Модель расширяющейся экономики Неймана
Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.
Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале [0,Т] с точками t=0,1,……,Т рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.
Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через y^t_J (
j=1,…,
m). Заметим, что y^t_J является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и y^t_J  ≥0.
Предположим, что функционирование j-го процесса (
j=1,…,
m) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

а_{1
j ,}  а_{2
j ,  ….  ,}    а
_{nj ,} 



и дает выпуск товаров в количестве

b_{1
j ,} 
b_{2
j ,  ….  ,}   
b_{nj ,} 
Введем обозначения а
_j = (а_{1
j ,}  а_{2
j ,  ….  ,}    а
_nj ),
b_j = (
b_{1
j ,} 
b_{2
j ,  ….  ,}   
b_nj). Пара (а
_j ,
b_j) характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару (а
_j ,
b_j)  можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности  y^t_J  соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как (а
_j
y^t_J  , 
b_j
y^t_J) . Поэтому последовательность пар
 (а_{1 ,} 
b₁) ,  (а_{2 ,} 
b₂) ,  …….   ,  (а
_{m ,} 
b_m) ,                                                                         (6.4.1)
представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.
Все m базисных процессов описываются двумя матрицами
А =   а₁₁       а₁₂  ….  а_1m

         а₂₁       а₂₂  ….  а_2m  

         …    …   …    …

         а_n1       а_n2  ….  а_nm        ,



В =   b₁₁       b₁₂  ….  b_1m

         b₂₁       b₂₂  ….  b_2m  

         …    …   …    …

         b_n1       b_n2  ….  b_nm       
где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор  называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами  :
                 (6.4.2)
Говорят, что в производственном процессе   базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями   . Как видно из (6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов
,                                                                                (6.4.3)


которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин  . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а  интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.
Продолжим описание модели Неймана. Затраты     в момент t не могут превышать выпуска    , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис. 6.3).

Время	…	t-1	t	t+1	…
Затраты
Выпуск

Рис. 6.3. Последовательность затрат и выпусков.
Поэтому должны выполняться условия:
                                                                                                (6.4.4)
где  - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.
Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть:
                                                                                           (6.4.5)

                           

Прибыль базисного процесса   на отрезке [t-1,T] равна величине

  , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как  , а выручку - как  (рис. 6.4).

Время	…	t-1	t	t+1	…
Издержки
Выручка

Рис. 6.4. Последовательность издержек и выручки.
Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если   , неприбыльны – если
                                                                                              (6.4.6)

               

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен"

,  т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.
Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. При равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс. Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:


то должно быть  . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью.

Отсюда получаем
                                                                                 (6.4.7)
Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :
 

 

 

 

                                                                                       (6.4.8)
где    и      - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.