Абстрактная теория групп                                                    

(продолжение)
6.  
Реализация абстрактной группы как группы преобразований.

         Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.

Пусть  некоторая подгруппа.

А) Для каждого  определим отображение (левый сдвиг на элемент
h) формулой .

Теорема 1

1.  

2.   Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.


3.   Соответствие:  является изоморфизмом групп H и L(H,G).


Доказательство.

1.   Надо проверить, что отображение  взаимно однозначно для всякого . Если , то  по закону сокращения. Значит  инъективно. Если любой элемент, то  и  так что  к тому же и сюръективно.

2.   Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что  и . Пусть  любой элемент. Имеем: ;  и значит, .


3.   Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше:  .


Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

Для случая конечных групп получается теорема Кэли
:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n.

B) Для каждого  определим отображение (правый сдвиг на элемент
h) формулой .

Теорема
B.

1.   .

2.   Множество  является группой преобразований множества G.


3.   Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).


Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а .

С) Для каждого  определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой .

Теорема С.

1.   Каждое отображение  является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).

2.   Множество  является группой преобразований множества G.


3.   Отображение  сюръективно и сохраняет операцию.


Доказательство.

1.   Поскольку , отображение  взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем:  и потому  сохраняет операцию.

2.   Надо проверить, что  и . Оба равенства проверяются без труда.


3.   Сюръективность отображения  имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.


Замечание об инъективности отображения
q.

В общем случае отображение q не является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования  будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что  или                       (1)                В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество  называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что . Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы
H в
G тривиален, отображение
q является изоморфизмом.

7.  
Смежные классы
; классы сопряженных элементов.

             Пусть, как и выше,  некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита   называется левым смежным классом  группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам .Заметим, что  стабилизатор St(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G))  ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного .

Орбиты  группы  называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются  Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть:

, , .

Правые смежные классы:

, , .

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

, , , .

В то же время,

, , .

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы .

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если  эти подгруппы, то  их общая подгруппа и по теореме Лагранжа  - общий делитель порядков H и K то есть 1.

8.  
Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

             Пусть  любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения  является изоморфизмом. Подгруппа  называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: .

Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

1.   В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

2.   В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа  и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

3.   В рассмотренной выше группе  подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы  и .


4.   Если - любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.


5.   Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.


Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть .

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H .Но тогда


= = = .

       Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.