Реферат Языки натурального ряда, действительных чисел, рациональных чисел, векторных систем, Евклидовой
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Цели:
1. показать, что языки натурального ряда, действительных чисел, рациональных чисел, векторных систем, Евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского построены по правилу структуры;
2. найти реализации системы аксиом T.
Задачи:
1. Сформулировать понятие отношений между объектами;
2. Сформулировать понятие математической структуры;
3. Привести примеры математических структур;
4. Сформулировать теорию математической структуры;
5. Привести примеры реализации системы аксиом Т.
Понятие отношений между объектами.
Принято считать, что всякое отношение выражает связи между объектами или, что тоже, элементами x, y, … , некоторых множеств AÎx, BÎy, … . Отношения между двумя элементами xÎA и yÎB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать P(x,y), xÎA, yÎB. Отношение P(x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение P(x,y) определяет множество p(x,y) упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xÎA и yÎB по следующему правилу:
(x,y) Îp Û {выполняется P(x,y)} (1)
Множество упорядоченных пар (x,y) "xÎA и "yÎB называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается A´B.
Следствие 1.
Всякое бинарное или двухместное отношение P(x,y) между элементами x, y двух множеств AÎx и BÎy представляется некоторым подмножеством P(x,y)ÌA´B по закону (1). Обратно, всякое подмножество PÌ A´B по этому же закону (1) представляет некоторое отношение P(x,y).
Отношение P(x,y) между элементами множества Q называется отношением эквивалентности, обозначим его P(x,y)º(x~y), если выполняются три условия:
1. Рефлексивности x~y;
2. Симметричности: если x~y, то y~x;
3. Транзитивности: если, x~y, y~z, то x~z.
Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.
Любое отношение эквивалентности P(x,y) для (x,y)ÎQ´Q определяет новое множество классов эквивалентности: два элемента x,yÎQ попадают в один класс тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством Q по отношению P и обозначается Q/P или Q/p, что равносильно в силу следствия 1.
Отношение эквивалентности разбивает множество Q на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение Q на непересекающиеся классы задает на Q отношение эквивалентности. Действительно, если Q=Q
(xÎQ
Следствие 2.
Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множества на непересекающиеся подмножества.
Аналогично двухместному, определяются n–местные отношения между элементами x
Декартово произведение A
{ P(x
Понятие математической структуры.
Аксиоматика натурального ряда, аксиоматика натуральных чисел, аксиоматика действительных чисел, векторные системы, Евклидова геометрия, геометрия Лобачевского – все эти «языки» построены по одному общему правилу – правилу структуры.
Структура подразумевает знаковую систему такую, что:
· Выделены объекты Q (Q1, Q2, Q3…), ( в геометрии точки, примеры, плоскости);
· Заданы отношения P(P1,P2,P3…) между объектами (в геометрии 5 отношений: инцидентности, порядка, конгруэнтности, отношения, определяющие свойства непрерывности, отношение параллельности);
· Указана система аксиом Т (Т1, Т2…Т20), в геометрии их 20, регулирующая отношения P над Q.
Следовательно, математической структурой называется система отношений P(P1,P2,P3…), заданная на базовых множествах посредством Q (Q1, Q2, Q3…) системы аксиом Т (Т1, Т2…Т20) .
Таким образом, определенную математическую структуру будем обозначать
Примеры.
Указанные в начале пункта аксиоматики задают, соответственно, структуры: натуральных чисел, действительных чисел, векторных пространств, структуру геометрического евклидова пространства и структуру арифметического евклидова пространства.
Теория структуры - система всех утверждений, доказываемых логическим путем в структуре
Пример.
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника является элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии без аксиом параллельности).
Модель или реализация системы аксиом.
Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T.
Модель или реализация системы аксиом T называется также моделью или реализацией как аксиоматической теории
Примеры реализаций:
· Множество действительных чисел является реализацией евклидовой прямой.
· Арифметическая модель векторного пространства является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.
· Арифметическая модель евклидова пространства
является реализацией как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.
· Множество n–местных наборов чисел (x
· Модель Пуанкаре является реализацией планиметрии Лобачевского.
