ПРИМЕНЕНИЕ  ЭКОНОМИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ  МЕТОДОВ

       ПРИ РЕШЕНИИ КОНКРЕТНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ



                                                                                     
                                                                                 

                                              

7.1.   ГРАФИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ
    Графические  методы  связаны  прежде  всего  с геометрическим  изображением  функциональной  зависимости  при  помощи  линий  на  плоскости.  Графики  используются  для  быстрого  нахождения  значения функций  по соответствующе-

му  значению  аргумента,  для  наглядного  изображения  функциональных  зависимостей.

             В  экономическом  анализе  применяются  почти  все  виды  графиков:  диаграммы  сравнения,  диаграммы  временных  рядов,  кривые  распределения,  графики  корреляционного  поля, статистические  картограммы. Особенно  широ-

ко  распространены  в  анализе  диаграммы  сравнения - для  сравнения  отчетных  показателей  с  плановыми,  предшествующих  периодов  и  передовых  предприя-

тий.  Для  наглядного  изображения  динамики  экономических  явлений  ( а  в анализе  с  динамическими  рядами  приходится иметь  дело  очень  часто  )  ис-

пользуются  диаграммы  средних  рядов.

               С помощью  координатной  сетки  строятся  графики  зависимости,  например,  уровня  издержек  от  объема  произведенной  и  реализованной  прод

укции,  а  также  графики,  на  которых  можно  изображать и  корреляционные  связи  между  показателями.  В  системе  осей  координат  изображение оказывает влияние  различных  факторов  на  тот  или  иной  показатель.

                Широко применяется  графический  метод  для  исследования  производст  венных  процессов,  организационных  структур,  процессов  программирования  и  т. д.  Например,  для  анализа  эффективности  использования  производственного  оборудования  строятся  расчетные  графики,  в  том  числе  графики множественн-

ых  факторов.

                 В  математически  формализованной  системе  анализа,  планирования  и  управления  особое  место  занимают  сетевые  графики.  Они  дают  большой  эко-

номический  эффект  при  строительстве  и  монтаже  промышленных  и  других  предприятий.

                 Сетевой  график   позволяет  выделить  из  всего  комплекса  работ  наи-

более  важные,  лежащие  на  критическом  пути,  и  сосредоточить  на  них  основные  ресурсы  строительно-монтажных  организаций, устанавливать  взаимосвязь  между  различными  специализированными  организациями  и  координировать  их   работу.  Работы,  лежащие  на  критическом  пути,  требуют  наиболее  продолжительного  ожидания  поступления  очередного  события.  На  стадии  оперативного  анализа  и  управления  сетевой  график  дает  возможность  осуществлять  действенный  контроль  за  ходом  строительства,  своевременно  принимать  меры  по  устранению  возможных  задержек  в  работе.

                  Применение  сетевых  графиков  анализа,  планирования  и  управления  обеспечивает,  как  показывают  многие  параметры,  сокращение  сроков  строительства  на  20-30% ,  повышение  производительности  труда   на 15-20%.

                   При  анализе,  осуществляемом  непосредственно  на  стройках,  использование  материалов сетевого  планирования  и  управления  способствует  правильному  определению  причин,  влияющих  на  ход  строительства,  и  выявлению  предприятий,  не  обеспечивающих  выполнение  порученных  им  работ  или  поставку  оборудования  в  сроки,  установленные  графиком.

              Разработка  сетевого  графика  в  строительстве  осуществляется  при  наличии:  норм  продолжительности  строительства  и  срока  ввода  в  действие  объекта  или  комплексов  объектов,  проектно-сметной  документации,  проекта  организации  строительства  и  производства  работ,  типовых  технологических  карт,  действующих  норм  затрат  труда,  материалов  и  работы  машин.  Кроме  того, при  составлении  графика  используются  опыт  выполнения  отдельных  работ,  а  также  данные  о  производственной  базе  строительных  и монтажных  организаций.

               На основе  всех  этих  данных  составляется  таблица  работ  и  ресурсов,  где  в  технологической  последовательности  производства  работ  указываются  их  характеристика,  объем,  трудоемкость  в  человеко-днях,  исполнитель ( орга-

низация  и  бригада ),  численность  рабочих,  сменность, потребность  в  механиз-

мах  и  материалах,  источники  их  поступления,  общая  продолжительность  выполнения  работы  в  днях,  а  также  предшествующее  задание,  после  оконча-

ния  которого  можно  начинать  данную  работу.  Исходя  из  показателей  такой  таблицы,  подготавливают  сетевой  график  который  может  иметь  различную  степень  детализации  в  зависимости  от  принятой  схемы  производства  работ  и  уровня  руководства;  кроме  общего  графика  выполняемых  ими  работ.

                 Основные  элементы  сетевого  графика:  событие,  работа,  ожидание,  зависимость.

                 При  анализе  хода  строительства  объекта  следует  устанавливать,  правильно  ли  составлен  сетевой  график,  не  допущено  ли  при  этом  завыше-

ние  критического  пути,  учтены  ли  при  оптимизации  графика  все  возможнос-

ти  его  сокращения,  нельзя  ли  какие-либо  работы  выполнять  параллельно  или  сократить  время,  затрачиваемое  на  них,  путем  увеличения  средств  механиза-

ции и  др.  Это  особенно  важно  в  тех  случаях,  когда  продолжительность  работ  по  графику  не  обеспечивает  окончание  строительства  и  срок.

                 Основным  материалом  сетевого  планирования,  используемого  при  анализе,  является  информация  о  ходе  работ  по  графику, который  обычно  составляется  не  реже  одного  раза  в  декаду.  В  качестве  примера  приводится  карта  задания  и  информации  о  ходе  работы  по  объекту  строительства,  осуществляемому  по  сетевому  графику .  По  данным  карты,  критические  работы  выполнялись  в  начале  месяца  с  опережением  графика,  однако  затем  было  допущено  отставание  монтажа  подкрановых  балок  по  ряду  Б— ,  а  последующая  работа — монтаж  подкрановых

балок  по  ряду  А —   закончена  с  отставанием  на  один  день.

                  Оптимизация  сетевых  графиков  осуществляется  на  стадии  планирования  посредством  сокращения  критического  пути,  т.е.  минимизация  сроков  выполнения  строительных  работ  при  заданных  уровнях  ресурсов,  минимизация  уровня  потребления  материальных,  трудовых  и  финансовых  ресурсов  при  фиксированных  сроках  выполнения  строительных  работ.  Возможен  и  смешанный  подход:  для  одной  части  работ ( более  дорогостоя-

щих ) —  минимизировать  сроки  при  фиксированном  уровне  ресурсов.

                    Решение  оптимизационных  задач  существенно  облегчается  наличием  пакетов  прикладных  программ  (ППП),  приспособленных  к  состав-

лению  оптимальных  сетевых  графиков  на  ЭВМ.

                    В  зарубежной  практике  системного  анализа  распространен  графо-математический  метод,  получивший  название  “  дерево  решений  “.  Суть  этого  метода  заключается  в  следующем.

                     Путем  предварительной  оценки  потребностей,  предварительного  анализа  возможных  организационных,  технических  или  технологических  условий  намечаются  все  предполагаемые  варианты  решения  данной  задачи.  Вначале  разрабатываются  укрупненные  варианты.  Затем  по  мере  введения  дополнительных  условий  каждый  из  них  расчленяется  на  ряд  вариантов.  Графическое  изображение  этих  вариантов  позволяет  исключить  менее  выгод-

ные  из  них  и  избрать  наиболее приемлемый.

                      Этот  метод  может  найти  у  нас  применение  при  определении  порядка  обработки  тех  или  иных  деталей  на  нескольких  станках  в  целях  минимизации  общего  времени  обработки;  при  установлении  размеров  ресур-

сов  для  минимизации  общих  производственных  издержек;  при  распределении  капиталовложений  и  других  ресурсов  по  промышленным  объектам;  при  ре-

шении  транспортных  и  других  задач. 
 
МЕТОД  КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО  АНАЛИЗА
           Метод  корреляционного  и  регрессинного  анализа  широко  используется

для  определения  тесноты  связи  между  показателями,  не  находящимися  в фун-

кциональной  зависимости.  Теснота  связи  между  изучаемыми  явлениями  измеряется  корреляционным  отношением  ( для  криволинейной  зависимости ).

Для  прямолинейной  зависимости  исчисляется  коэффициент  корреляции.

            Одной  из  распространенных  аналитических  задач,  решаемых  с  приме-

нением  корреляционно-регрессионного  метода,  является  задача  на  запуск — выпуск.  Допустим,  что  имеются  фактические  данные  о  запуске  и  выпуске  промышленных  изделий. 
 Фактические  данные  о  запуске —  выпуске

                                                               промышленных  изделий,  тыс.  шт.

          

     

Запуск     xi            18		22	13	20	15	14	xi=102             i
Выпуск    yi	17,9	20,9	11,6	18,7	14,1	12,9	yi=95,4             i

        Требуется  определить  зависимость  выпуска  изделий  в  среднем  от  их  запуска,  составив  соответствующее  уравнение  регрессии.

         Значения  x  и  y  определяются  по  формулам:

                                                                                                                                             x=                                   ;   y=                                      ;   n=6,  i=1,  .....  , 6;

                                  102                                95,4     

                                           x=      6      =   17  ;      y  =      6     =  15,9.

   

           

             Дальнейшим  вычислениям  придается  табличная  форма,  что  повышает

их  наглядность.

( x i - x  )

2   ( xi yi  -  xi yi  )

( yi -  y )

2      (  yi  -  y )

(xi - xi )  ( yi - y )

          1                               1                             1,3                         1,69                        1,3

          5                              25                              5                            25                         25

     — 4                              16                       — 4,3                       18,49                      17,2

          3                                9                            2,8                        7,84                        8,4                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

     — 2                                4                        — 1,8                        3,24                        3,6                 

     — 3                                9                          — 3                             9                           9




           ( xi -  x )   = 64                                   ( yi - y ) = 65,26                   (  xi - x )  ( yi - y )=64 , 5                 

         i                                                                        i                                                          i
         Теснота  связи  между  показателями  запуска  и  выпуска  измеряется  коэффи-

циентом  корреляции,  который  исчисляется  по  формуле

                                                                                     

                                                  V=

        

       Подставляя  соответствующие  значения,  получим:
               

                    
.
.

                

                10,75                10,75

     V=  3,27 * 3,30  =     10,79  = 0,996.
             Считая  формулу  связи  линейной  ( y=a0 + a1 x ),  определим  зависимость

выпуска  промышленных  изделий  от  их  запуска.  Для  этого  решается  система

нормальных  уравнений:
                        na + a1        xi =      yi

                                           i          i

                   a0      xi + a1      xi  =      xi yi
                Величины         x2   и        xi yi  представлены  в  следующей  таблице
  

2   xi	324	484	169	400	225	196	xi=1798
xi yi	309,6	459,8	150,8	374,0	211,5	180,6	xi yi =1686,3

                 Значение  a0  определяем  из  первого  уравнения:

                              6a0+ 102a1 =95,4;

                           102a0+1798a1 =1686,3;

                               95,4 — 102a1 

                  a0 =                6               ,    или  a0 = 15,9 — 17a1.
                 Подставляя  найденное  выражение  а0  во  второе  уравнение,  находим

значение  а1:

                              102 (15,9 —  17a1)+1798a1 = 1683,3;

                                 1621,8 —  1734a1 + 1798a1 =1686,3;
                    95,4 — 102a1

            a0=           6                ,  или  a0=15,9 — 17a1.

                     

                 Подставляя  найденное  выражение  а0  во  второе  уравнение,   находим  значение  а1:

                             102 ( 15,9 — 17а1)+1798а1=1686,3;

                                  1621,8 — 1734а1+1798а1=1686,3;

                                       64a1=1686,3 — 1621,8;

                                             64a1=64,5;  a1=1,01;

                          a0=15,9 — 17 * 1,01;  a0=15,9 — 17,17;

                                      a0= — 1;

                 Итак,  уравнение  регрессии  в  окончательном  виде  получило  следу-

ющий  вид:

                                   y= — 1,27+1,01x

                                        Проверка:

                y= — 1,27+1,01 * 17= — 1,27+17,17;

                                    y=15,9.
МЕТОДЫ  ЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ
                 Методы  линейного  программирования  применяются  для  решения

многих  экстремальных  задач,  с  которыми  довольно  часто  приходится  иметь 

дело  в  экономике.  Решение  таких  задач сводится к  нахождению  крайних  значений  ( максимума  и  минимума )  некоторых  функций  переменных  величин.

                  Линейное  программирование  основано  на  решении  системы  линей-

ных  уравнений  ( с  преобразованием  в  уравнения  и  неравенства ),  когда  зави-

симость  между  изучаемыми  явлениями  строго  функциональна.  Для  него  ха-

рактерны  математическое  выражение  переменных  величин,  определенный  по-

рядок,  последовательность  расчетов  ( алгоритм ),  логический  анализ.  Приме-

нять  его  можно  только  в  тех  случаях,  когда  изучаемые  переменные  величи-

ны  и  факторы  имеют  математическую  определенность,  когда  в  результате  известной  последовательности  расчетов  происходит  взаимозаменяемость  фак-

торов,  когда  логика  в  расчетах,  математическая  логика  совмещаются  с  логи-

чески  обоснованным  пониманием  сущности  изучаемого  явления.

                 С  помощью  этого  метода  в  промышленном  производстве,  например,

исчисляется  оптимальная  общая  производительность  машин,  агрегатов,  поточ-

ных  линий  ( при  заданном  ассортименте  продукции  и  иных  заданных  величин)

решается  задача  рационального  раскроя  материалов  ( с  оптимальным  выхо-

дом  заготовок ).  В  сельском  хозяйстве  он  используется  для  определения  ми-

нимальной  стоимости  кормовых  рационов  при  заданном  количестве  кормов      ( по  видам  и  содержащимся  в  них  питательным  веществам ).  Задача  о  смесях

может  найти  применение  и  в  литейном  производстве  ( состав  металлургичес-

кой  шихты ).  Этим  же  методом  решаются  транспортная  задача,  задача  раци-

онального  прикрепления  предприятий-потребителей  к  предприятиям-произво-

дителям.

                 Все  экономические  задачи,  решаемые  с  применением  линейного  про-

граммирования,  отличаются  альтернативностью  решения  и  определенными  ограничивающими   условиями.  Решить  такую  задачу —  значит  из  всех  допус-

тимо  возможных ( альтернативных )  вариантов  лучший,  оптимальный.  Важно- сть и  ценность  использования  в  экономике  метода   линейного  программиро-

вания  состоят  в  том,  что  оптимальный  вариант  выбирается  из  весьма  значи-

тельного  количества  альтернативных  вариантов.  При  помощи  других  спосо-

бов  решать  такие  задачи  практически  невозможно.

                 В  качестве  примера  рассмотрим  решение  задачи  рациональности  ис-

пользования  времени  работы  производственного  оборудования.

                 В  соответствии  с  оперативным  планом  участок  шлифовки  за  первую  неделю  декабря  выпустил  500  колец  подшипников  типа  А,  300  колец  типа  Б  и  450  колец  для  подшипников  типа  В.  Все  кольца  шлифовались  на  двух  вза-

имозаменяемых  станках  разной  производительности.  Машинное  время  каждо-

го  станка  составляет  5000  мин.  Трудоемкость  операций  (  в  минутах  на  одно

кольцо )  при  изготовлении  различных  колец  характеризуется  следующими  данными:



                                                      

                                               Затраты  времени  на  одно  кольцо      

      Станки                                       типов,  мин




                                          А                            Б                                  В      

                                                   

            1                             4                             10                                10

            2                             6                              8                                 20
                 Следует  определить  оптимальный  вариант  распределения  операций

по  станкам  и  время,  которое  было  затрачено  при  этом  оптимальном  варианте.  Задачу  выполним  симплексным  методом.

                 Для  составления  математической  модели  данной  задачи  введем  следующие  условные  обозначения:

x1,  x2,  x3 — cоответсвенно  количество  колец  для  подшипников  типов  А,  Б,  В,

                        производимых  на  станке  1;

x4,  x5,   x6 ---- соответственно  количество  колец  подшипников  типов  А,  Б,  В,  производимых  на  станке  2.

                 Линейная  форма,  отражающая  критерий  оптимальности,  будет  иметь  вид:

                  min a ( x ) = 4x1+10x2+10x3+6x4+8x5+20x6

при  ограничениях

             4x1+10x2+10x3                                                                                        < =5000

                                                     6x4+8x5+20x6                                < =5000

              x1                                  +x4                                                       = 500

                           x2                                 +x5                                           = 300

                                       x3                                    +x6                            = 450

                                                                                    xi >=0,  j = 1, . . . . , 6

                 Преобразуем  условие  задачи  введением  дополнительных  ( вспомога-

тельных )  и  фиктивных  переменных.  Условие  запишем  так :

                     min a( x ) = 4x1+10x2+10x3+6x4+8x5+20x6+Mx9+Mx10+Mx11.