Реферат Сборник Лекций по матану
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
§12. Определенный интеграл
Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1,
x2,
x3, ¼, xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x1], [x1;x2], ¼, [xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1Î[a;x1], c2Î[x1;x2], ¼, cnÎ[xn-1;b].
Введем обозначения: Dx1 = x1 – a; Dx2 = x2 – x1; ¼, Dxn = b – xn-1.
Составим сумму:
| |
Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точек ci.
Каждое слагаемое интегральной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1.
Введем обозначение: l
= max(Dxi), i = 1, 2, ¼, n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.
Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом
от функции
Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.
| |
Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования.
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной, неотрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), отрезком [a;b] оси X, и прямыми x = a; x = b. Такую фигуру называют криволинейной трапецией. На рисунке 2 криволинейная трапеция выделена штриховкой. Площадь S этой трапеции определяется формулой
| |
Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке 3), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой
Перечислим свойства определенного интеграла:
1)
2)
3)
4) Если cÎ[a;b], то
Из этих свойств следует, например, что
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.
| |
Оказывается, что формула из пункта 4 справедлива и тогда, когда cÏ[a;b]. Пусть, например, c>b, как изображено на рисунке 4. В этом случае верны равенства
§13. Определенный интеграл как функция верхнего предела
Пусть функция f(t) определена и непрерывна на некотором промежутке, содержащем точку a. Тогда каждому числу x из этого промежутка можно поставить в соответствие число
| |
определив тем самым на промежутке функцию I(x), которая называется определенным интегралом с переменным верхним пределом. Отметим, что в точке x = a эта функция равна нулю. Вычислим производную этой функции в точке x. Для этого сначала рассмотрим приращение функции в точке x при приращении аргумента Dx:
DI(x) = I(x + Dx) – I(x) =
Как показано на рисунке 1, величина последнего интеграла в формуле для приращения DI(x) равна площади криволинейной трапеции, отмеченной штриховкой. При малых величинах Dx (здесь, так же как и везде в этом курсе, говоря о малых величинах приращений аргумента или функции, имеем в виду абсолютные величины приращений, так как сами приращения могут быть и положительными и отрицательными) эта площадь оказывается приблизительно равной площади прямоугольника, отмеченного на рисунке двойной штриховкой. Площадь прямоугольника определяется формулой f(x)Dx. Отсюда получаем соотношение
В последнем приближенном равенстве точность приближения тем выше, чем меньше величина Dx.
Из сказанного следует формула для производной функции I(x):
Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке xравна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция
Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x) = F(x) + C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид
I(x) – I(a) = F(x) + C – (F(a) +C) = F(x) – F(a). (2)
Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).
Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом
Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Примеры. 1.
2.
Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x) = xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем:
I = ex(x – 1)
При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:
Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j(a) = a; j(b) = b, а функции f, j, j
¢
должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.
Пример:
Сделаем замену: ln x = t или x = et, тогда если x = 1, то t = 0, а если x = e, то t = 1. В результате получим:
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
§14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Если положить промежуток интегрирования бесконечным, то приведенное выше определение определенного интеграла теряет смысл, например, потому что невозможно осуществить условия n®¥; l®0 для бесконечного промежутка. Для такого интеграла требуется специальное определение.
Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на полубесконечном промежутке [a;¥), тогда несобственным интегралом с бесконечным пределом
Аналогично
Примеры: 1.
2.
3.
Упражнения
1. Найти производные от следующих функций:
| 1) | | 2) | |
| 3) | | 3) | |
| 5) | | 6) | |
| 7) | | 8) | |
| 9) | | 10) | |
| 11) | | 12) | |
| 13) | | 14) | |
| 15) | | 16) | |
