Реферат

Реферат Вычисление интеграла по поверхности

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 28.2.2025





Содержание
1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция

Литература

интеграл теорема доказательство
Интеграл по поверхности
Поверхность будем рассматривать

1.                 как образ замкнутой области  при непрерывном отображении  

2.                 Отображение можно задать в векторном виде  в каждой точке гладкой поверхности

3.                 Для  существует нормаль  , перпендикулярный к касательным  кривым  в точке . Следовательно  равен векторному произведению касательных к  векторов:
 C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_001.jpg 
  ,

 

поверхность

-
направление касательных прямых к  и  в т. к поверхности




.
Направляющие косинусы нормали  к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:

Примеры векторных полей:

- поле скоростей текущей жидкости или газа.

 - гравитационное поле

 - электростатистическое поле.

Если в какой то области , заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью , к каждой точке  можно поставить в соответствие векторное поле , то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано:  - область ограниченная поверхностью
C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_002.jpg 
Дано: - поверхность
 
-векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность  в направлении нормали .

Функции - непрерывны в области  с границей .

Т/н : поток жидкости (или газа) через поверхность  в направлении .

Решение.

1.                 Поверхность разобьем на  произвольных частей.

 

2.                 Выберем по точке

 

3.                 Вычислим скорость течения жидкости в точке

4.                 Определим , где -скалярное произведение

  -единичная нормаль к поверхности  в точке  

 - вектор в точке .

5.                 Составим

6.                 Найдем

Механический смысл интеграла по поверхности



C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_003.jpg
-
объем цилиндра с основанием  и высотой .

Если -скорость течения жидкости , то  равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность  за единицу времени в направлении нормали .

- общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность  в положительном направлении нормали  равен потоку векторного поля  через поверхность  в направлении нормали .

Вычисление интеграла по поверхности

Пусть нормаль :



C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_004.jpg
Заметим, что

  
C:\Documents and Settings\UserXP\Рабочий стол\ScreenHunter_005.jpg
 Действительно,  как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно , -угол между касательной плоскостью к  и его проекцией на плоскость
Следовательно


Вычисление интеграла по поверхности.
1.

 
Аналогично



Пример 1.

Найти поток вектора  через часть поверхности параболоида

 в направлении внутренней нормали.
 


 -проектируется на  с двух сторон и  образует с осью Ох углы  (острый и тупой )


Аналогично

 
Пример 2. Вычислить , где -сфера , нормаль внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора  через часть сферы  в направлении внешней нормали
 

Пример 4.  
 
Пример 5.



Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.
-поток вектора через поверхность  в направлении  за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области  и количеством жидкости втекающей в область .

1. . Следовательно из области  жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. жидкости или газа вытекает больше, внутри  существует источник.

3.  жидкости или газа втекает больше чем вытекает , внутри  существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри  нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.
 
Если -непрерывна вместе с частными производными в области  то:
 
Поток изнутри  равен суммарной мощности источников и стоков в области  

 за единицу времени.

 Величина потока вектора через замкнутую поверхность :

  является глобальной характеристикой векторного поля в области  и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .

·        Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали , а не абсолютное количество жидкости прошедшей через  независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

 Определение:-  стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля  в точке  называется предел отношения потока векторного поля через поверхность  к объему , ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность  стягивается в точке .

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля  исходящего из точки , т.е. мощность источника и стока  находящегося в точке .

- средняя объемная мощность потока .

-существует источник в точке .

- существует сток в точке
Теорема 2.
Доказательство:


 ч.т.д.
Пример 1. . Найти поток вектора  через всю поверхность тела ,  в направлении внешней нормали.

Решение:
1.

2.  
Литература
1.     Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы). – М. Высшая школа, 1980

2.     Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, I,II ч. М. Издательство МГУ, 1987

3.     Шилов Г.Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 – 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

4.     Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I,II ч. М. Наука 1981.

Размещено на Allbest.ru



1. Реферат Взяточничество и проблемы борьбы с ним
2. Реферат на тему Травма
3. Курсовая на тему Молочность свиноматок физиология значение и методы повышения молочности
4. Реферат Джеймстаун Виргиния
5. Реферат на тему The Usefulness Of Financial Statements Essay Research
6. Реферат на тему A Dream Deferred 2
7. Реферат на тему To What Extent Is Death In Venice
8. Курсовая на тему Учет материально-производственных запасов Расходы организации-
9. Реферат на тему The Events Leading To The Duel Between
10. Реферат на тему The Right To Choose