Содержание

Основы корреляционного анализа

Задание 1

Задание 2

Задание 3
Основы корреляционного анализа

Корреляционный анализ, разработанный К.Пирсоном и Дж.Юлом, является одним из методов статистического анализа взаимозависимости нескольких признаков - компонент слу­чайного вектора x. Основная задача корреляционного анализа состоит в оценке степени зави­симости между случайными величинами. Степень линейной зависимости между количест­венными переменными характеризуется с помощью парных, частных и множественных ко­эффициентов корреляции и детерминации.

Парный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными на фоне действия всех остальных показателей, входящих в модель. Частный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между двумя переменными при исключении влияния всех остальных показателей, входя­щих в модель. Данные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1, при­чем чем ближе коэффициент корреляции к +1, тем сильнее зависимость между перемен­ными. Если коэффициент корреляции больше 0, то связь положительная, а если меньше нуля - отрицательная.

Множественный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между одной переменной (результативной) и остальными, входящими в модель; изменя­ется в пределах от 0 до 1. Квадрат множественного коэффициента корреляции называется множественным коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии одной переменной (результативной), обусловленной влиянием всех остальных переменных (ар­гументов), входящих в модель.

Исходной для анализа является матрица:



размерности (n x k), i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k-м показателям (/=1, 2, ..., k).

В корреляционном анализе матрицу X рассматривают как выборку объема n из k-мерной генеральной совокупности, подчиняющейся k-мерному нормальному закону рас­пределения.

По выборке определяют оценки параметров генеральной совокупности, а именно: вектор средних (х ), вектор средне-квадратических отклонений s и корреляционную мат­рицу (R) порядка (k*k):


Матрица R является симметричной и положительно определенной:



где - значение i-го наблюдения j-го фактора; Гц - выборочный парный коэффи­циент корреляции, характеризует тесноту линейной связи между показателями xj и x/. При этом г-/ является оценкой генерального парного коэффициента корреляции.

Кроме того, находятся точечные оценки частных и множественных коэффициентов корреляции любого порядка. Например, частный коэффициент корреляции (к-2)-го поряд­ка между факторами и  равен:



где - алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы R. При

этом где M- - минор, определитель матрицы, получаемой из матрицы R путем вычеркивания  j-й строки и l-го столбца.

Множественный коэффициент корреляции (к-1)-го порядка фактора (результатив­ного признака) X₁ определяется по формуле:



где- определитель матрицы R.
Задание 1


По данным n=10 машиностроительных предприятий методами корреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующими показателями: X₁ - рентабельность (%); Х₂ - премии и вознаграждения на одного работника (млн.руб.); X₃ - фондоотдача.

№ п/п	X1	Х2	X3
1	13,26	1,23	1,45
2	10,16	1,04	1,30
3	13,72	1,80	1,37
4	12,82	0,43	1,65
5	10,63	0,88	1,91
6	9,12	0,57	1,68
7	25,83	1,72	1,94
8	23,39	1,70	1,89
9	10,05	0,60	2,06

Требуется:

а) рассчитать вектора средних и среднеквадратнческих отклонений, матрицу пар­ных коэффициентов корреляции

б) проверить при α=0,05 значимость парного коэффициента корреляции ρ₁₂ и найти его интервальную оценку с доверительной вероятностью γ=0,95;

в)  по корреляционной матрице R рассчитать частный коэффициент корреляции ;

г) проверить при α=0,05 значимость частного коэффициента корреляции ρ_12/3 и определить его интервальную оценку при γ=0,95;

д) по корреляционной матрице R вычислить оценку множественного коэффициента корреляции  и при α=0,05 проверить гипотезу Н₀: .
Решение:

а) рассчитаем вектора средних и средне – квадратических отклонений, матрицу парных коэффициентов корреляции .



Расчет представлен в таблице 1.

В результате получим:



б) проверим при  значимость парного коэффициента корреляции .

Найдем

Здесь  для парного коэффициента корреляции.

Так как , то гипотеза  отвергается, т.е. предположение о его равенстве нулю отвергается, противоречит наблюдениям, но  мало. Найдем интервальную оценку для  при .

По таблице преобразования Фишера для  будет иметь .

По таблице нормального распределения из условия найдем .

Тогда

Откуда

По таблице Z – преобразования для  и  найдем интервальную оценку для :



Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о не значимости парного коэффициента корреляции , т.к. ноль находится внутри доверительного интервала.

в) рассчитываем частный коэффициент корреляции :



где

г) проверим при значимость частного коэффициента корреляции  и определим его интервальную оценку при .

Найдем

, значит, отвергаем гипотезу о равенстве  нулю.

По таблице преобразования Фишера для  будем иметь .

Тогда

Откуда

По таблице Z – преобразования для  и  найдем интервальную оценку для :



Интервальная оценка подтверждает вывод о значимости частного коэффициента корреляции.

д) вычисляем оценку множественного коэффициента корреляции .



где

Проверим гипотезу



Критическое значение по таблице F – распределения



Так как , то гипотеза  отвергается, то есть множественный коэффициент корреляции не равен нулю .

Таблица 1



Задание 2

На основании данных о темпе прироста (%) внутреннего национального продукта (У) и промышленного производства (Х), десяти развитых стран мира за 1992 г., приведенных в таблице и предположения, что генеральное уравнение регрессии имеет вид: ŷ = b₀ +b₁х.

Страны	У	Х
Япония США Германия Франция Италия Великобритания Канада Австралия Нидерланды	3,5 3,1 2,2 2,7 2,7 1,6 3,1 1,8 2,3	4,3 4,6 2,0 3,1 3,0 1,4 3,4 2,6 2,4

Требуется:

а) определить оценки вектора b и остаточной дисперсии Y² ;

б) при α=0,05 проверить значимость уравнении регрессии;

в) при α=0,05 проверить значимость коэффициентов уравнения;

г) с доверительной вероятностью γ=0,9 построить интервальные оценки β₀ и β₁;

д) с доверительной вероятностью γ=0,9 построить интервальные оценки уравнения регрессии в точках, определяемых вектором начальных условий


Решение:

Определим вектор оценок в коэффициентов регрессии





Найдем обратную матрицу



Вектор оценок коэффициентов регрессии равен



Оценка уравнения регрессии будет иметь вид:



Определим вектор модельных значений результативного показателя



Тогда

Наименьшая оценка остаточной дисперсии



Оценка среднего квадратического отклонения



б) при  проверим значимость уравнения регрессии.



где                                          (расчет в таблице 2)

По таблице F – распределения для  находим . Так как , то уравнение является значимым.

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора :



Отсюда получаем несмещенные оценки дисперсий и среднеквадратических отклонений коэффициентов регрессии:



в) проверим при значимость коэффициентов уравнения регрессии.




Так как  и , то коэффициенты регрессии  и  значимо отличаются от нуля.

г) с доверительной вероятностью  построим интервальные оценки  и



По таблице t – распределения при вероятности  и числа степеней свободы

 находим

Таким образом,

 откуда

 откуда

д) с доверительной вероятностью  построим интервальные оценки уравнения регрессии в точках, определяемых вектором начальных условий

Для точки :

 Для точки :

Таблица 2

Задание 3

По иерархическому агломеративному алгоритму провести классификацию n=4 хозяйств, работа которых характеризуется показателями объема реализованной продукции: х₁ – растениеводства и х₂ – животноводства с одного гектара пашни (млн.руб/га). Построить дендрограмму.

Для этого:

а) в качестве расстояния между объектами принять обычное евклидово расстояние, а расстояние между кластерами измерять по принципу «средней связи»;

б) в качестве расстояния между объектами принять взвешенное евклидово расстояние с «весами» ω₁=0,1, ω₂=0,9, а расстояние между кластерами измерять по принципу «дальнего соседа»;

в) в качестве расстояния между объектами принять обычное евклидово расстояние, а расстояние между кластерами измерять по принципу «центра тяжести».

Решение:

а) Проведем классификацию на основе обычного евклидова расстояния и принципа «среды связи».

Находим матрицу расстояний, используя формулу





Из матрицы видно, что объекты 2 и 4 наиболее близки  и поэтому объединим их в один кластер. После объединения имеем три кластера .

Расстояние от кластера  до остальных кластеров объединим по принципу «средней связи».



Тогда матрица расстояний имеет вид:



Объединим как наиболее близкие кластеры  и  и определим расстояние от  до

 на котором все 4 объекта объединились в один кластер. Построим дендрограмму.



Анализ рисунка показывает, что целесообразным является разбиения на 2 кластера  и .

б) Проведем классификацию на основе взвешенного евклидова расстояния с весами ,  и принципа «дальнего соседа».

Найдем взвешенное евклидово расстояние между объектами.





Объединим в кластер наиболее близкие объекты 2 и 4 . Найдем расстояние между кластером  и остальными объектами

Получим матрицу расстояний



Объединим в кластер наиболее близкие объекты  и  .

 - расстояние, на котором все 4 объекта объединились в один кластер.



в) Классификация на основе обычного евклидова расстояния и принципа «центра тяжести». Матрица  остается такой же как в пункте а).

Объединим в кластер  характеризуется вектором .



Матрица расстояний примет вид:



Образуем кластер .

Определим вектор средних

Найдем расстояние между  и

на котором все объекты объединяются в один кластер.

Строим дендрограмму.



Как видно из рисунка, результат классификации совпал  с результатом в случае а).