Реферат Площадь поверхности тел вращения
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
МПС РФ
Омский Государственный Университет Путей Сообщения
Р Е Ф Е Р А Т
«Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла
.
»
выполнила
:
студентка группы 29 Г
Митрохина Анна
Проверил
:
Гателюк О.В.
Омск
2000г.
ИНТЕГРАЛ (от лат.
Integer -
целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
Символ
В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Самое важное из истории интегрального исчисления!
Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).
Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.
Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .
| |
Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.
| |
Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x)
, которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx
. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме S =
На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И. Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “
Новая астрономия
” (1609 г.) и “
Стереометрия винных бочек
” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).
Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б. Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).
В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой y =
целое (т. е. вывел формулу
| |
Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано:
дифференциальное и интегральное исчисление создано.
Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И. Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.
Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).
Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.
| |
Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)
ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f(x) вокруг оси Ох.
Определим площадь этой поверхности на участке а ≤ х ≤ b. Функцию f(x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,….Мn-1B длины которых обозначим через ΔS1, ΔS2… ΔSn (рис. 1). Каждая хорда длины ΔSi (i=1,2,….n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ΔPi равна:
Применяя теорему Лагранжа получим:
Следовательно
Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме
, или сумме
, (1)
распространенной на все звенья ломаной.
Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ΔSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции
, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,ξi..
Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
или
(3)
Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке а
≤
x
≤
b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f(x).
Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t0 ≤ t ≤ t1) то формула (3) имеет вид,
