Реферат Вычисление интеграла по поверхности

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.12.2024

Содержание
1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности
Поверхность будем рассматривать

1. как образ замкнутой области

при непрерывном отображении

2. Отображение можно задать в векторном виде

в каждой точке гладкой поверхности

3. Для

существует нормаль

, перпендикулярный к касательным

кривым

в точке

. Следовательно

равен векторному произведению касательных к

векторов:
$C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_001.jpg$

поверхность

-
направление касательных прямых к

в т.

к поверхности

.
Направляющие косинусы нормали

к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:

Примеры векторных полей:

- поле скоростей текущей жидкости или газа.

- гравитационное поле

- электростатистическое поле.

Если в какой то области

, заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью

, к каждой точке

можно поставить в соответствие векторное поле

, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано:

- область ограниченная поверхностью

$C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_002.jpg$
Дано:

- поверхность

-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность

в направлении нормали

.

Функции

- непрерывны в области

с границей

.

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность

в направлении

.

Решение.

1. Поверхность

разобьем на

произвольных частей.

2. Выберем по точке

3. Вычислим

скорость течения жидкости в точке

4. Определим

, где

-скалярное произведение

-единичная нормаль к поверхности

в точке

- вектор в точке

.

5. Составим

6. Найдем

Механический смысл интеграла по поверхности

$C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_003.jpg$

-
объем цилиндра с основанием

и высотой

.

Если

-скорость течения жидкости , то

равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность

за единицу времени в направлении нормали

- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность

в положительном направлении нормали

равен потоку векторного поля

через поверхность

в направлении нормали

.

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль

$C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_004.jpg$
Заметим, что

$C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_005.jpg$
Действительно,

как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно

-угол между касательной плоскостью к

и его проекцией на плоскость

Следовательно

Вычисление интеграла по поверхности.
1.

Аналогично

Пример 1.

Найти поток вектора

через часть поверхности параболоида

в направлении внутренней нормали.

-проектируется на

с двух сторон и

образует с осью Ох углы

(острый и тупой )

Аналогично

Пример 2. Вычислить

, где

-сфера

, нормаль

внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора

через часть сферы

в направлении внешней нормали

Пример 4.

Пример 5.

Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.

-поток вектора через поверхность

в направлении

за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области

и количеством жидкости втекающей в область

.

1.

. Следовательно из области

жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2.

жидкости или газа вытекает больше, внутри

существует источник.

3.

жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри

существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри

нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.

Если

-непрерывна вместе с частными производными в области

то:

Поток изнутри

равен суммарной мощности источников и стоков в области

за единицу времени.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность

является глобальной характеристикой векторного поля в области

и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области

.

· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали

, а не абсолютное количество жидкости прошедшей через

независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

Определение:

стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля

в точке

называется предел отношения потока векторного поля через поверхность

к объему

, ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность

стягивается в точке

.

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля

исходящего из точки

, т.е. мощность источника и стока

находящегося в точке

- средняя объемная мощность потока

-существует источник в точке

- существует сток в точке

Теорема 2.

Доказательство:

ч.т.д.
Пример 1.

. Найти поток вектора

через всю поверхность тела

в направлении внешней нормали.

Решение:
1.

Литература
1.     Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980

2.     Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

4.     Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.

Размещено на Allbest.ru

Bukvasha