Реферат Действия с приближенными величинами

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024

СОДЕРЖАНИЕ

стр

ВВЕДЕНИЕ. 3

1.1. Действия с приближенными величинами. 5

1.2. Основные численные методы.. 6

1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. 6

1.2.2. Интерполяция функций. 7

1.2.3. Метод приближенных квадратов и его применение. 9

1.2.5. Другие задачи, решаемые численными методами. 10

2. Теоретический вопрос варианта заданий. 15

3. Расчетная часть. 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 33

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.. 34

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование в математике является важной задачей современной науки и техники. Численные методы в математике – это методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. Проектирование и отработка современных летательных аппаратов, их отдельных узлов и блоков, а также других технических систем связаны с теоретическими расчетами и исследованиями, предваряющими выбор определяющих параметров конструкций. Эти расчеты проводятся с использованием вычислительных средств (компьютеров и их систем) и вычислительных методов.

При этом обычно выполняются следующие этапы.

1. Физическая постановка задачи. Результатом этого этапа является общая формулировка задачи в содержательных терминах, т.е. что дано и что требуется определить.

2. Поиск, выбор или модификация некоторой математической модели, адекватной физической постановке задачи. На этом этапе осуществляются: — выделение (запись) основных математических уравнений, соотношений, аппроксимационных формул, описывающих задачу;

— выделение (запись) дополнительных математических уравнений, связей, граничных или краевых условий;

— предварительное (априорное) обоснование математической модели.

3. Разработка, выбор или модификация математического (аналитического, приближенно-аналитического или численного) метода, наиболее целесообразного и экономичного. Этот этап осуществляется на основе имеющихся у исследователей знаний (субъективный подход).

4. Составление алгоритма.

Классическим средством изучения математических моделей и исследований на их основе свойств реальных объектов являются аналитические методы, позволяющие получать точные решения в виде математических формул. Эти методы дают наиболее полную информацию о решении задачи, и они до настоящего времени не утратили своего значения. Однако, к сожалению, класс задач, для которого они могут использоваться, весьма ограничен. Поэтому решение широкого класса задач при отработке современных технических систем, как правило, осуществляется численными методами.

Численные методы — это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или вычислительной математикой.

Численные методы, в отличие от аналитических, дают не общие, а частные решения, которые определяются не в континуальных. При этом требуется выполнить достаточное количество арифметических и логических действий над числовыми и логическими массивами. В силу приближенного характера вычислений этот процесс в свою очередь связан с некоторыми основными требованиями или понятиями, относящимися к конкретным задачам и численным методам (схемам), — устойчивостью, зависящей от хорошей обусловленности задачи; сходимостью, высокой точностью, экономичностью, и параметрами методов — шагами дискретизации или разбиения исходной области, в которой решается задача, количеством итераций, соотношениями шагов для неравномерного разбиения и др.

Целью курса «Численные методы» является ознакомление студентов с математическими основами численных методов решения задач (решение уравнений, систем уравнений, дифференциальных уравнений, интегрирования и дифференцирования) и применение этих численных методов для решения проблем математического моделирования в математике.

Числовые методы сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин.
1.1. Действия с приближенными величинами

Измерить или вычислить какую-либо величину абсолютно точно не всегда возможно. Поэтому в вычислительной практике преимущественно имеют дело не с точными значениями величин, а с их приближенными значениями.

Под приближенным значением величины понимают значение, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее последнее в вычислениях. При решении практических задач приходится не только приближенно находить значения величин, входящих в данную формулу и производить над ними указанные в формуле действия, но и оценивать возможные погрешности, допущенные как при определении числовых значений отдельных величин, так и при подсчете окончательного результата.

Погрешностью Δa приближенного значения величины называется разность между точным значением А величины и ее приближенным значением α, т.е. αα−Α=Δ (1)

Абсолютной погрешностью Δ приближенного числа a называется абсолютная величина разности между точным числом А и приближенным числом a, т.е. aa−Α=Δ=Δ. (2)

Если точное число А неизвестно, то абсолютную погрешность по формуле (2) определить нельзя. В таких случаях абсолютную погрешность оценивают сверху, т. е. находят возможно меньшее при данных условиях число Δ_α, такое, что aaΔ≤−Α=Δ (3)

Число Δ_a, называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность измерения. Поэтому на практике степень точности измерения оценивают с помощью относительной погрешности δ, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине точного значения искомой величины, т.е. AΔ=δ (4)

Число δ_α, заведомо не меньшее относительной погрешности называют предельной относительной погрешностью, т.е. aAδδ≤=Δ (5)

Т.к. на практике A≈ α, то приближенно можно принять , что aaaδ=Δ (6).
1.2. Основные численные методы

1.2.1. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Пусть задана непрерывная функция f(х) и требуется найти все или некоторые корни уравнения

f(x)=0. (1)

Эта задача распадается на несколько задач. Во-первых, надо исследовать количество, характер и расположение корней. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью.

Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами. Когда ищутся только действительные корни уравнения, то полезно составить таблицу значений f(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один. Но выявить по таблице корни чётной кратности* сложно. По таблице можно построить график функции у=f(х) и графически найти точки его пересечения с осью абсцисс. Этот способ более нагляден и дает неплохие приближенные значения корней. Во многих задачах техники такая точность уже достаточна. В технике еще популярны графические методы решения уравнений (номография). Построение графика позволяет выявить даже корни чётной кратности.

Иногда удается заменить уравнение (1) эквивалентным ему уравнением j(х)=y(х), в котором функции y₁=j(х) и y₂=y(х) имеют несложные графики. Например, уравнение хsinх—1=0 удобно преобразовать к виду sinx=l/x. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут корнями исходного уравнения.

Приближенные значения корней уточняют различными итерационными методами.

1.2.2. Интерполяция функций
Итак, как было сказано выше, задачей интерполяции является поиск такого многочлена, график которого проходит через заданные точки.

Пусть функция y=f(x) задана с помощью таблицы (табл. 1).
Таблица 1

x	x₀	x₁	x₂	…	x_n
y	y₀	y₁	y₂	…	y_n

Необходимо получить многочлен P_n(x) такой, чтобы выполнялось условие:

P_n(x_i)=y_i.

Для этого зададимся конкретным видом многочлена. Пусть P_n(x) имеет следующий вид:

P_n(x_i)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ.

Для того, чтобы определить коэффициенты a₀, a₁,… необходимо решить систему из n уравнений с n неизвестными:

Полином с коэффициентами, полученными путём решения системы называют интерполяционным полиномом Лагранжа и обозначают L_n(x). Решение системы весьма трудоёмко, поэтому интерполяционный полином Лагранжа представляют в виде линейной комбинации многочленов степени n:

.

Необходимо, чтобы каждый многочлен l_i(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением i-го, в котором он равен 1 (Рис. 12). Если l_i(x) удовлетворяет таким условиям, то в i-ом узле интерполяции многочлен L_n(x) примет значение y_i, что удовлетворяет условию поставленной задачи. Таким условиям удовлетворяет многочлен вида:
1.2.3. Метод приближенных квадратов и его применение

В задачу аппроксимации входит нахождение такой функции y=f(x), что расстояния между заданными точками y_i и значениями f(x_i) были минимальными (Рис. 13). Обозначим отклонение:

ε_i=y_i-f(x_i)

В качестве оценки общего отклонения кривой f(x) от табличных данных (Табл. 1) можно было бы взять сумму отклонений ε_i, но отклонения могут быть разными по знаку и, не смотря на большие ε_i их сумма может быть близка к нулю. Очевидно, что необходимо брать сумму абсолютных значений отклонений, но на практике неудобно пользоваться этой функцией, поэтому в качестве критерия оценки отклонения кривой берут сумму квадратов отклонений:

.

Для определения функции f(x) необходимо, во-первых, задать её общий вид, например, f(x)=ax+b, во-вторых, подставив f(x) в и минимизировав σ, найти коэффициенты (a и b). Такой метод определения коэффициентов для функции f(x) называется методом наименьших квадратов. Наиболее часто встречающиеся виды функции f(x) для метода наименьших квадратов приведены в таблице 2. Формула y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x.
Таблица 2

Общий вид функции	Аналитическая формула	Вид регрессии
y=f(x,a,b)	y=ax+b	линейная
y=f(x,a,m)	y=ax^m	степенная
y=f(x,a,m)	y=ae^mx	показательная
y=f(x,a,b)		дробно-линейная
y=f(x,a,b)		логарифмическая
y=f(x,a,b)		гиперболическая
y=f(x,a,b)		дробно-рациональная

Рассмотрим подробнее метод наименьших квадратов на примере линейной регрессии, т.е. общий вид функции такой: f(x)=ax+b. Требуется найти методом наименьших квадратов коэффициенты a и b. Для определения минимального σ необходимо приравнять нулю частные производные этой функции по параметрам a и b. Для случая линейной регрессии формула приводится к следующему виду:

.
1.2.5. Другие задачи, решаемые численными методами

Область применения численных методов в математике огромна. Они применяются и при решении различных уравнений, и при вычислении определенных интегралов, и в приближении функции.

Рассмотрим различные способы решения уравнений.

Метод половинного деления (дихотомия)

Пусть мы нашли такие точки a и b что f(a)f(b)£0, т. е. на отрезке [a,b] лежит не менее одного корня уравнения. Найдем середину отрезка x_c=(a+b)/2 и вычислим f(x_c). Из двух половин отрезка выберем ту, для которой f(x_c)f(a или b)£0, т.е. отрезок на котором функция меняет знак. Затем новый отрезок опять делим пополам и выберем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки, и т. д. (рис. 1).

Если требуется найти корень с точностью e, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2e. Тогда середина последнего отрезка даст значение корня с требуемой точностью. Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе недифференцируемых; при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т. е. уточнение трех цифр требует 10 итераций (т.к. длина отрезка, на котором лежит корень, после 10 итераций равна 1/2¹⁰=1/1024»10^-3). Зато точность ответа гарантируется.

Перечислим недостатки метода.

1.                 Для начала расчета надо найти отрезок, на котором функция меняет знак.

2.                 Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдется процесс (хотя к одному из них сойдется).

3.                 Метод неприменим к корням четной кратности.

4.                 Для корней высокой нечетной кратности он сходится, но менее точен и хуже устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении f(x).

5.                 Наконец, на системы уравнений дихотомия не обобщается.

Утверждение 1. С помощью данного метода невозможно найти корни чётной кратности.

Доказательство.

Чётно кратный корень это корень уравнения вида

(x+a)²ⁿ=0, где n – целое, nÎ[0,¥].

Решением этого уравнения будет корень x=-a кратности 2n. В общем виде уравнение может иметь как чётно, так и нечётно кратные корни. Можно записать общий вид уравнения имеющего (k+m) только действительных корней так:

(x+x₁)²ⁿ¹(x+x₂)²ⁿ²…(x+x_k)²^nk(x+x_k₊₁)²ⁿ⁽^k⁺¹⁾⁺¹(x+x_k₊₂)²ⁿ⁽^k⁺²⁾⁺¹…(x+x_k₊_m)²ⁿ⁽^k⁺^m⁾⁺¹=0, где n1,…,n(k+m) Î[0,¥] – целые числа; x₁¹ x₂¹…¹ x_k₊_m.

В уравнении k чётно кратных и m нечётно кратных корней. Оно раскладывается на (k+m) уравнений, из которых легко получаются корни. Если задать начальный отрезок [-x₁-r,-x₁+r], где r – мало, и проверить условие смены знака функции на его границах, то обнаружим, что знак не меняется в силу чётности степени. А если аналогично проверить нечётно кратные корни, то получим обратную ситуацию.

Следствие 1.

Если корень имеет чётную кратность, то на границах бесконечно малого отрезка с центром в этом корне функция имеет одинаковые знаки.

Следствие 2.

Если корень имеет нечётную кратность, то на границах бесконечно малого отрезка с центром в этом корне функция имеет разные знаки.

Пусть на заданном отрезке [a,b] лежит 1 корень чётной кратности, тогда в силу следствия 1 на границах отрезка знак меняться не будет, что означает остановку выполнения итераций и недостижение необходимой точности. Если же на отрезке [a,b] лежит 1 чётно кратный корень и 1 нечётно кратный корень, то чётно кратный корень будет просто игнорирован методом, т.к. условие смены знака являющееся также основным условием, с помощью которого определяется корень на текущем полуотрезке, в силу следствия 1 не выполнится. Следовательно, чётно кратный корень не может быть найден с помощью данного метода.

Утверждение 2. Если на концах начального отрезка значения функции имеют один знак, то метод может не сойтись, то есть, возможно, ни один из корней не будет найден с заданной точностью.

Утверждение 3. Если на концах начального отрезка значения функции имеют разные знаки, то будет найден с заданной точностью один из корней лежащих на нём.

Метод секущих

В данном методе, в отличие от метода Ньютона, проводятся не касательные, а секущие (Рис. 4). Из рисунка легко получить итерационную формулу:

.

В качестве начального приближения необходимо задать не только x₀, но и x₁. Метод секущих имеет одно преимущество перед методом Ньютона – здесь не нужно вычислять производную. Но этот метод имеет также существенные недостатки. Сходимость итераций может быть немонотонной не только вдали от корня, но и в малой окрестности корня.

В знаменателе формулы стоит разность значений функции. Вдали от корня это не существенно; но вблизи корня, особенно корня высокой кратности, значения функции малы и очень близки. Возникает потеря значащих цифр, приводящая к «разболтке» счёта. Это ограничивает точность, с которой можно найти корень; для простых корней это ограничение не велико, а для кратных может быть существенным.

От «разболтки» страхуются так называемым приёмом Гаврика. Выбирают не очень малое ε, ведут итерации до выполнения условия |x_n₊₁-x_n|<ε и затем продолжают расчёты до тех пор, пока |x_n₊₁-x_n| убывают. Первое же возрастание обычно означает начало «разболтки»; тогда расчёт прекращают и последнюю итерацию не используют. Все ограничения по сходимости итераций для данного метода такие же, как и в методах простых итераций и Ньютона. А вот определение достижения заданной точности, как видно из описания метода, затруднительно, и, даже, возможна ситуация, когда из-за «разболтки» счёта заданная точность не будет достигнута никогда. При использовании метода секущих в явном виде определить точность трудно, поэтому используют косвенный метод. Считают, что вблизи корня |x_n₊₁-x_n|~|x_т-x_n₊₁|. Конечно эта оценка весьма примерна, но при больших n (в идеале при n→∞) это так и есть.

2. Теоретический вопрос варианта заданий

Метод простых итераций

Основной принцип метода заключается в том, что уравнение представляется в виде:

x=φ(x),

где φ(x) можно определить многими способами, например, так:

φ(x)=x-αf(x), α=const, или

φ(x)=x+ψ(x)f(x),

где ψ(x) – произвольная, непрерывная, знакопостоянная функция на отрезке [a,b].

Метод простых итераций в силу определяется следующей рекурсивной формулой:

x_n₊₁=φ(x_n), где n=0,1,2,…

Здесь n имеет смысл номера итерации, x₀ – некоторое начальное приближение. Из уравнения видно, что если x_n→x_т, то этот предел и есть корень уравнения (рис. 2).

Пусть в окрестности точки x_т (x_т-Δ,x_т+Δ), где Δ>0 функция φ(x) удовлетворяет условию Липшица:

|φ(x₂)-φ(x₁)|≤q|x₂-x₁|

для любых x₂,x₁Î(x_т-Δ,x_т+Δ),

0<q<1,

при этом x₀Î(x_т-Δ,x_т+Δ),

причём, (x_т-Δ,x_т+Δ) Î[a,b].

В связи с этим допущением можно сделать несколько утверждений.

Утверждение 1.

Полученные с помощью (5) x_nÎ(x_т-Δ,x_т+Δ) для любого целого n≥0.

Утверждение 2.

Последовательность {x_n} сходится при n→∞ к пределу x_т, являющемуся корнем уравнения.

Утверждение 3.

На интервале (x_т-Δ,x_т+Δ) существует только 1 корень уравнения.

Как и при поиске решения методом дихотомии будем считать задачу выполненной, если найденное некоторое значение x_чÎ[x_т-ε,x_т+ε], где ε – заданная точность. Для определения того, когда можно прекратить итерации, т.е. когда достигнута заданная точность, подробнее рассмотрим неравенство. По сути, нам необходимо добиться выполнения следующего неравенства:

|x_n₊₁-x_т| ≤ ε,

|x_n₊₁-x_т| ≤ qⁿ⁺¹|x₀-x_т|,

где q можно определить как

для любого целого n≥1, выведем условие достижения заданной точности (12). Введём обозначения

δ_n₊₁=|x_n₊₁-x_т|.

,

а так же очевидно, что δ₀-δ_n₊₁=|x₀-x_n₊₁|=ξ, тогда:

δ₀=δ_n₊₁+ξ

δ_n₊₁=gδ=g(δ_n₊₁+ξ)

.

Неравенство является условием остановки процесса итераций, т.е. условием достижения заданной точности. В завершение рассмотрения данного метода остаётся только построить блок-схему его алгоритма. Будем считать, что |φ′(x_т)|<1, x₀Î(x_т-Δ,x_т+Δ).

Метод касательных (Ньютона)

Метод Ньютона называют также методом касательных и методом линеаризации. Суть метода заключается в том, что в точке приближения к функции строится касательная (Рис. 3). Следующая точка приближения – это точка пересечения полученной прямой с осью Ox. Процесс продолжается вплоть до достижения заданной точности.

Из рисунка очень легко получить итерационную формулу метода, используя геометрический смысл производной. Если f(x) имеет непрерывную производную f’(x)≠0, тогда получим

Аналогично получаем x₂, x₃, и т.д. Таким образом, можем записать общую формулу:

Метод Ньютона можно рассматривать, как частный случай метода простых итераций, если задать

.

В этом случае

Условие сходимости метода простых итераций можно переписать для метода Ньютона следующим образом:

Метод трапеций

Метод трапеций основан на том, что криволинейная трапеция приближается прямолинейной (Рис. 8). Т.е. площади вычисляются по следующей формуле:

Таким образом, получаем общую формулу трапеций:

.

Теперь оценим погрешность метода. Вывод формулы погрешности аналогичен выводу, поэтому приведём сразу окончательную оценку погрешности для непрерывной f’’(x):

;

для кусочно-непрерывной f’’(x):

Оценивая n и h, получим:

Для кусочно-непрерывной f’’(x):

Как видно из полученных формул погрешность метода средних примерно вдвое меньше погрешности метода трапеций. Очевидно, что если функция определена на всём интервале, лучше пользоваться методом средних, метод трапеций используют обычно для функций определённых только в узлах сетки. Знаки главного члена погрешности у формул трапеций и средних разные. Поэтому, если есть расчёты по обеим формулам, то точное значение интервала лежит, как правило, в вилке между ними. Деление этой вилки как 2:1 даёт уточнённый результат близкий к тому, который получается при использовании более точного метода Симпсона.

Метод Симпсона

Этот метод основан на том, что функция f(x) приближается на отрезке [x_i-h, x_i+h] параболой (причём x_i отстоит от x_i₊₁ на расстоянии 2h) (Рис.9). То есть через заданные точки проводится парабола. Но известно, что уравнение параболы имеет вид ρ(x)=ax²+bx+c, т.е. чтобы определить коэффициенты a, b, c необходимо решить систему из трёх уравнений, а для этого необходимо знать координаты как минимум трёх точек, через которые проходит парабола ρ(x). В связи с этим, в отличие от предыдущих методов, для вычисления площади отдельной криволинейной трапеции понадобиться не две, а три точки. Для вывода формулы Симпсона рассмотрим подробнее i-ю криволинейную трапецию ограниченную сверху параболой ρ_i(x).

Для упрощения расчётов сделаем следующие преобразования. Перенесём i-ю криволинейную трапецию в начало координат так, что x_i=0 (следовательно, x_i-h=-h, x_i+h=h). Очевидно, что её площадь не изменится. Найдём её площадь (Рис. 10). Для нахождения площади криволинейной трапеции необходимо знать форму кривой ограничивающей её. В нашем случае это парабола

. Для нахождения коэффициентов a_i, b_i, c_i составим систему из трёх уравнений. Для простоты обозначим

a_i≡a, b_i≡b, c_i≡c, f(x_i-h)≡f₀, f(x_i)≡f₁, f(x_i+h)≡f₁.

Получаем общую формулу Симпсона:

Для упрощения этой формулы учтём, что

,

где a и b – границы отрезка интегрирования [a, b]. С учётом этого получим:

,

где n – количество отрезков длиною 2h. То есть количество отрезков h, на которые разбит отрезок [a, b] должно быть обязательно чётным. Длина отрезка [a, b] равна 2nh.

Учитывая, что для метода Симпсона

, запишем формулы оценки n и h для заданного ε. Для непрерывной

.
Мажорантные оценки для кусочно-непрерывной

.

Метод Гаусса

При заданном числе интервалов разбиения следует расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования. В математическом плане это означает выбор коэффициентов A_iи узлов t_i, i=1,...,n квадратурных формул Гаусса:

такими, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. Можно показать, что при n узлах точно интерпретируются все многочлены степени N£2n-1.

Узлы t_i являются корнями многочлена Лежандра:

.

Коэффициенты A_i вычисляются по формуле:

, i=1,...,n.

Погрешность усечения R_n:

, tÎ[-1,1].

Для вычисления интеграла отрезок [a,b] преобразуется в отрезок [-1,1] путем замены переменной:

.

В результате формула Гаусса приобретает вид

,

где , .

Квадратурная формула Гаусса обеспечивает высокую точность вычислений при небольшом числе узлов.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция y=f(x) задана таблицей (*). Построим интерполяционный многочлен L_n(x) степень которого не больше n, и выполняются условия (3.1): L_n(x_i)=y_i, i=0, 1, …, n

Будем искать L_n(x) в виде

, где p_i(x) многочлен степени n и

, т.е. p_i(x) только в одной точке отличен от нуля при i=j, а остальных точках он обращается в нуль. Следовательно, все эти точки являются для него корнями:
p_i(x)=c(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)…(x-x_n)
при x=x_ip_i(x_i)=c(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)
1=c(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)
c=[(x_i-x₀)(x_i-x₁)…(x_i-x_i-1)(x_i-x_i+1)…(x_i-x_n)_]-1

подставим с в формулу p_i(x), получим (3.2):

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице (*) формула (3.2) позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.

Многочлен Ньютона интерполяционный – как и другие интерполяционные формулы, служит для построения многочлена n-й степени, который совпадает в (n+1) точке co значениями неизвестной искомой функции у = f(x).

Пусть в точках х₀, х₁, …, х_n+1 значения функции у = f(x) равны соответственно у₀ = f(x₀), y₁ = f(x₁), …, y_n+1 = f(x_n+1).

Построим интерполяционный многочлен Ньютона с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого запишем искомый многочлен в виде
P_n(x) = b₀ + b₁(x – x₀) + b₂(x – x₀)(x – x₁) + b₃(x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) + … + b_n(x – x₀)…(x – x_n). (1)

Последовательно подставляя в формулу (1) вместо х данные значения х₀, х₁, ..., х_n+1, получим для нахождения неопределенных коэффициентов b₀, b₁, ..., b_n «треугольную» систему уравнений

(при подстановке в равенство (1) вместо х числа х₀ в правой части равенства обратились в нуль все слагаемые, кроме первого: там везде был множитель (х – х₀), обратившийся в нуль; при подстановке х = х₁ обратились в нуль все слагаемые, кроме первого и второго – они содержат множитель (х – х₁) и т.д.).

Полученную систему удобно решать: из первого её уравнения находим свободный член искомого многочлена b₀; подставив его во второе уравнение, находим коэффициент b₁ при первой степени х в искомом многочлене:

и т.д.

Для интерполяционного многочлена Ньютона можно выписать явные выражения коэффициентов через данные задачи, а также и оценки точности замены неизвестной функции f(x) этим многочленом.

3. Расчетная часть

1. Найти действительные корни уравнения методом простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0, 00001.
Нахождение приближенных значений действительных корней включает в себя

а) определение их числа

б) отделение корней, т.е отыскание достаточно малых промежутков в каждом из которых заключен один и только один корень уравнения.

с) вычисление корней с заданной точностью.
f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5

1) Определим число корней уравнения графическим способом. Для этого преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду:
х³ = 6х² - 13х + 9,5

Построив графики функций f₁(x) = х³ f₂(x) = 6х² - 13х + 9,5, определяем, что у решаемого уравнения имеется только один корень, который находится в интервале 1,5 < х < 2

f₁(x) = х³ - кубическая функция, график - кубическая парабола.

х	-1	- 0,5	0	0,5	1	1,5	2,1	2,5	3
у	-1	-0,125	0	0,125	1	3,375	9,261	15.6	27

f₂(x) = 6х² - 13х + 9,5 квадратичная функция, график – парабола.

х	-1	- 0,5	0	0,5	1	1,5	2,1	2,5	3
у	28,5	17,5	9,5	4,5	2,5	3,5	8,66	14,5	24,5

Метод Ньютона. Определим поведение первой и второй производной функции f(x) на интервале уточнения корня.

Для функции f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 имеем:

f `(x) = 3х² - 12х + 13, f `(1,5) = 1,75, f `(2,1) = 2,03

f ``(x) = 6x – 12 f ``(1,5) = -3, f ``(2,1) = 0,6,

В качестве начального приближения выберем правую границу интервала, х⁽⁰⁾ = 2,1, для которой выполняется неравенство:

f(2,1) f ``(2,1) > 0.

Дальнейшие вычисления производим по формуле:

f(x⁽^k⁾) = х³⁽^k⁾ – 6х²⁽^k⁾+ 13х⁽^k⁾ – 9,5, f`(x⁽^k⁾) = 3х²⁽^k⁾ - 12х⁽^k⁾ + 13.

Итерации завершаются при выполнении условия | х^(к+1) - х^(к) | < ε.

Результаты вычислений занесем в таблицу:

k	х⁽^k⁾	f(x⁽^k⁾)	f `(x⁽^k⁾)	- f(x⁽^k⁾)/f `(x⁽^k⁾)
0	2,100000	0,601	1,03	- 0,583495
1	1,516505	- 0,096521	1,701302	0,056733
2	1,5732382	-0,004486	1,5463768	0,002901
3	1,5761462	-0,0000006	1,5389561	0,000000004
4	1,5761462

х 1,5761462.
Метод простой итерации. Уравнение f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 можно записать в виде

х = .

За основной интервал возьмем (1,5; 1,7), положим φ (х) = .

1) φ (х) [1,5; 1,7] при х [1,5; 1,7]

2) φ` (х) = .

В качестве начального приближения положим х⁽⁰⁾ = (1,5+1,7) / 2 = 1,6

Вычисляем последовательные приближения х⁽^k⁾ с одним запасным знаком.

k	х⁽^k⁾	φ (x⁽^k⁾)
0	1,6	1,597230769
1.	1,597231	1,594777719
2.	1,594777	1,592604917
3.	1,5926049	1,590682652
4.	1,5906826	1,588982195
5.	1,5889821	1,587478523
6.	1,5874785	1,586149418
7.	1,586149	1,584974566
8.	1,5849745	1,583936965
9.	1,583936	1,583019733
10.	1,583019	1,582209985
11.	1,5822099	1,581495651
12.	1,581495	1,580864589
13.	1,580864	1,58030767
14.	1,5803076	1,579816657
15.	1,579816	1,579382878
16.	1,5793828	1,579000669
17.	1,579	1,578662959
18.	1,5786629	1,578365588
19.	1,5783655	1,578103258
20.	1,5781032	1,577871902
21.	1,5778719	1,5776679
22.	1,577667	1,577487192
23.	1,577487	1,57732845
24.	1,577328	1,577188234
25.	1,577188	1,577064777
26.	1,577064	1,576955432
27.	1,576955	1,576859317
28.	1,576859	1,576774668
29.	1,5767746	1,576700248
30.	1,5767002	1,576634647
31.	1,576634	1,576576277
32.	1,576576	1,576525138
33.	1,576525	1,576480171
34.	1,57648	1,576440495
35.	1,57644	1,576405228
36.	1,576405	1,57637437
37.	1,576374	1,576347038
38.	1,576347	1,576323233
39.	1,576323	1,576302073
40.	1,576302	1,576283559
41.	1,576283	1,576266807
42.	1,576266	1,576251819
43.	1,576251	1,576238595
44.	1,576238	1,576227134
45.	1,576227	1,576217436
46.	1,576217	1,576208619
47.	1,576208	1,576200685
48.	1,5762	1,576193631
49.	1,576193	1,57618746
50.	1,576187	1,57618217
51.	1,576182	1,576177762
52.	1,576177	1,576173354
53.	1,576173	1,576169828
54.	1,576169	1,576166301
55.	1,576166	1,576163656
56.	1,576163	1,576161011
57.	1,57616	1,576158366
58.	1,57616	1,576158366
59.	1,576158	1,576156603
60.	1,576156	1,57615484
61.	1,576154	1,576153077
62.	1,576153	1,576152195
63.	1,576152	1,576151314
64.	1,576151	1,576150432
65.	1,57615	1,57614955
66.	1,576149	1,576148669
67.	1,576148	1,576147787
68.	1,576147	1,576146905
69.	1,576146	1,576146024
70.	1,576146	1,576146024

х 1,57646

2. Вычислить приближенное значение интеграла

По формуле: а) трапеции (n=10); б) Симпсона (n=10); в) Гаусса (n=5);

а) трапеции (n=10)

-3	2,44949
-2	5
-1	5,656854
0	5,744563
1	5,830952
2	6,403124
3	7,745967
4	9,848858
5	12,56981
6	15,77973
7	19,39072

= 1 = 10,92 + 74,58 = 85,5

б) Симпсона (n=10)
Вычислить интеграл .

Решение:

Имеем . Отсюда h ==1. Результаты вычислений приведены в таблице.
Таблица 4.

Вычисление интеграла по формуле Симпсона

i
0	7		y0=19,39072
1	6	15,77973
2	5		12,56981
3	4	9,848858
4	3		7,745967
5	2	6,403124
6	1		5,830952
7	0	5,744563
8	-1		5,656854
9	-2	5
10	-3		2,44949=yn
å		42,776 (s1)	31,8036 (s2)

По формуле Симпсона получим:

в) Гаусса (n=5); I =

При вычислении интеграла $\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx$ следует сделать замену переменной $x = {b+a\over 2} + {b-a\over 2} t$ . тогда формула Гаусса будет иметь вид $\int\limits_{a}^{b} f(x)\, dx = {b-a\over 2} \sum_{i=1}^n A_if(x_i) + R^*_n(f)$ где $x_i = {b+a\over 2} + {b-a\over 2} t_i , R^*_n(f) = ({b-a\over 2} ^{2n+1} R_n(f))$ .

Решение.

Сделаем замену переменной х = 2 + 5t , dx= 5dt. получим интеграл I = 5

Составляем таблицу значений подынтегральной функции
Затем по формуле Гаусса при n=5 находим

I | A₁f(t₁) + A₂f(t₂) + A₃f(t₃) + A₄f(t₄) + A₅f(t₅) | =
3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона по табличным данным.

х	2,8	4,3	6,2	9,6
f (x)	4,0	5,69	7,2	6,66

Интерполяционный многочлен Лагранжа

L₄(x) = + + + =

= -0,12х³ +2,41х² – 15,3х + 30,71 + 0,38х³ – 6,78х² + 39,43х – 63,33 - 0,32х³ + 5,32х² – 25,66х + 36,99 + 0,05х³ – 0,72х² + 2,8х – 3,73 =

= -0,01х³ – 0,23х² + 1,27х + 0,64

Интерполяционный многочлен Ньютона

у₁₀ = = 1,13, у₂₁ == = 0,79,

у₃₂ === -0,16,

у₂₁₀ === -0,15, у₃₂₁ = = =-0,18,

у₃₂₁₀ = = = -0,004.

У= 4 + 1,13(х – 2,8) + 0,004(х – 2,8)(х – 4,3)(х-6,2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе численные методы применялись при нахождении действительных корней уравнения, вычислении приближенного значения интеграла и построении интерполяционных многочленов.

При нахождении действительных корней уравнения методом простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0, 00001 были получены следующие результаты:

Метод Ньютона. Для функции f(x) = х³ – 6х²+ 13х – 9,5 имеем х 1,5761462.
Метод простой итерациих х 1,57646

В обоих случаях получены приближенные значения корня уравнения.

При вычислении приближенное значение интеграла

По формуле трапеции (n=10)

= 85,5

По формуле Симпсона (n=10)

= 106,6

Интерполяционный многочлен Лагранжа

L₄(x) = -0,01х³ – 0,23х² + 1,27х + 0,64

Интерполяционный многочлен Ньютона

У= 4 + 1,13(х – 2,8) + 0,004(х – 2,8)(х – 4,3)(х-6,2).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пирумов, У.Г. Численные методы : учеб. пособие для студ. втузов. - М. : Дрофа, 2003,

2. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. - М. : Высшая школа, 2000.

3. Вержбицкий, В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Высшая школа, 2001.

4. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М. : Изд-во МАИ, 2000.

5. Волков, Е.А. Численные методы. - М. : Наука, 1987.

6. Бахвалов, Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.

* Кратными корнями называются совпадающие по значению корни. Например, известно, что уравнение y=x² имеет корень x=0, но правильнее утверждать, что это уравнение имеет 2 кратных корня x₁=0 и x₂=0.

Bukvasha