Протокол работы № 3        «Наклонный маятник»	Студент	Аносов Леонид Александрович
	Группа	РФ – 022
	Дата
	Подпись преподавателя

1.     
Цель лабораторной работы.

Изучение силы трения качения методом наклонного маятника.

2.     
Схема установки.

К рисунку 1. 1.       Нить. 2.       Шарик из измеряемого материала. 3.       Пластина из того же материала, что и шарик. 4.       Табло – количество колебаний. 5.       Табло – время колебаний. 6.       Сброс. 7.       Стоп. 8.       Сеть.

                                  Рис. 1

3.     
Теория метода.

Шар, закрепленный на длинной тонкой нити, может кататься по наклонной плоскости, при этом нить закручивается. Если шар отвести из положения равновесия (ось OO') на угол a и затем отпустить. то он будет колебаться, катаясь около положения равновесия. (рис. 2, а). Из-за трения колебания будут постепенно затухать.

Можно надеяться, что по величине затухания колебаний можно определить силу трения и коэффициент трения. Качественно оце­нить величину затухания можно с помощью несложного опыта. Плоскость установим под углом a — 45⁰ к горизонту. Отведем шар на угол a — 6° и подсчитаем число колебаний, при которых ампли­туда угла будет равна 4°. Число колебаний примерно будет от 10 до 15. Таким образом, за 10 колебаний амплитуда уменьшилась на 2°, а за одно колебание — на 0,2° = 3,5*10 ^-2 рад.

Типичное значение коэффи­циента трения скольжения m ~ 10^-1, а коэффициент трения каче­ния, как мы убедимся на опыте, m ~10^-3. Трудно надеяться, что та­кое малое значение можно достаточно точно измерить с помощью та­кого опыта, как наш.  Но по порядку величины m можно определить.

Выведем формулу, которая связывает уменьшение амплитуды колебаний с m.

Пусть  А — точка поворота (рис. 2, а). В этом положении нить маятника составляет угол a с осью OO'. Если бы трения не было, то через половину периода маятник оказался бы в точке А',  а угол отклонения был бы равен  a. Но из-за трения шар немного не дока­тится до точки N и остановится в точке В.  Это и будет точка поворо­та. В этой точке угол нити с осью OO' будет   -   За половину периода угол поворота маятника уменьшился на . Точка В рас­положена несколько ниже, чем точка А, и поэтому потенциальная энергия маятника в точке В меньше, чем в точке А. Следовательно, маятник потерял высоту при перемещении из А в В.

Найдем связь между потерей угла   и потерей высоты . Для этого спроецируем точки А и В на ось ОО' (рис. 2. б). Это бу­дут точки А' и  В' соответственно. Очевидно, что длина отрезка

,

где l — длина нити, равная радиусу дуги АВ окружности. При этом угол этой дуги равен                 2- ,  длина дуги

 .

Так как ось ОО' наклонена под углом b к горизонту, то про­екция отрезка  на вертикальную ось и есть потеря  высоты :

.(1)



Рис. 2

При этом изменение потенциальной энергии  маятника между точками А  и В

, (2)

где m -  масса   шара,  g — ускорение свободного   падения.

Вычислим теперь   работу   силы трения. Так как сила трения

,  (3)

где m — коэффициент трения,— сила нормально­го давления шара на плоскость, то работа силы трения на пути  между точками А и В равна

.  (4)

 Так как , то из уравнении (1), (2) и (4) получаем

(5)

Выражение (5) можно существенно упростить, если учесть, что угол   очень мал (как мы уже отмечали, он порядка 10^-2). Так как  , то ,  и .

Поэтому формулу (5) можно записать так:



откуда

.   (6)

Из формулы (6) видно, что потеря угла за половину периода оп­ределяется величиной m и углом a. Однако можно найти такие ус­ловия, при которых  от угла a не зависит.

Вспомним, что m мало, порядка 10^-3. Если рассматривать до­статочно большие амплитуды a так, чтобы

,  (7)


то слагаемые m и ctgb  в  знаменателе формулы (6) можно пренебречь и тогда

.

С другой стороны, пусть углы a будут малыми, т. е. a<<1 и   тогда за половину колебания потеря угла

   (8)

Заметим, что формула (8) справедлива при условии

     
(9)


Из-за того, что m ~ 10^-2, углы ÷10^-4 рад удовлет­воряют неравенствам (9).

Если бы m было порядка 10^-2 -10^-1, как в случае трения сколь­жения, то тогда бы неравенства (9) не выполнялись. Понятно, что за одно полное колебание потеря угла будет , а за n колебаний потеря угла составляет



откуда


    (10)

Формула (10) дает удобный способ измерения m: необходимо измерить уменьшение угла  за 10—15 колебаний, а затем по формуле (10) вычислить m. Мы знаем, что за 10 колебаний угол уменьшается примерно на 2° (при b =45°). Тогда   n=10 и

Выясним физический смысл коэффициента трения качения. Рас­смотрим сначала более общую задачу. Шар массой m и моментом инерции - относительно оси, проходящей через центр масс, дви­жется по гладкой поверхности (рис. 3). К центру масс С приложе­на сила  направленная вдоль оси X и являющаяся функ­цией координаты х. Со стороны поверхности на тело действует сила трения . Пусть момент силы трения относительно оси. проходя­щей через центр С шара, равен. Уравнения движения шара в этом случае имеют вид

   (11)

      (12)

где  — скорость   центра масс,  w — угловая скорость.  В урав­нениях (11) и (12) четыре неизвестных:, w,  и . Поэтому в общем случае  задача   не определена.

Рис. 3.

Допустим, что:

1) тело катится   без   проскальзыва­ния. Тогда


    (13)


где R — радиус   катка;

2) тело и плоскость являются абсо­лютно  жесткими,   т. е. тело  не дефор­мируется,    а    касается    плоскости   в   одной точке О (точечный контакт), тогда между моментом силы трения н силой трения име­ется   связь

 (14)


С учетом (13) и (14) из (11) и (12) получаем, например, выражение для силы трения

          (15)

Выражение (15) не содержит коэффициента трения m который определяется физическими свойствами соприкасающихся поверх­ностей шара и плоскости, такими, как шероховатость, или вид ма­териала, из которого изготовлен шар, или плоскость. Этот резуль­тат — прямое следствие принятой идеализации, отражаемой связя­ми (13) и (14). Кроме того, легко показать, что в принятой модели сила трения не совершает работы. Действительно, умножим урав­нение (11) на , а уравнение (12) — на w. Учитывая, что


   


и  складывая   (II)   и   (12),   получаем


    (16)

где   -   потенциальная   энергия шара  в поле силы F(x). Обратите внимание, что


      (17)

Если принять во внимание (13) и (14), то правая часть равенства  (16) обращается в нуль. В левой части (16) стоит производная, но времени от полной энергии E системы,  которая состоит из кинети­ческой энергии поступательного движения катка  и кине­тической энергии вращательного движения  и потенциаль­ной энергии W
(х). Это значит, что полная энергия системы по­стоянная величина, т. е. сила трения не совершает работы. Оче­видно, что и этот несколько странный результат также следствие принятой идеализации. Это говорит о том, что принятая идеализа­ция не отвечает физической реальности. В самом деле, в процессе движения шар взаимодействует с плоскостью, поэтому его меха­ническая энергия должна убывать, а это значит, что связи (13) и (I4) могут быть верны лишь настолько, насколько можно прене­бречь диссипацией энергии.

Совершенно ясно, что в данном случае нельзя принять такую идеализацию, поскольку наша цель — по изменению анергии маят­ника определить коэффициент трения.

Поступим следующим образом. Будем считать справедливым пред­положение об абсолютной жесткости шара и поверхности, а значит, и справедливой связи (14). Однако откажемся от предположения, что шар движется без проскальзывания. Мы допустим (а потом и убедимся), что имеет место слабое проскальзывание.

Пусть скорость точек касания (на рис. 3 точка О) тара (ско­рость проскальзывания)


    (18)

 Будем считать, что

 
(19)


Тогда,  подставляя в уравнение (16)  и учитывая условия (14) н (19), приходим к уравнению

    (20)

из которого видно, что скорость диссипации энергии равна мощ­ности силы трения. Результат вполне естественный, тело скользит по поверхности со скоростью u, на него действует сила трения, со­вершающая работу, вследствие чего полная энергия системы умень­шается.

Выполняя в (20) дифференцирование и учитывая (17), получаем уравнение движения центра масс шара:


       (21)

 Оно аналогично уравнению движения материальной точки массой


  (22)

под действием внешней силы F и силы трения качения



причем  — обычное трение скольжения. Следовательно, при ка­чении шара эффективная сила трения, которую называют силой трения качения, есть просто обычная сила трения скольжения, умноженная на отношение скорости проскальзывания к скорости центра масс тела. Практически часто реализуется случай, когда трение качения от скорости тела не зависит. Видно, что в этом слу­чае скорость проскальзывания и пропорциональна скорости тела:



где e — коэффициент   пропорциональности.  Обычно e<<1. Сила трения скольжения имеет вид



где m — коэффициент трения скольжения, N — нормальная реак­ция опоры (сила нормального давления). Тогда



где  — коэффициент трения качения. Естественно, что не­зависимость силы трения качения от скорости тела может быть проверена только опытным путем. Если это так, то уравнение движения

шара (21) имеет вид

  (23)

причем  — постоянная величина. Отметим, что точно такое же уравнение можно получить, если оставить связь (13), но вместо условия (14) взять связь между моментом силы трения и си­лой трения вида

    (24)

где l < 1 — некоторый постоянный коэффициент. Связь (24) мож­но интерпретировать так:  тело или плоскость несколько деформируется, поэтому плечо силы трения lR намного меньше, чем для слу­чая абсолютно жесткого контакта.

Обратимся теперь конкретно к нашей задаче о движении наклон­ного маятника. В общем случае вопрос о силе трения качения выхо­дит за рамки чисто механических моделей и требует учета вида де­формации поверхности, а также изучения характера взаимодейст­вия в зоне контакта тела и поверхности.

Рассмотрим силы, действующие на шар (рис. 4).



Рис. 4.                                                             Рис.5.

Силу тяжести mg разложим на две составляющие силы, направ­ленные перпендикулярно и параллельно плоскости:   . Co стороны наклонной плоскости на шар действует сила реакции опоры — N так, что сумма всех сил в направлении перпендикулярном плоскости, равна нулю.

Силу F_II (рис. 5) разложим также на две составляющих, на­правленных вдоль нити и перпендикулярно ей:  и  Таким образом, возвращающая сила в скалярной форме  равна


   (25)

где  х — длина дуги, отсчитываемая от положения рав­новесия, знак минус взят потому, что возвращающая сила направ­лена в сторону, противоположную смещению. На шар действует сила  трения



направление которой зависит от направления скорости проскаль­зывания u. Если шар движется справа налево (как на Рис. 5), то

   и

При  u >0  и   F<0.   Подставляя (25) и (26) в (21), получаем уравнение движения  маятника:

    (27)

При этом знак «+» берется, когда шар движется справа налево, знак «—» соответствует движению слева направо. Таким образом, уравнение движения (27) — это фактически два уравнения, описывающих движение тара в противоположных направлениях. Чтобы получить решение уравнения (27). необходимо обладать известным терпением и навыком. Именно поэтому мы избрали более наглядный энергетический подход для вывода формулы (10).

Однако уравнение движения дает еще информацию о периоде колебаний и, кроме того, раскрывает физический смысл неравенств (7) и (9).

Пусть вначале мы отклонили маятник на некоторый угол  вправо и без толчка отпустили его. Когда шар покатится? Это будет, если а<0 или как следует из уравнения (27), при условии

   (28)

Обозначим  Область углов |a|<a₀  является областью застоя, в этой области сила трения больше возвращаю­щей силы. Таким образом, физический смысл неравенства (7) оче­виден, углы, а должны быть много больше угла застоя a₀ , чтобы колебаний было достаточно много и маятник не остался сразу в зоне застоя.

Будем рассматривать малые колебания, тогда  но одновременно   Тогда уравнение (27) мож­но записать так:

  (29)
где  —  частота колебаний. Для периода колеба­ний  получаем следующее выражение:

где

Так как момент инерции шара массой m равен     где R — радиус   шара,   то  поэтому


Эту зависимость нетрудно проверить экспериментально и убедить­ся в справедливости принятой модели трения качения.

Измерения

1. Измерение коэффициента трения m. Наклонную плоскость устанавливают под некоторым углом b. Шар отводят на угол  и без толчка отпускают. Подсчитывают число колеба­ний, за которое амплитуда уменьшилась на 2 — 3°.

По формуле (10)  вычисляют .

2. Измерение зависимости периода колебаний от угла b. Изме­няют угол наклона b в диапазоне Для каждого b измеряют миллисекундомером период колебаний. Измерения про­водят 2—3 раза при различных углах a<<1.

Задание.

1. С помощью регулировочных винтов установите наклонную плоскость вертикально. При этом нить маятника занимает верти­кальное положение и устанавливается напротив отметки О на шка­ле углов . Шар почти касается наклонной плоскости.

Установите и закрепите шкалу углов Р на отметку= 90°. Затем установите плоскость под углом = 45°.

Отведите маятник на угол = 6 + 10° и подсчитайте число колебаний, когда шар опустится на угол 2°. Затем, стартуя с того же угла, подсчитайте число колебаний, при которых шар опустится на 3 и 4°.

Установите наклонную плоскость под углами = 30° и =60° и проделайте все измерения для этих углов.

Результаты опытов занесите в табл.

Выяснить, насколько значения  отличаются одно от другого при различных .

2. Найдите зависимость от sin
.

Цель этого задания — убедиться в справедливости зависимости
4.Таблицы с результатами измерений.

Таблицы с измерениями для алюминия.

45o	6o	2o	4	8,101	0,003532	0,003728
		3o	5	9,578	0,004238
		4o	9	18,621	0,003140
	7o	2o	4	6,665	0,003532
		3o	6	12,658	0,003532
		4o	8	16,160	0,003532
	8o	2o	4	8,664	0,003532
		3o	5	10,677	0,004238
		4o	8	16,111	0,003532
	9o	2o	4	8,663	0,003532
		3o	5	16,668	0,004238
		4o	8	16,168	0,003532
	10o	2o	4	8,623	0,003532
		3o	5	10,618	0,004238
		4o	7	14,661	0,004037

60o	6o	2o	4	9,304	0,000698	0,000831
		3o	6	13,550	0,000698
		4o	7	16,175	0,000798
	7o	2o	4	9,300	0,000698
		3o	5	12,283	0,000837
		4o	7	16,327	0,000798
	8o	2o	4	9,301	0,000698
		3o	5	11,576	0,000837
		4o	7	18,623	0,000798
	9o	2o	3	6,556	0,000930
		3o	4	9,289	0,001047
		4o	6	13,597	0,000930
	10o	2o	3	6,673	0,000930
		3o	5	11,510	0,000837
		4o	6	13,532	0,000930

30o	6o	2o	6	10,380	0,00931	0,010026
		3o	9	16,641	0,00931
		4o	12	21,515	0,00931
	7o	2o	6	10,683	0,00931
		3o	8	14,237	0,01048
		4o	12	21,526	0,00931
	8o	2o	6	10,677	0,00931
		3o	8	14,210	0,01048
		4o	12	19,569	0,00931
	9o	2o	5	8,670	0,01117
		3o	7	12,271	0,01197
		4o	10	17,785	0,01117
	10o	2o	6	10,658	0,00931
		3o	8	14,184	0,01048
		4o	11	19,490	0,01016
Таблицы с измерениями для меди.
45o	6o	2o	4	7,797	0,003532	0,004353
		3o	6	11,685	0,003532
		4o	8	15,528	0,003532
	7o	2o	3	5,835	0,004709
		3o	6	11,643	0,003532
		4o	7	13,604	0,004037
	8o	2o	3	5,825	0,004709
		3o	5	9,675	0,004238
		4o	6	11,628	0,004709
	9o	2o	3	5,806	0,004709
		3o	4	7,744	0,005298
		4o	6	11,612	0,004709
	10o	2o	3	5,802	0,004709
		3o	4	7,733	0,005298
		4o	7	13,579	0,004037

30o	6o	2o	4	7,144	0,01397	0,014391
		3o	5	8,928	0,01676
		4o	9	16,126	0,01242
	7o	2o	5	8,920	0,01117
		3o	6	10,714	0,01397
		4o	8	14,253	0,01397
	8o	2o	4	7,127	0,01397
		3o	6	10,699	0,01397
		4o	7	12,489	0,01596
	9o	2o	4	7,118	0,01397
		3o	6	10,681	0,01397
		4o	9	16,036	0,01242
	10o	2o	3	1,338	0,01862
		3o	5	8,907	0,01676
		4o	8	14,236	0,01397

60o	6o	2o	2	4,695	0,001396	0,001336
		3o	3	7,490	0,001396
		4o	4	9,295	0,001396
	7o	2o	2	4,620	0,001396
		3o	3	6,938	0,001396
		4o	4	9,253	0,001396
	8o	2o	2	4,594	0,001396
		3o	3	6,928	0,001396
		4o	4	9,255	0,001396
	9o	2o	2	4,583	0,001396
		3o	4	9,225	0,001047
		4o	5	11,557	0,001117
	10o	2o	2	4,600	0,001396
		3o	3	6,905	0,001396
		4o	5	11,496	0,001117

Таблицы с измерениями для стали.

45o	6o	2o	12	24,300	0,001177	0,00149
		3o	15	30,360	0,001413
		4o	21	42,401	0,001346
	7o	2o	10	20,194	0,001413
		3o	13	26,336	0,00163
		4o	18	36,454	0,001570
	8o	2o	11	24,230	0,001284
		3o	15	30,354	0,001413
		4o	19	38,496	0,001487
	9o	2o	12	24,238	0,001177
		3o	14	28,409	0,001514
		4o	15	40,628	0,001884
	10o	2o	9	18,195	0,001570
		3o	12	25,838	0,001766
		4o	16	32,394	0,001766

30o	6o	2o	13	23,767	0,00430	0,00546
		3o	16	29,572	0,00524
		4o	23	42,457	0,00486
	7o	2o	11	20,528	0,00508
		3o	14	25,635	0,00559
		4o	21	38,769	0,00532
	8o	2o	10	18,440	0,00559
		3o	17	31,359	0,00493
		4o	22	40,370	0,00508
	9o	2o	11	20,512	0,00508
		3o	14	25,525	0,00599
		4o	19	35,177	0,00588
	10o	2o	9	16,655	0,00621
		3o	12	22,230	0,00698
		4o	19	25,191	0,00588

60o	6o	2o	7	16,631	0,000399	0,00036
		3o	11	26,550	0,000381
		4o	14	31,541	0,000399
	7o	2o	9	21,625	0,00031
		3o	11	26,446	0,000381
		4o	15	36,117	0,000372
	8o	2o	9	21,535	0,00031
		3o	11	26,428	0,000381
		4o	15	36,329	0,000372
	9o	2o	8	21,546	0,000349
		3o	12	28,602	0,000346
		4o	15	35,546	0,000372
	10o	2o	8	19,175	0,000349
		3o	11	26,326	0,000381
		4o	15	36,786	0,000372

5. Обработка  результатов измерений.

По формуле
 рассчитываем , потом по формуле  находим , а затем   

Для алюминия:

,

,

,

.

Для меди:

,  

,

,


.
Для стали:


,  

,

,


.

Расчет погрешностей:




Для алюминия:

 



Относительная погрешность:  
Для меди:





Относительная погрешность:

Для стали:





Относительная погрешность:

Запись результатов: