Реферат Билеты по геометрии за 11 класс
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Билет №16
1. Конус (формулировки и примеры)
2. Признак параллельности прямой и плоскости
1.рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью
а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L
, называется конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости основания. От-резок ОР называется высотой конуса.
Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥ к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО1М1
Билет №7
1. Угол между скрещивающимися прямыми
2. Площадь боковой поверхности цилиндра.
1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD
Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1 =φ, то будем говорить , что ∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1∥ А2D2 , С1D1∥ C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ∠А1М1С1 и ∠А2М2С2 , ∠А1М1D1 и∠А2М2D2 ) потому эти ∠ равны , ⇒ что ∠ между А2В2и С2D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ
2.
Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту
Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула
S бок=2πrh
Билет № 15
1. Цилиндр (формулировки и примеры)
2. Признак параллельных прямых.
1. Рассмотрим две параллельные плоскостиα и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность
L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами
L и L1 ,
называется цилиндром
. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥ к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .
Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b
. Докажем теорему о параллельных прямых.
Т е о р е м а.
Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.
Д
-
во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит
пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b
. Итак, b
— единственная прямая, проходящая через т М параллельно прямой а. Теорема доказана.
Билет № 17
1. Сфера, шар( формулировки, примеры)
2. Признак параллельности плоскостей.
Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or
данной точки
Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R
с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.
2.Теорема.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны.
Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости α лежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a1 и b\
,
причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.
Но плоскость a проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.
Билет № 14
1. Пирамида(формулировка , примеры)
2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку.
1. Рассмотриммногоугольник А1А2…Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3…,РаnА1.
Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2…Аn и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1А2…Аn назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирами-ды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1,РА2, …, РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,…Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2…Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , прове-денный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых граней
Билет № 9
1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)
2. Сложение векторов. Свойства сложения.
2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b.
Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н.);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА
Билет № 10
1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры)
2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.
1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.
У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (Ð АОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани ^к ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1О1В1 =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°, <90°, >90°)
2. Произведение ненулвого вектора а на число k
называется такой вектор
b
, длинна которого равно |k|·|a|
, причем вектор
a
и
b
сонаправлены при
k≥ 0 и противоположно направлены при
k<0.
Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:
(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)
k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)
(k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н)
отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka.
Билет № 11
1. призма (формулировки , примеры)
2. Скалярное произведение векторов.
1.Рассмотрим два равных многоугольника А1А2.., Ап и В1В2....Вп, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В1 ,А2В2, ..., АпВп, соединяющие соответственные вершины мн-
ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A
1
A2B2B
1
,
А2А3В3В2, .... AnA
1
B
1
Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A
1
A
2
.
...
An и B
1
B
2
...Bn наз основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1В1, А2В2 ..., АпВп наз бо-
коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A
1
A
2
.
...
An и B
1
B
2
...Bn
обозначают-A
1
A
2
.
...А
n
В
1
В2...В
n
и называют п-угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед. ^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^ к основаниям, то призма наз пря-
мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-
вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности приз
-
мы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь Sполн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму Sполн = S6oк+ 2Sосн.
2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b| cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb= x1x2+y1y2+z1z2. Косинус Ð a между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1} и b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.
| соsa= | x1x2+y1y2+z1z2. | В самом деле, так как а b =|а|×|b|, то | cosa= | ab |
| √x12+y1²+z12 ⋅√ x22+y2²+z22 | |a|×|b| |
Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства:
10.а2 ³) , причем а2>0 при а¹0
20.ab=ba(переместительный з-н)
30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н)
40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н)
Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)
Билет № 12
1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры)
2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку.
Билет №20
1. Фрмула обьема шара( формула примеры)
2. Теорема о трех перпендикулярах
1. Теорема:
Объем шара радиуса R равен 4/3
p
R3
Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 =ÖR2-x2.Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2- x2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
| V | R R R R | px3 | R | 4 | | |
| =∫p(R2-x2)dx= pR2∫ dx-p∫x2dx=pR2x½- | ½= | pR3 | ||||
| 3 | 3 | |||||
| -R -R -R -R | -R | |
Билет № 6
1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры)
2. Объем конуса.
2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ1А1 и ОМА=> что
| ОМ1 | = | R1 | , или | x | = | R1 | откуда | R= | xR | так как | S(x)= pR12 | ,то | S(x)= | pR2 |
| ОМ | R | h | R | h | h2 |
Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим
| | h | | | | h | | | | h | |||
| V= | ∫ | πR2 | x2dx= | πR2 | ∫ | x2dx= | πR2 | × | x3 | ½ = | 1 | πR2 h |
| h2 | h2 | h2 | 3 | 3 | ||||||||
| | 0 | | | | 0 | | | | 0 | |||
Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3Sh. Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3h(S·S1+√ S·S1).
Билет № 3
1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2. Объем призмы.
1.Теорема. Если прямая, ке лежащая в данной шюскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости,
то она параллельна данной шюскости.
Д-во. Рассмотрим пл α и две параллельные прямые a и b, распо-ложенные так, что прямая b лежит в пл α , а прямая a не лежит в этой. Докажем, что a||α. Допустим, что это не так. Тогда прямая a пересекает пл α, а значит, по лемме о пересечении плоскости парал-лельными прямыми прямая b
также пересекает пл α. Ho это невоз-можно, так как прямая b лежит в пл α. Итак, прямая а не пересекает пл α, поэтому она параллельна этой плоскости.чтд.
Докажем еще 2 утверждения,
1˚ . Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой пл, и пересекает эту пл, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.Пусть через данную прямую а, парал-лельную пл α проходит пл β, пересекающая пл α пo прямой b . До-кажем, что b||а.Действительно, эти прямые лежат в одной пл (в пл β) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы пл α, что невозможно, поскольку по условию a||α.
2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной пл, то другая прямая либо также параллельна данной пл, либо лежит в этой пл..В самом деле, пусть a и b — параллель-ные прямые, причем прямая a параллельна пл α. Тогда прямая a не пересекает пл α, и, =>, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает пл α. Поэтому прямая b либо параллельна пл α, либо лежит в этой пл.
2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
Д-во: Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В1С1с объемом V и высотой h.
Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆. Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому объем V1 и V2 соответственно равны SABD ·h и SВСD ·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е V= SABD ·h+ SВСD ·h= (SABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h
Д-во Возьмем произвольную прямую призму с высотой h и площадью основания S. Такую
призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h
, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.
Билет №5
1. Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2. Объем цилиндра.
1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ проведенным из
т А к пл α, a т Н
— основанием ^. Отметимв пл α какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он называется наклонной
, про-вед из т А к пл α , а т М — основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном ∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM
- гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.
=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т А к пл α , называется расстоянием от т A
до пл α
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
2.
Теорема
.
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную n-угольную призму Fn а в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Рп. Так как объем призмы Fn равен Snh, где Sn- площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Snh<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом радиус rп цилиндра Рп стремиться к радиусу r цилиндра Р(rп=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V цилиндра Рп стремиться к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства (Vn<Snh<V) =>, что
n→∞
limSnh=V. Но limSn=πr2 Т.о V=πr2h. т.к πr2=S , то получим V=Sh.
n→∞ n→∞
Билет № 13
1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры)
2. Теорема о боковой поверхности призмы.
1.
Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки,
ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD1 ^ к основаниям. Отсюда=>, что АА1^АВ, т. е. боковая граyь АА1
В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:
1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал-
да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда.
2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений
.
