Реферат

Реферат Собственные интегралы, зависящие от параметра

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 17.2.2025


Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра


Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция  будет определена на некотором множестве, где  и , то есть в результате получится множество . Если функция  непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл , где x
 принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку , значит, интеграл может быть несобственным.

На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.

Определение.

Интеграл  называется интегралом, зависящим от параметра, если  интегрируема на промежутке при любом фиксированным  , где .

Следовательно,  представляет собой функцию   переменной (параметра) , определенную в промежутке . Возможно также существование интеграла при фиксированном , тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Обозначается она так , так что .

Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции . Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении  несобственных интегралов.

Пример. Найти интеграл  от функции ,

Функция  непрерывна на отрезке  при любом фиксированном , а значит, она интегрируема. Тогда

.
Пункт 2. Предельный переход под знаком интеграла. Непрерывность интеграла как функции параметра


Определение.

Пусть  - это предельная точка множества .Функция  называется равномерно сходящейся к функции  при  по переменной , если выполняются следующие условия:

1.     для  при  существует конечная предельная функция ;

2.     .       (1)


Замечание 1.

В цепочки (1)  зависит только от  и не зависит от , а неравенство  выполняется при любых  одновременно.

Замечание 2.

Если , то в цепочке (1) неравенство  следует заменить на  ().

Теорема 1 (признак сходимости). Если функция  определена на множестве , то для того, чтобы она имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно необходимо и достаточно, чтобы  выполнялась цепочка
Докажем теорема так.

Необходимость. Пусть функция  равномерно сходится. Если заменим в определении  на  и выберем соответственно , а затем возьмем два значения  и  из  так, чтобы выполнялись условия  и . В результате получим   и  откуда следует последнее неравенство в цепочке .

Достаточность. Теперь пусть существует предельная функция . Нужно доказать равномерную сходимость функции  к предельной функции. Для этого совершим переход к пределу в неравенстве  при , получается . Что и подтверждает равномерную сходимость  к функции .
Теорема 2 (о непрерывности предельной функции). Если функция  при любом фиксированном  непрерывна на и равномерно сходится к предельной функции  по переменной  при , то функция  также непрерывна на .

Легко обобщается теорема Дини: если функция непрерывна для любого фиксированного  на  и при возрастании функция, монотонно возрастая, стремится к предельной функции , то  сходится к  равномерно.

Теорема 3 (предельный переход по параметру под знаком интеграла). Если функция  непрерывна при постоянном значении  на и сходится равномерно по переменной  к предельной функции  при , то тогда имеет место равенство

         (2)

Доказательство.

Непрерывность следует из теоремы 2, значит, она интегрируема на отрезке . В силу равномерной сходимости  к  выполняется . Тогда при тех же  и  имеем:

 откуда следует , что  доказывает формулу (2).

Замечание 3.

Равенство (2) можно записать и в другом виде

.              (2`)

Следствие 1.

Если функция  при постоянном  непрерывна по  и при возрастании  стремится, монотонно возрастая, к непрерывной предельной функции , то справедливы формулы (2) и (2`).

В предположении, что область  представляет собой конечный промежуток , рассмотрим вопрос о непрерывности функции .


Пример (№3713 (в)).  Найти .

1.     функция  непрерывная функция на . Функции  и  также непрерывны на .

2.       непрерывная функция (т.4 и сл.2) в промежутке , значит

3.     .


Теорема 4 (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть функция  определена и непрерывна в прямоугольнике , тогда интеграл  будет непрерывной функцией от параметра  в промежутке .

Доказательство.

Так как  непрерывна на замкнутом множестве, то по теореме Кантора она равномерно непрерывна на данном прямоугольнике . Возьмем любое  и зафиксируем . Тогда нашему значению  будет соответствовать , такое, что для любых двух точек , принадлежащих , из неравенств  и , будет следовать . Положим , , где , - любые из , и , где . Тогда получим

. Это означает, что функция  равномерно стремится к . В таком случае по теореме 3 , а уже отсюда следует равенство , то есть наша функция непрерывна на .

Замечание 4. Совершенно аналогично доказывается теорема для , где .


Следствие 2. Если  непрерывна на прямоугольнике , то .


Пример. Найти .

1.       непрерывна на

2.     тогда по теореме 4. и следствию 2 получаем

Пункт 3. Дифференцирование под знаком интеграла
При изучении свойств функции  важное значение имеет вопрос о ее производной по параметру. Вычислить производную можно по формуле , которую вывел Лейбниц 1697. Рассмотрим теорему, устанавливающую простые достаточные условия для применимости этой формулы.

Теорема (о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра). Пусть функция  определена и непрерывна в прямоугольнике  и имеет там непрерывную частную производную . Пусть , . Тогда:

1.     функция  имеет в промежутке производную ;

2.     , то есть , .

Доказательство.

Возьмем любую точку  и зафиксируем ее. Придадим  приращение  и точка . Тогда , ,

       (1)

По теореме Лагранжа  . Следовательно,

.                   (2)

Переходя в (2) к пределу при , приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим:

.

Из этого следует, что  существует, причем . Так как - любое , то  существует для любого , причем .

Пример. Найти производную  функции .

1.  непрерывна на

2. . Эта функция также непрерывна на .

3.



4.




Пункт 4. Интегрирование  по параметру под знаком интеграла
Рассмотрим вопрос об интегрировании по параметру  функции . Если она интегрируема, то интеграл будет иметь вид . Достаточное условие для равенства двух повторных интегралов дает следующая теорема.

Теорема. Если  непрерывная по обеим переменным функция на прямоугольнике , то  интегрируемая на промежутке  функция и справедливо равенство , то есть .

Также можно расписать с помощью повторных интегралов следующим образом .

Докажем более общее равенство.

 для любого .            (1)

В левой и правой частях равенства (1) мы имеем две функции от параметра t. Вычислим их производные по t. Так как , то  (т.4 п.2), а следовательно  есть интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Тогда по теореме Барроу:

, .                        (2)

В правой части стоит интеграл , где . Действительно функция  удовлетворяет условиям теоремы п.3, она также непрерывна по в силу теоремы 4 п.2.Мы можем найти производную , которая будет непрерывна как функция двух переменных.
Тогда по теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла

, .        (3)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке  совпадающие производные (см. (2) и (3)). А значит они отличаются в этом промежутке только на постоянную величину, т. е. .

.                  (4)

Положив в (4) t
=
c , получим . Значит, будем иметь вместо (4) для любого

.                              (5)

Пусть в (5) t
=
d, получим

.

Что и требовалось получить.
Глава 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пункт 1. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра
При рассмотрении теории интегралов, зависящих от параметра, в случае несобственных интегралов особую роль играет понятие равномерной сходимости. Выясним это понятие сначала для несобственных интегралов первого рода (НИЗП-1), затем для интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция  определена и непрерывна на некотором прямоугольнике  и при любом фиксированном  существует несобственный интеграл, зависящий от параметра, этой функции на любом промежутке . Тогда интеграл сходится и равен

.

В этом случае  называют несобственным интегралом первого рода (НИЗП-1).

Утверждение о том, что  сходится при каждом  означает следующее: при каждом фиксированном  

.

Следовательно,

 или .

Это значит, что для каждого  по любому  можно указать число  такое, что если , то . Важно заметить, что зависит и от ,и от :. Если же для любого  можно указать число , зависящее только от , такое, что при  выполняется  для, то в этом случае  называется равномерно сходящимся относительно параметра .

Теперь сформулируем критерий Коши для равномерной сходимости для нашего случая следующим образом:

Теорема 1. (критерий Коши равномерной сходимости для НИЗП-1). Для того чтобы интеграл  сходился равномерно по переменной  на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась цепочка

, .

Рассмотрим достаточные признаки равномерной сходимости.

Теорема 2. (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП-1). Пусть функция  определена и непрерывна на прямоугольнике  и удовлетворяет условиям:

1.     непрерывна по переменной ,

2.     существует функция , что ,

3.     - сходится.

Из этого следует, что  сходится равномерно по .

Доказательство.

В соответствии с условием 3) критерия Коши о сходимости несобственных интегралов 1-го рода от функции одной переменной имеем:

       (1)

Тогда при тех же , что и в цепочке, получаем

.

А отсюда по теореме 1 следует равномерная сходимость интеграла .

Ч. т. д.

Замечание.

При выполнении условий теоремы 2 говорят, что функция  имеет интегрируемую мажоранту  или что интеграл  мажорируется сходящимся интегралом .

Следствие.

Пусть выполняются следующие условия:

1.     функция  определена и непрерывна по ;

2.     функция ограничена на прямоугольнике  ;

3.     интеграл  сходится, тогда следует, что

сходится равномерно по .

Обозначим через  и возьмем в качестве , а в качестве функции . Тогда, исходя из теоремы 2, получим цепочку (1).

Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода (НИЗП-2).

Пусть функция  определена в области  (a,b,c – конечные числа). Пусть при  несобственный интеграл  сходится. В этом случае  будет представлять собой функцию переменной (параметра) , определенную в промежутке . Утверждение, что несобственный интеграл  сходится при , означает следующее. При каждом фиксированном  интеграл

(здесь ). Это значит, что для каждого  из  по любому можно указать  такое, что при  условии  выполняется . Важно отметить, что число  выбирается по , и для каждого  оно будет своим, другими словами,  зависит и от , и от : . Если же можно указать такое , зависящее только от , такое, что при выполнении условия  будет верно  сразу для всех , несобственный интеграл  называется равномерно сходящимся относительно параметра. Короче говорят, интеграл  называется равномерно сходящимся по переменной на , если он сходится при  и выполняется цепочка .

Для НИЗП-2 справедливы теоремы аналогичные т.1 и т. 2.

Теорема 3. (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП-2). Для того чтобы НИЗП-2 равномерно сходился по  необходимо и достаточно, чтобы:

, .

Теорема 4. Пусть функция  определена в области  и удовлетворяет следующим условиям:

1.     функция  непрерывна по , при ;

2.     существует такая функция , что ,  и .

3.      - сходится

НИЗП-2  сходится равномерно по на .

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Пример. Исследовать на равномерную сходимость интеграл .

Для определения равномерной сходимости необходимо проверить выполнение всех условий теоремы 2.

1.      определена и непрерывна в области ;

2.     существует функция , , для любого ;

3.     , то есть сходится.

Так как все условия выполнены, то интеграл  сходится равномерно относительно на любом промежутке .
Пункт 2. Непрерывность НИЗП, предельный переход под знаком интеграла.

В этом пункте мы рассмотрим предельный переход под знаком интеграла, имеющего бесконечный предел, и непрерывность интеграла как функции параметра. Условия, достаточные для допустимости предельного перехода, даются следующей теоремой:

Теорема 1.  Пусть функция , определенная на прямоугольнике , удовлетворяет условиям:

1.     функция  по  на промежутке ;

2.      равномерно стремится к  при  по , где ;

3.     интеграл  сходится равномерно по  на .

В результате справедливо равенство

                   (1)

Доказательство.

Функция будет непрерывной. По условию равномерной сходимости для любого  найдется такое , что , для , но только . Переходя к пределу при  под знаком интеграла, получим . Значит  интегрируемая на бесконечном промежутке функция. Тогда при , имеем

.

Если взять произвольное число , зафиксировать число  так, чтобы второе и третье слагаемые справа стали меньше , а затем приблизить  к , чтобы первое слагаемое стало меньше . Тогда получим , что приводит к равенству (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна по , при , и монотонно возрастая, стремится к  с возрастанием . Если функция  непрерывна и интегрируема на промежутке , то справедлива формула (1).

Простым следствием из теоремы 1 является теорема о непрерывности интеграла по параметру.

Теорема 2. Пусть функция  определена и непрерывна для значений  и значений . Если сходится равномерно относительно  на , тогда  - непрерывная функция от параметра  в этом промежутке.

Доказательство (аналогично теореме для собственных интегралов).

По теореме Кантора при  и  функция  равномерно непрерывна, а значит если - это любое фиксированное из  значение, то наша функция равномерно, относительно , стремится к  при . Так как  сходится равномерно, то по т.1 следует

,

значит интеграл  - непрерывная функция.

Пункт 3. Интегрирование по параметру НИЗП

Чтобы выяснить интегрируема ли функция  по параметру, необходимо рассмотреть следующую теорему.

Теорема 1. Пусть функция  определена и непрерывна, как функция от двух переменных, в множестве  Если интеграл  сходится равномерно по  на , то справедлива формула

.                 (1)

Доказательство.

При любом  выполняется равенство

.                  (2)

Так как функция  непрерывна при  и , по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра следует, что

                                     (3)

Тогда из (2) .

Так как  сходится равномерно, то при произвольном  будет . В результате этого оценим левую часть (3) по модулю:



в силу (3) . Последнее означает, что

.

Так как левая часть существует в этом равенстве, то по определению несобственных интегралов правая часть также существует, причем равная . То есть справедлива формула (1).

Ч.т.д.

Следствие.

Если непрерывная функция  неотрицательная при  и интеграл  непрерывен по  на , то имеет смысл формула (1).

Таким образом, мы установили право переставлять два интеграла, из которых один распространен на бесконечный промежуток, а другой – на конечный. Очень часто приходится переставлять интегралы, взятые в бесконечных промежутках по формуле .

Чаще всего такую перестановку сложно проделать.

Теоремы 2. Пусть функция неотрицательна и непрерывна при , , интегралы  и  (*) существуют и являются непрерывными функциями по переменным соответственно. Тогда, если существует один из интегралов, то существует и второй, причем они равны между собой.

Замечание.

Интегралы (*) будут заведомо интегрированы, если они равномерно сходятся по  и  соответственно.
Пример. Проинтегрируем функцию .

Имеем . Все условия т. 2 п. 2 выполняются. Положим , где  - любое конечное  число. По теореме т. 1 п. 3

.

Следовательно, интегрируя обе части равенства по  от 0 до , будем иметь

.

Но  (это равенство установлено для ; оно верно и при , если в этой точке понимать его в предельной). В том случае для любого конечного  примет вид:

.
Пункт 4. Дифференцирование НИЗП по параметру

Теорема 1. Пусть функция  определена и непрерывна по на промежутке , . Она имеет там непрерывную частную производную , интеграл  сходится при каждом  на , а  сходится равномерно. Тогда справедлива формула

.                     (*)

Доказательство.

Так как  непрерывна и  сходится равномерно относительно  на , то для нее, в силу т. 3 п. 3, выполняется формула (1) пункта 3. Заменим в формуле (1)  и получим:



Откуда . Производная правой части последнего равенства существует и равна , значит существует производная и у левой части, причем . Это равенство установлено для , что выполняется формула (*).

Ч.т.д.

1. Реферат на тему Биржевое дело
2. Реферат на тему Органи влади Ірану
3. Реферат Страховой рынок России на современном этапе
4. Реферат Теория потребностей А. Маслоу
5. Реферат Методы защиты гидросферы. Гидросфера земли
6. Диплом Законодательное регулирования рынка ценных бумаг
7. Реферат на тему Избирательные реформы в Англии
8. Реферат на тему Technology And Innovations Impact On The World
9. Реферат на тему CommunityBased Policing Essay Research Paper CommunityBased Policing
10. Сочинение на тему Васіль Дзятлік галоўны герой рамана І.Мележа Людзі на балоце