смещенный многочлен исчисление

1. Многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов, на отрезке $[-1,\;1]$ по мере Лебега. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $1,\;x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
$P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$ (3)
часто записываемой в виде:
$P_n(\cos\theta)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d(\cos\theta)^n}(\cos^2\theta-1)^n$ (4)
Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{2n-2k}{n}x^{n-2k};$

$P_n(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2(x-1)^{n-k}(x+1)^{k};$

$P_n(x)=\frac{(x+1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^k$ , если $x\neq -1$ ;

$P_n(x)=\frac{(x-1)^n}{2^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^2\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^k$ , если $x\neq 1$ .

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле:
$P_{n+1}(x)=\frac{2n+1}{n+1}xP_n(x)-\frac{n}{n+1}P_{n-1}(x).$
Первые многочлены Лежандра равны:

$P_0(x)=1;\,$

$P_1(x)=x;\,$

$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1);$

$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x);$

$P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3);$

$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x);$

$P_6(x)=\frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5);$

$P_7(x)=\frac{1}{16}(429x^7-693x^5+315x^3-35x);$

$P_8(x)=\frac{1}{128}(6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35);$

$P_9(x)=\frac{1}{128}(12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x);$

$P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63).$

2.
Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева — две последовательности многочленов T_n(x) и U_n(x), $n=\{0,1,\dots\}$ названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода T_n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2ⁿ^{- 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.

Многочлены Чебышева первого рода T_n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$
Многочлены Чебышева первого рода $T_n(x)\,$ могут быть также определены с помощью равенства:
$T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta). \,$
или, что почти эквивалентно,
$T_n(z)=\cos(n \arccos(z))\,$
Несколько первых многочленов Чебышева первого рода

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_2(x) = 2x^2 - 1 \,$

$T_3(x) = 4x^3 - 3x \,$

$T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1 \,$

$T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x \,$

$T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \,$

$T_7(x) = 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \,$

$T_8(x) = 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \,$

$T_9(x) = 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \,$
Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:

Ортогональность по отношению к соответствующим скалярному произведению (с весом $\frac1\sqrt{1-x^2}$ для многочленов первого рода и $\sqrt{1-x^2}$ для многочленов второго рода).

Среди всех многочленов, значения которых на отрезке [ − 1,1] не превосходят по модулю 1, многочлен Чебышева имеет: наибольший старший коэффициент наибольшее значение в любой точке за пределами [ − 1,1] если $n \equiv k ~\mathrm{ mod } ~ 2$ , то $|a_{k-1}| + |a_k| \le |t_{k}|$ , где t_k — коэффициент многочлена Чебышева первого рода, a_k — коэффициент любого из рассматриваемых полиномов.

Нули полиномов Чебышева являются оптимальными узлами в различных интерполяционных схемах. Например, в методе дискретных особенностей, который часто используется при исследовании интегральных уравнений в электродинамике и аэродинамике.

3.

4.
Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $\ F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\ f(x)$ действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Интеграл Лапласа имеет вид:

(5)

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (5) были рассмотрены П. Лапласом.

В узком смысле под преобразованием Лапласа подразумевают одностороннее преобразование Лапласа

, (6)
называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа

(7)
Преобразование Лапласа – частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (6) или (7) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее преобразование Лапласа (7) можно рассматривать как преобразование Фурье функции

, одностороннее преобразование Лапласа (6) - как преобразование Фурье функции j(t) равной

при 0 < t < ∞ и равной нулю при -∞ < t < 0.

Подынтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t) называется функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное t как время. Функция F(p)=L[f], (р) называется также преобразованием Лапласа оригинала f(t) или изображением по Лапласу. Интеграл (6) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности.

Априори возможны три случая:

1) существует действительное число

такое, что интеграл (6) сходится при

, а при

– расходится; это число σ_с называется абсциссой (условной) сходимости;

2) интеграл (6) сходится при всех р, в этом случае полагают

;

3) интеграл (6) расходится при всех р, в этом случае полагают

Если

, то интеграл (6) представляет однозначную аналитическую функцию F(p) в полуплоскости сходимости

. Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (6). Точная нижняя грань тех s, для которых существует интеграл

, называется абсциссой абсолютной сходимости

Если а – есть нижняя грань тех s, для которых

число а иногда называют показателем роста оригинала f(t).

При некоторых дополнительных условиях оригинал f(t) однозначно восстанавливается по своему F(p). Например, если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f(t) кусочногладкая, то имеет место формула обращения преобразования Лапласа:

(8)
Формулы (6) и (8) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математической физике важные применения находит многомерное преобразование Лапласа:

(9)
где t
= (
t
₁
, ……,
t_n
)

-точка re-мерного евклидова пространства
Rⁿ
,
p
= (
p
₁
, ……,
p_n
) =
σ
+
iτ
= (
σ
₁
, ……, σ
_n
) + (τ₁, ……, τ
_n
)

-точка комплексного пространства
Cⁿ
,
n
≥1, (
p
,
t
) = (
σ
,
t
)+
i
(
τ
,
t
) =
p
₁
t
₁
+ … +
p_nt_n

-скалярное произведение, dt
=
dt
₁
…
dt_n - элемент объема в Rⁿ. Комплексная функция f(t) в (9) определена и локально суммируема в области интегрирования

-положительном координатном угле пространства Rⁿ. Если функция f(t) ограничена в C^*, то интеграл (9) существует во всех точках

удовлетворяющих условию Re
(
p
,
t
)>0,

, которое определяет снова положительный координатный угол

Интеграл (9) определяет голоморфную функцию комплексных переменных p
= (
p
₁
,-
p_n
) в трубчатой области

пространства

с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования

в (9) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве

с вершиной в начале координат. При n=1 формула (9) переходит в (6), причем

- положительная полуось и

- правая полуплоскость. Преобразование Лапласа (9) определено и голоморфно и для функций f(t) гораздо более широких классов. Элементарные свойства преобразования Лапласа с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (6), переводящего оригинал f
(
t
), 0<
t
<∞ в изображение F(p),

, а также численное обращение преобразования Лапласа, т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (6) либо по формуле обращения (8).

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Проблема обращения преобразования Лапласа, как задача отыскания решения f(x) интегрального уравнения первого рода (6), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t
)
f
(
t
):

где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция. Предполагается, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L
₂
(β(
t
), 0, ∞).По изображению F(р).функции β(t), f(t), функция f(t) строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого a_k вычисляются по формуле.

где

- коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде

Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8).

4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
4.1
Постановка задачи
Задачу преобразования Лапласа можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра и Якоби.Эта задача, которая в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.

Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В.М. Амербаева и в книге В.А. Диткина и А.П. Прудникова [2].

Пусть известно преобразование Лапласа F
(
p
) функции β(t
)
f
(
t
):

(10)
Где f(t) – искомая функция, а β(t) – неотрицательная, абсолютно интегрируемая на [0,∞) функция. Предположим, что функция f(t) интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т] и принадлежит классу L
₂
(β(
t
), 0, ∞):

(11)
Требуется по изображению F(р) функции β(t)f(t), построить функцию f(t).

В интеграле (10) введем замену переменной x
=
e
^-
^t; тогда он приведется к виду

(12)
где

В силу условий, которые наложены на функции f(t) и β(t), интеграл (12) сходится всюду в плоскости Re

p
≥,0, поэтому переменной р можно придать значения 0, 1, 2, … и получить «взвешенные моменты» функции

(13)
После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию

по ее «взвешенным моментам»

, или, что тоже самое, найти функцию f(t) по значениям изображения функции β(t)f(t) в целочисленных точках p
=
k
(
k
= 0, 1, 2, …). В частном случае эту задачу можно упростить и по первым п + 1 «взвешенным моментам» искать многочлен

, такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с заданными моментами функции

, то есть чтобы выполнялись равенства

(14)
4.2.Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Лежандра

Рассмотрим частный случай весовой функции

(15)

или

Многочленами, ортогональными на отрезке [0,1] с весом

, будут смещены многочлены Лежандра

Они задаются формулой

при

или же формулой

Величина r_n в этом случае равна

и разложение функции f(t) по смещенным многочленам Лежандра имеет вид

(16)

Величины α_k вычисляются по формуле

(17)

в которой

- коэффициенты смещенного многочлена Лежандра

4.3. Обращение преобразования Лапласа с помощью смещенных многочленов Чебышева первого рода.

Положим теперь

Весовая функция имеет вид

Смещенные многочлены Чебышева первого рода

являются ортогональной системой на [0,1] по весу

Многочлены Якоби

отличаются от

только численным множителем, а именно

,

где

Многочлены

имеют вид

Значения r_n вычисляются по формулам

а разложение функции f(t) по смещенным многочленам Чебышева первого рода имеет вид

(18)
Коэффициенты a_k
(
k
=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой

- коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода

.

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов

, а именно:

Сделав замену переменной 2x
– 1 =
cosθ
(0≤θ≤π) и учитывая, что

разложение (18) можно переписать в виде:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию $\ F(s)$ комплексного переменного (изображение) с функцией $\ f(x)$ действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Интеграл Лапласа имеет вид:

где интегрирование производится по некоторому контуру L_в плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования

,
переводящего оригинал f
(
t
), 0<
t
<∞ в изображение F(p),

, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t
)
f
(
t
):

где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.    Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

2.   Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

3.   Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

4.    Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.

Размещено на Allbest.ru

Bukvasha