Реферат Анализ терминального члена
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Пример в компании рассматривается вопрос о сумме инвестиций и сумме необходимых займов в наступающем году. Компания осуществляет только один проект, Сделаем также следующие допущения.
1. Имеющиеся инвестиционные возможности компании не превышают B -1 млн дол. Инвестиции принесут постоянные потоки денежных средств (после уплаты налогов). Пусть ожидаемая величина этих потоков равна С
. Тогда С
= 0,09х и внутренняя норма доходности проекта равна -9%.
2. Рыночная норма капитализации доходов составляет r
= 10%. Значит. если компания использует только собственные источники финансирования проекта, связанные с ним активы создадут чистую приведенную стоимость, равную -0,10 дол. на каждый вложенный доллар
( - х +0,09 х/ 0,10 = -0,1х).
3. Политика компании такова, что новые займы не должны превышать 40% новых инвестиций.
4. У компании имеется 800 000 дол. денежных средств.
5. Избыточные денежные средства выплачиваются в виде дивидендов.
6. Ожидается, что поступления заемных и собственных средств для финансирования проекта будут происходить постоянно.
В целях упрощения мы начнем с формулы оценки стоимости фирмы Модильяни-Миллера. Если компания ничего не предпринимает (х и у
равны) тогда ее стоимость(v
) (ф. 3.19) равна:
V= V
0+ Т0
D
где: T
— предельная ставка налога на прибыль (0,5 в данном примере);
Величина Т0
D
представляет собой приведенную стоимость всех налоговых щитов, возникающих в связи с привлечением заемного капитала, при условии, что займы используются постоянно.
В нашем примере:
V =
V0
+0,5
D
-0,1
x
+ 0,5
y
.
Величины v
0
и
D
постоянны, а следовательно, не зависят от выбора значений х
и у
. Значит, мы можем найти максимальное решение выражения -(- 0,1х
: + 0,5у
), в котором предусмотрены ограничения на сумму инвестиций, (х ≤ 1) и на сумму займов (у
≤ 0,4х), а соотношение источников и использования капитала выглядит как (х ≤ у
+ 0,8).
Решение.
Математическая модель задачи следующая:
Целевая функция:
Ограничения:
Это - задача линейного программирования. Её можно решать графически, т.к. в задаче две переменные. Строим область допустимых решений, ограниченную первой четвертью (x,y - неотрицательны) и тремя прямыми.
Рис. 3.1. Графическое решение оптимизационной задачи
Эта зона расположена левее прямой х
= 1, так как инвестиционные возможности компании ограничены 1 млн. дол. Она расположена также выше кривой х
= 0.8 + у
, так как инвестиции ограничены имеющимися денежными средствами (800 тыс. дол.) и дополнительными займами. Эта зона размещается под кривой у
= 0.4.x, поскольку новые заемные средства ограничены суммой 40% инвестиций.
Далее строим вектор-градиент целевой функции с координатами (-0.1; 0,5), который указывает направление наискорейшего роста оценки стоимости компании (жирная стрелка на рис.3.1) и перпендикулярную ему линию уровня -0.1x+0.5y=const (пунктирная линия на рис.3.1). Передвигаем линию уровня в направлении вектор-градиента до тех пор, пока она не покинет область допустимых решений. Координаты точки выхода и будут являться оптимальным решением задачи. В данном случает решение – это точка А(1;0.4). Целевая функция достигнет в этой точке своего максимума Vmax = V(1; 0.4) = 0.1 млн $, с учетом имеющихся ограничений.
Эту же задачу удобно решать с использованием встроенной функции Поиск решения в таблицах MS Excel. Этот способ является предпочтительным по сравнению с графическим, т.к. исключаются ошибки, связанные с неточностью построения, быстро находится решение, нет ограничений на количество переменных, можно менять условия задачи, анализировать чувствительность решения к изменениям некоторых параметров задачи и т. п.
Для решения задач оптимизации в MS Excel используют надстройку Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Данные» (рис. 3.2).
Рис. 3.2.
Рассмотрим использование данной надстройки на рассматриваемом примере.
Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Шаблон оформления задачи
Заносим числовую информацию из условия задачи (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Исходные данные задачи
В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых частей неравенств) необходимо занести формулы, отображающие связи и отношения между числами на рабочем листе.
Ячейки B3 – С3 называются в Excel изменяемыми (в нашей модели это неизвестные переменные), т.е., изменяя их Поиск решения будет находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).
Теперь необходимо ввести формулы. В MS Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти скалярное произведение векторов. В ячейку Е3 необходимо вызвать данную функцию, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это В4:С4) и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения искомых переменных (ячейки В3:С3) (рис. 3.5).
Рис. 3.5. Вызов функции СУММПРОИЗВ
Рис. 3.6.
В ячейке, отведенной для формулы левой части первого ограничения (D8), вызовем функцию СУММПРОИЗВ. В качестве адресов перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В8:С8 и адрес значений переменных В3:С3 (рис. 3.6).
Используя кнопку F4, зафиксируем ячейки с искомыми переменными, что бы при копировании этой функции в две оставшиеся ячейки графы «Левая часть» получить аналогичные формулы.
Важно! К моменту вызова сервиса Поиск решения на рабочем листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей ограничений и формула для значения целевой функции.
Далее в меню Сервис выбираем функцию Поиск решения. В появившемся окне задаём следующую информацию:
а) в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения целевой функции Е3;
б) «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в данном случае, оценка стоимости фирмы подлежит максимизации;
в) в качестве изменяемых ячеек заносится адреса ячеек значений переменных В3:С3;
г) справа от окна, предназначенного для занесения ограничений, нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения (рис. 3.7)
| Рис.3.7. Форма для занесения одного ограничения ЗЛП |
если все ограничения одного знака, то их можно занести одной записью: в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адреса формул для левых частей ограничений D8:D10, выбирается требуемый знак неравенства (в нашем случае, <=), в поле «Ограничение» заносятся ссылки на правую часть ограничений F8:F10 (рис. 3.8). Нажимается кнопка «ОК».
Рис. 3.8. Занесение ограничений задачи
д) В разделе Параметры поставить флажок напротив Линейная модель и Неотрицательные значения.
Таким образом, окно Поиск решения с занесенной информацией выглядит следующим образом (рис.3.9):
Рис.3.9.
Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется окно результата решения (рис.3.10).
Рис.3.10. Окно результата решения
Если в результате всех действий получено окно с сообщением «Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В результате получено решение рассматриваемой задачи. (рис.3.11).
Рис. 3.11. Результат применения Поиска решения
Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о невозможности нахождения решения (рис.3.12), это означает, что или при оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений, неправильно установлен «флажок» максимизации/минимизации и т.д.) или об отсутствии решения оптимизационной задачи.
Рис.3.12. Сообщение об ошибке
Итак, компанию не привлекает данная инвестиция, так как ее чистая приведенная стоимость отрицательна и равна -0,1 дол. на каждый вложенный доллар. Однако компания стремится получить заем, и для этого она все же вынуждена осуществлять проект. Таким образом, стоимость компании достигает максимума при х = 1, у = 0,4. Компания инвестирует капитал и получает в долг столько, сколько может.
Однако заметим, что ограничение х ≤ 0,8 +у не связано с оптимальным решением. Компания получает заемных средств на 200 000 дол. больше, чем ей необходимо для инвестиций (из третьего ограничения y = x-0.8 = 1-0.8 = 0.2, а по решению y = 0.4, следовательно, на 0.2 млн. $ больше). Поэтому у нее имеется 200 000 дол. для распределения в виде дивидендов.
В этом примере фирма в лучшем случае может инвестировать 1 млн дол. и взять заем в размере 40% от новых инвестиций. Источниками новых инвестиций должны служить имеющиеся денежные средства (0,8 млн дол.) или новые займы. Эти инвестиции сами по себе не являются привлекательными, (чистая приведенная стоимость равна -0,1х дол.), однако фирма захочет их осуществить ради привлечения заемного капитала, поскольку налоговый щит, создаваемый вследствие этого займа, перекрывает чистый убыток приведенной стоимости новых инвестиций.
Почему оптимальное решение в данном случае требует осуществления проекта с отрицательной чистой приведенной стоимостью? Причина заключается в том, что внедрение проекта позволяет компании получить дополнительные заемные средства, и экономия на налоге на прибыль, возникающая вследствие выплаты процентов по долгу, превышает низкую отдачу самого проекта. (На самом деле оптимальное решение по-прежнему будет состоять в х
= 1 и у
= 0,4, пока проект приносит более чем —0,20 дол. на каждый инвестированный доллар. Если проект дает меньше, например, —0,30 дол., тогда решение равно х = у
= 0.) Таким образом, ограничения кредитоемкости делают инвестиционные решения и решения по финансированию взаимозависимыми. И поэтому взаимозависимость между инвестиционными решениями и решениями по финансированию специально не вводилась.
Отслеживать, какие произойдут изменения решения с изменением значений коэффициентов целевой функции удобно, если использовать результаты отчета по устойчивости. Что бы получить его необходимо снова запустить Поиск решения и в окне с результатами поиска решения заказать отчет по устойчивости. (рис. 3.13)
Рис. 3.13.
Отчет будет выведен на новый лист и будет содержать следующую информацию: (рис. 3.14)
Рис. 3.14. Отчет по устойчивости
По первой таблице отчета видим, что результ. значение: x=1, y=0,4. Нормированная стоимость – это значение, на которое понизится значение целевой функции, если принудительно полагать значение переменных (инвестиций (x) и займа (y)) не равными нулю. Но, поскольку их значения и так отличны от нуля, то нормир. стоимость равна нулю.
Целевой коэффициент – это значение коэффициентов целевой функции из условия задачи. Допустимое увеличение и допустимое уменьшение – эти величины показывают, в каком диапазоне могут изменяться значения целевых коэффициентов, от чего оптимальное решение не измениться. Т.е., если чистая приведенная стоимость проекта уменьшиться до -0,2x или увеличиться на любое число (до бесконечности), то оптимальное решение x = 1, y = 0,4 не измениться. Аналогичные выводы можно сделать и относительно «налогового щита»: если ставка налога уменьшится до 0,25 или увеличиться на любое число, то оптимальное решение так же не измениться. Содержание второй таблице обсудим ниже.
Влияние дивидендной политики. В приведенном примере ограничения на источники и использование ресурсов не увязаны между собой. Однако, что произойдет, если они окажутся взаимосвязаны? Что, если у компании будет, только 500 000 дол.?
Изменяем коэффициент правой части в третьем ограничении задачи: х
<=0.5+
y
, и находим новое решение с помощью Поиск решения.(рис. 3.15)
Рис. 3.15.
Оптимальное решение х
= 5/6 , у
=1/3, но значение целевой функции - оценка стоимости компании при этом решении принимает меньшее значение: Vmax = V(5/6; 1/3) = 0.083 млн $.
Однако если учитывать политику дивидендов, тогда необходимо рассмотреть и возможность нового выпуска акций. Значит, ограничение на самом деле будет выглядеть так:
x +
DIV
≤0,8+
y+
SI
,
где DIV
— это выплаченные дивиденды и SI
— это выпуски акций в млн дол. Если дивидендная политика не играет роли, тогда DIV
и SI не оказывают никакого влияния на целевую функцию. И ограничение само по себе не имеет значения. Оптимальное решение остается прежним х
= 1 ,у
= 0,4. Компания должна сделать дополнительный выпуск акций на сумму 100 000 дол., но уже после того, как инвестиционные и финансовые решения приняты.
Однако в реальной практике возникнут еще операционные издержки, связанные с выпуском новых ценных бумаг. Эти затраты необходимо учесть в примере и вычесть из целевой функции, тогда ограничения на источники и использование ресурсов станут взаимоувязанными и соотносимыми. Решения для х
и у
будут действительно иными, если операционные издержки достаточно велики.
Таким образом, ограничения на источники и использование капитала становятся существенными только в том случае, если появляются операционные издержки, связанные с выпуском в обращение ценных бумаг, либо влиянием дивидендной политики на поведение инвесторов или с какими то. другими причинами.
Расширение модели
Пример, который мы приводили, опирался только на две переменные. Поэтому мы можем расширить модель LONGER для усиления ее практической применимости за счет введения дополнительных переменных и ограничений.
Одно из вероятных расширений – влияние дивидендной политики. Допустим, компания может платить дивиденды или выпускать новые обыкновенные акции, но ее денежные средства ограничены суммой 0,5 млн дол. Тогда задача линейного программирования принимает следующий вид:
целевая функция:
Если дивидендная политика не имеет значения, тогда коэффициенты a
и b
равны 0. Но на самом деле коэффициент b должен быть отрицателен, поскольку отражает операционные издержки по выпуску новых акций в обращение. А коэффициент а
мог бы иметь положительное либо отрицательное значения или равняться 0 в зависимости от того, какую точку зрения по вопросу о дивидендной политике вы разделяете. Поскольку новая целевая функция отличается от прежней на экзогенную величину aDIV +
bSI, то задача решается аналогично рассмотренному ранее случаю.
Теперь предположим, что компания располагает еще одной возможностью инвестирования в проект, который требует 2 млн дол. и обеспечивает 0,12 дол чистой приведенной стоимости на каждый вложенный доллар. Однако динамика событий по проекту 2 менее предсказуема, чем по проекту 1, и поэтом компания планирует получить заем только на сумму 20% от объема инвестиций проекта 2.Тогда модель принимает следующий вид:
целевая функция:
Поскольку действует правило сложения приведенных стоимостей, то можно включать в данную задачу сколько угодно проектов, не нарушая линейной формы ее целевой функции. Более того, вовсе не обязательно, чтобы все проекты, которые мы включим в задачу, имели одинаковую степень риска или одинаковый характер распределения во времени потоков денежных средств. Нет ничего плохого в строительстве здания одновременно с разработкой нефтяной скважины, если в обоих случаях чистая приведенная стоимость положительна.
Если мы введем в задачу проекты с нерегулярными потоками денежных средств, мы, естественно, должны считать, что объемы займов в разные периоды будут меняться. Допустим, что горизонт планирования у компании составляет 5 лет. Тогда мы можем заменить переменную у, которая показывает -заемный капитал, на ряд переменных у1, у2,
y3,
y4, у5
, где yt
- это совокупный плановый объем заемного капитала для года t . Это, в свою очередь, требует уточнить, что размеры дивидендов и выпусков акций также изменяются в разные периоды. Поэтому целевая функция примет вид:
Можно было бы ввести и другие ограничения. Например, финансовый менеджер хотел бы попытаться избежать снижения уровня дивидендов в плане. Но тогда понадобится еще пять ограничений:
• DIV1 ≥
DIV 0 (дивидендов в период 0)
• DIV2≥
DIV1,
•
DIV3≥
DIV2
•
DIV4≥
DIV3
•
DIV5 ≥
DIV4
.
В некоторых компаниях устанавливаются требования к росту прибыли, показанной в отчетности. Допустим, желаемый темп роста равен g.
Тогда придется ввести еще пять ограничений, например, Zt ≥ (1 +
g)
Zt-1,
где Zt
представляет прогнозные прибыли в году t.
Переменная Z
, будет определяться, исходя из других переменных, включенных в модель.
Теневые цены, или предельные издержки.
Решение любой задачи линейного программирования включает рассмотрение двойственных оценок - теневых цен, или предельных издержек, для каждого из введенных в модель ограничений. В примере, который рассматривался в начале, содержатся три ограничения, а значит, и три теневые цены. Их значения содержаться во второй таблице отчета по устойчивости (рис. 3.14)
Таблица 3.1
Характеристика теневых цен (предельных издержек)
| Ограничения | Теневая цена | Допустимое увеличение | Допустимое уменьшение | Пояснения |
| На инвестиции ( х≤ 1) | 0,1 | 0,33 | 1 | При увеличении инвестиций на 1 доллар чистая приведенная стоимость компании увеличиться на 0,1 доллара. Данная теневая цена не измениться, если инв. возможности компании будут изменяться в пределах от 0 до 1,33 млн. долларов. |
| На заемный капитал (-0,4x+y≤0) | 0,5 | ∞ | 0,2 | 1 дол. дополнительных заемных средств увеличит чистую приведенную стоимость компании на 0,5 долларов, т.е. экономит 0,5 дол. на налоге на прибыль. При этом данная теневая цена не измениться, если ограничение на заемные средства уменьшатся на 0,2 млн. долларов или увеличатся на любое число. |
| На денежные средства, имеющиеся у компании (х - y≤ 0,8) | 0 | ∞ | 0,2 | Нулевая теневая цена означает избыток по данном ограничению, действительно, при оптимальном решении компания имеет избыточные ден. средства. Увеличение ден. средств компании не увеличит чистую приведенную стоимость. При этом данная оценка не измениться, если уменьшить величину ден. средств на 0,2 млн. долларов или увеличить их на любое число. |
Под теневыми ценами имеются в виду изменения в целевой функции на единицу изменений в ограничениях (Теневые цена имеют значение лишь при условии предельных изменений в ограничениях, однако критерий отнесения данных сдвигов в ограничениях к предельным, меняется в зависимости от каждой конкретной проблемы). В нашем примере целевая функция состоит в увеличении чистой приведенной стоимости. Следовательно, теневая цена 0,1 предельной суммы инвестиций означает, что если бы компания могла вложить 1 000 001 дол. вместо 1 млн дол., чистая приведенная стоимость возросла бы на 10 центов. Теневая цена заемного капитала в 0,5 означает, что если бы компания могла получить кредит на сумму 400 001 дол. вместо 400 000 дол. при условии неизменности суммы инвестиций (1 млн. дол.), чистая приведенная стоимость возросла бы на 50 центов.
Ограничения на денежные средства, имеющиеся в распоряжении компании, не связаны с оптимальным решением. Компания получает на 200000 дол. больше заемного капитала, чем ей необходимо, и поэтому теневая цена этого ограничения равна нулю. Иначе говоря, избыточные денежные средства, полученные компанией, будут иметь чистую приведенную стоимость, равную нулю.
Теневые цены инвестиционных ограничений особенно интересны, так как именно они показывают предельный вклад проекта в величину рыночной стоимости компании, когда учтены все побочные последствия выбранных способов финансирования проекта.
3.4 Свертка критериев оптимальности
В тех случаях, когда невозможно отдать предпочтение какому-либо одному критерию, используется процедуру свертки критериев эффективности в один глобальный критерий эффективности. Свертка позволяет свести поиск оптимального инвестиционного решения по вектору критериев эффективности к процедуре поиска экстремума по одному критерию. Кроме того, свертка критериев проводится для оптимизации структуры портфеля инвестиционных проектов.
Для сравнения альтернативных проектов применяется свертка критериев следующего вида:
где
J
- число критериев, которые применяется для анализа экономической эффективности;
l
j- весовые коэффициенты, характеризующие важность критерия;
Fj - частный критерий эффективности, предварительно нормированный.
Свертка (3.25) дает возможность упорядочить инвестиционные проекты.
Для оптимизации инвестиционного портфеля используется свойство аддитивности чистого дисконтированного дохода. В этом случае поиск наилучшего варианта сводится к идентификации бинарных параметров свертки критерия вида (3.25).
прибыльность всего портфеля без учета факторов взаимовлияния может быть представлена следующей суммой:
где
N – количество проектов, претендующих на место в инвестиционном портфеле;
-го проекта, претендующего на место в портфеле проектов ;
yk - двоичная (бинарная) переменная, равная 1, если k
-ый проект включен в портфель и равная 0, если проект k
-ый проект отвергается.
Отметим, что сложные инвестиционные решения, такие как формирование инвестиционного портфеля, могут приостанавливать действие других правил. Например, в портфеле допускается присутствие проекта, имеющего отрицательную прибыльность, когда оптимизируется структура портфеля и этот проект должен быть обязательно включен в портфель.
3.5 Оптимизация инвестиционных портфелей
Для обеспечения успеха инвестиций формируются целевые функции инвестиционные портфели, которые затем оптимизируются по критериям риска или доходности. Когда в качестве критерия риска используется дисперсия дохода портфеля инвестиционных проектов, проектировщики стремятся получить гарантированные результаты, т.е. выражают стратегию осторожного инвестора. В этом случае основные соотношения для расчета оптимальной структуры портфеля повторяют подход модели Марковица.
Другим подходом к формированию портфеля инвестиционных проектов является оптимизация его чистого дисконтируемого дохода с учетом ограничений на располагаемые суммарные инвестиции, на риск и ограничений логического характера, обусловленных взаимными связями проектов.
Для оптимизации портфеля инвестиционных проектов дополним модель (6.5) поправками, учитывающими эффекты парного взаимодействия двух проектов, претендующими на место в инвестиционном портфеле. Тогда целевая функция примет следующий вид
где
N
– число проектов, претендующих на место в инвестиционном портфеле;
NPVk
- математическое ожидание чистого дисконтированного дохода k
-го проекта;
-го и j
-го проектов, если влияние является синергетическим, то она положительна.
Дополним целевую функцию основными ограничениями на ресурсы и допустимый риск для проектируемого инвестиционного портфеля.
Ограничение на ресурсы
где
-го проекта
-го проекта и j
-го проекта.
Ограничение на риск
где
-го проекта;
-го проекта и j
-го проекта в случае их одновременной реализации.
Возможные дополнительные ограничения.
1) Условные проекты.
Пусть проекты l
и m
являются условными (см. табл. 1.2). Тогда должно выполняться условие
yl
=
ym
(3.30)
2) Взаимно исключающие проекты.
Пусть проекты l
и m
являются взаимно исключающими. Тогда должно выполняться условие
3) Ограничения для представления эффектов экономического мультипликатора.
Пусть, например, эффект инвестиционного мультипликатора является трехступенчатым, т.е. проект l способен инициировать выполнение проекта m, а в свою очередь проект m является предпосылкой для выполнения проекта n. Тогда оптимизационную задачу следует дополнить следующими двумя неравенствами:
Сложные инвестиционные портфели.
Оптимизированные инвестиционные портфели можно тиражировать, т.е. в инвестиционный портфель вкладывать другие уже сформированные некоторым оптимальным образом инвестиционные портфели. Пусть, например, оптимизированному портфелю недвижимости соответствует
где целочисленные компоненты вектора z соответствуют значениям числа портфелей каждого вида в сложном портфеле.
Последнюю целевую функцию следует дополнить ограничениями на суммарные располагаемые инвестиционные ресурсы и риск.
Заметим, что рассмотренный подход более близок к экономической реальности, чем модель Марковица, поскольку все независимые переменные имеют дискретный характер. Для инвестиционного портфеля ценных бумаг, кроме того, применяя аналогичные дискретные построения, легко учесть организационные ограничения покупки и продажи ценных бумаг.
На следующем уровне детализации проектирования возникает практическая необходимость провести оптимизацию инвестиционного взаимодействия. Для исследования экономической реализуемости инвестиционных проектов оптимальный выбор источников финансирования и последующая оптимальная настройка структуры этих источников позволяют:
Ø Оценить верхнюю границу вероятности успешной реализации инвестиционного портфеля;
Ø Построить эффективные обратные связи для пересмотра портфеля;
Ø Извлекать дополнительные выгоды за счет перераспределения доходы инвестиционной деятельности в различных сегментах рыночной экономики.
Например, допустим, что финансирование портфеля инвестиционных проектов осуществляется за счет деятельности инвестора на фондовом рынке. Тогда выбор структуры портфеля ценных бумаг, подчиненный интересам успеха в реальном секторе экономики, во многом определяет критерий, по которому формируется портфель ценных бумаг. В качестве целевой функции здесь разумно принять максимум вероятности успешной реализации проекта.
4. ОЦЕНКА СТОИМОСТИ КАПИТАЛА ИНВЕСТИЦИОННОГО ПРОЕКТА
4.1. Понятие и экономическая сущность стоимости капитала
Под стоимостью капитала понимается доход, который должны принести инвестиции для того, чтобы они себя оправдали с точки зрения инвестора. Стоимость капитала выражается в виде процентной ставки (или доли единицы) от суммы капитала, вложенного в какой-либо бизнес, которую следует заплатить инвестору в течение года за использование его капитала. Инвестором может быть кредитор, собственник (акционер) предприятия или само предприятие. В последнем случае предприятие инвестирует собственный капитал, который образовался за период, предшествующий новым капитальным вложениям и следовательно принадлежит собственникам предприятия. В любом случае за использование капитала надо платить и мерой этого платежа выступает стоимость капитала.
Обычно считается, что стоимость капитала — это альтернативная стоимость, т.е. доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска. В самом деле, если компания хочет получить средства, то она должна обеспечить доход на них как минимум равный величине дохода, которую могут принести инвесторам альтернативные возможности вложения капитала.
Основная область применения стоимости капитала — оценка экономической эффективности инвестиций. Ставка дисконта, которая используется в методах оценки эффективности инвестиций, т.е. с помощью которой все денежные потоки, появляющиеся в процессе инвестиционного проекта приводятся к настоящему моменту времени, — это и есть стоимость капитала, который вкладывается в предприятие. Почему именно стоимость капитала служит ставкой дисконтирования? Напомним, что ставка дисконта — это процентная ставка отдачи, которую предприятие предполагает получить на заработанные в процессе реализации проекта деньги. Поскольку проект разворачивается в течение нескольких будущих лет, предприятие не имеет твердой уверенности в том, что оно найдет эффективный способ вложения заработанных денег. Но оно может вложить эти деньги в свой собственный бизнес и получить отдачу, как минимум равную стоимости капитала. Таким образом, стоимость капитала предприятия — это минимальная норма прибыльности при вложении заработанных в ходе реализации проекта денег.
На стоимость капитала оказывают влияние следующие факторы:
- уровень доходности других инвестиций,
- уровень риска данного капитального вложения,
- источники финансирования.
Рассмотрим каждый из факторов в отдельности. Поскольку стоимость капитала — это альтернативная стоимость, то есть доход, который ожидают получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска, стоимость данного капитального вложения зависит от текущего уровня процентных ставок на рынке ценных бумаг (облигаций и акций). Если предприятие предлагает вложить инвесторам капитал в более рискованное дело, то им должен быть обеспечен более высокий уровень доходности. Чем больше величина риска, присутствующая в активах компании, тем больше должен быть доход по ним для того, чтобы привлечь инвестора. Это золотое правило инвестирования.
Кроме этого, на стоимость капитала оказывает влияние то, какие источники финансирования имеются у предприятия. Процентные платежи по заемным источникам рассматриваются как валовые издержки (то есть входят в себестоимость) и потому делает долговые источники финансирования более выгодными для предприятия. Но в то же время использование заемных источников более рискованно для предприятий, так как процентные платежи и погашения основной части долга необходимо производить вне зависимости от результатов реализации инвестиционного проекта. Стремясь снизить риск, предприятие увеличивает долю собственных привлеченных средств (производит дополнительную эмиссию акций). При этом, стимулируя инвестора производить вложения в собственность, оно вынуждено обещать более высокую отдачу при прямом вложении капитала в собственность. Инвестор также сознает, что вложение в собственность предприятия более рискованный вид инвестиций по сравнению с кредитной инвестицией, и поэтому ожидает и требует более высокую отдачу.
4.2. Подходы и модели определения стоимости капитала
При изложении данного вопроса мы последовательно рассмотрим ряд частных простейших случаев с их последующим обобщением. При изложении первого примера будем абстрагироваться от налогового эффекта при вычислении стоимости капитала.
Пример . Пусть банк предоставляет предприятию кредит на условиях $2 на каждый имеющийся у него $1 собственных средств. Своих денег предприятие не имеет, но может привлечь акционерный капитал, начав выпуск акций. Банк предоставляет кредит по ставке 6%, а акционеры согласны вкладывать деньги при условии получения 12%. Если предприятию необходимы $3,000, то оно должно получить чистый денежный доход $2,000 * 0.06 = $120 с тем, чтобы удовлетворить требованиям банка и $1,000 * 0.12 = $120 для удовлетворения требований акционеров. Таким образом, стоимость капитала составит $240/$3,000 = 8%.
Точно такой же результат можно получить, используя следующую схему:
| Вид капитала | Стоимость | Доля | Компоненты |
| Заемный | 6% | 2/3 | 4% |
| Собственный | 12% | 1/3 | 4% |
| 8% | |||
Такой подход часто называют вычислением взвешенной средней стоимости капитала, которая часто обозначается WACC (Weighted Average Cost of Capital).
Для того, чтобы определить общую стоимость капитала, необходимо сначала оценить величину каждой его компоненты.
Обычно структура капитала инвестиционного проекта включает
- Собственный капитал в виде
· обыкновенных акций,
· накопленной прибыли за счет деятельности предприятия;
- Сумму средств, привлеченных за счет продажи привилегированных акций;
- Заемный капитал в виде
- долгосрочного банковского кредита,
- выпуска облигаций.
Рассматривая предприятия государственной формы собственности, работающие в рыночных (хозрасчетных) условиях, мы выделяем две компоненты:
- Собственный капитал в виде накопленной нераспределенной прибыли
- Заемный капитал в виде долгосрочных банковских кредитов
Ниже последовательно рассмотрены модели оценки каждой компоненты.
4.3. Модели определения стоимости собственного капитала
Стоимость собственного капитала — это денежный доход, который хотят получить держатели обыкновенных акций. Различают несколько моделей, каждая из которых базируется на использовании информации, имеющейся в распоряжении того, кто оценивает капитал.
4.3.1 Модель прогнозируемого роста дивидендов.
Расчет стоимости собственного капитала основывается на формуле
rС =
где rC — стоимость собственного капитала,
Р — рыночная цена одной акции,
D1 — дивиденд, обещанный компанией в первый год реализации инвестиционного проекта,
g — прогнозируемый ежегодный рост дивидендов.
Пример . Текущая цена одной обыкновенной акции компании составляет $40. Ожидаемая в следующем году величина дивиденда $4. Кроме того, предприятие планирует ежегодный прирост дивидендов 4%. Используя формулу (6.1) получаем
rС =
Данная модель применима к тем компаниям, величина прироста дивидендов которых постоянна. Если этого не наблюдается, то модель не может быть использована.
4.3.2 Ценовая модель капитальных активов
(CAPM: Capital Assets Price Model).
Использование данной модели наиболее распространено в условиях стабильной рыночной экономики при наличии достаточно большого числа данных, характеризующих прибыльность работы предприятия.
Модель использует существенным образом показатель риска конкретной фирмы, который формализуется введением показателя β. Этот показатель устроен таким образом, что β=0, если активы компании совершенно безрисковые (случай сколь желаемый, столь же редкий). Показатель β=0,, например, для казначейских облигаций США. (Декларировано также, что облигации внутреннего государственного займа в Украине также имеют нулевую степень риска). Показатель β=0,, если активы данного предприятия столь же рисковые, что и средние по рынку всех предприятий страны. Если для конкретного предприятия имеем: 0< β <1, то это предприятие менее рисковое по сравнению со средним по рынку, если β >1, то предприятие имеет большую степень риска.
Расчетная формула модели имеет вид
rCARM=
rf +(
rm +
rf) β (4.2)
где rf — величина безрискового вложения капитала,
rm — рыночная доходность
β — фактор риска.
Изменение rCARM согласно модели 4.1 в зависимости от риска иллюстрируется графически с помощью следующего рисунка.
Рис.4.1.. Доходность собственного капитала компании
Для определения β проводится ретроспективный анализ по сравнительным данным прибыльности анализируемого предприятия и средней рыночной прибыльности и строится соответствующая прямолинейная регрессионная зависимость, которая отражает корреляцию прибыльности предприятия и средней рыночной прибыльности. Регрессионный коэффициент этой зависимости служит основой для оценки β — фактора.
Пример Предприятие АВС является относительно стабильной компанией с величиной β=0,5. Величина процентной ставки безрискового вложения капитала равна 6%, а средняя по фондовому рынку — 9%. Согласно ценовой модели капитальных активов стоимость капитала компании равна:
rCARM= 0,06+(0,09-0,06)·0,5=7,5%
4.3.3 Модель прибыли на акцию.
Данная модель оценки стоимости собственного капитала базируется на показателе прибыли на акцию, а не на величине дивидендов. Многие инвесторы считают, что именно показатель величины прибыли на акцию отражает реальный доход, получаемый акционерами, независимо от того, выплачивается ли он в виде дивидендов или реинвестируется с тем, чтобы принести инвесторам выгоды в будущем. Инвесторы пристально следят за показателем прибыли на одну акцию, который публикуется в отчетных документах компании, а управляющие компанией стремятся не создавать ситуаций, приводящих к падению этого показателя. Итак, согласно данной модели стоимость собственного капитала определяется по формуле
rприб.на .акц =П/Р (4.3)
где П — величина прибыли на одну акцию,
Р — рыночная цена одной акции.
Пример. Величина прибыли на 1 акцию компании XХХ составила $5, а рыночная цена акции в среднем равнялась $40. Согласно модели прибыли на акцию оценка стоимости собственного капитала составляет
rприб.на .акц =5/40=12,5%
4.3.4 Стоимость вновь привлеченного капитала.
Требуемый доход на новый (вновь привлеченный) собственный капитал обычно выше, чем требуемый доход на существующий собственный капитал. Когда компания выпускает дополнительные акции, то обычно она получает чуть меньше рыночной цены существующих акций. Это связано с дополнительными затратами по выпуску новых акций и, кроме того, с желанием обеспечить быструю распродажу новых акций (их продают по цене слегка ниже рыночной).
При расчете стоимости вновь привлеченного капитала принято использовать следующую формулу в рамках модели роста дивидендов:
rЭ =
где α — так называемая стоимость выпуска, отражающая закономерное снижение рыночной стоимости вновь выпускаемых акций
Пример .Текущая рыночная цена акции компании МХ равна $40 за акцию, а стоимость собственного капитала составляет 10%. Таким образом доход на 1 акцию составляет $4. В процессе выпуска новых акций компания ожидает получить всего $35 за каждую акцию. Но во избежание падения стоимости всех акций компания все равно должна обеспечить доход на одну акцию в размере $4. Следовательно стоимость нового собственного капитала будет равна
rЭ=4/35 =11,4%
.
Можно рассмотреть еще один пример: компания ожидает в следующем году $1.24 выплаты дивидендов на одну акцию при 8%-ом ожидаемом годовом росте дивидендов. В настоящее время акции компании продаются по цене $23 за акцию. Согласно формуле (6.1) стоимость собственного капитала компании составляет
rЭ=1,24/23 +0,08 =13,4%.
В следующем году компания собирается выпустить новые акции, затрачивая на выпуск 10% стоимости акций.
rЭ=1,24/(23(1-0,1)) +0,08 =14%.
Таким образом, стоимость собственного капитала вновь выпущенных акций возросла до 14% по сравнению с 13.4% существующих акций.
Реальное развитие событий будет существенно зависеть от успеха деятельности фирмы. Если она будет в состоянии обеспечить 14% доходности при годовом росте на 8%, то рыночная цена акции останется без изменения, то есть $40. Если фирма будет зарабатывать для своих владельцев более 14% на акцию, рыночная стоимость акции закономерно возрастет (ввиду возрастающего спроса), в противном случае рыночная стоимость будет падать.
4.3.5 Модель определения стоимости
привилегированных акций
Данная модель является весьма простой, поскольку доход на привилегированные акции устанавливается обычно весьма простым способом: по привилегированным акциям обычно выплачивается фиксированный дивиденд и сверх этого дивиденда, независимо от размера прибыли, ничего не выплачивается. Поэтому доходность по привилегированным акциям (стоимость привилегированных акций) рассчитывается по следующей формуле
rприв.акц.. =
где D — величина ежегодного дивиденда на акцию,
Р — рыночная цена одной акции.
Пример По привилегированным акциям компании ХХХ выплачивается ежегодный дивиденд в размере $8, текущая рыночная цена акции составляет $100 за акцию. Следовательно, стоимость привилегированной акции компании ХХХ составляет rприв.акц= 8/100 = 8%
Если рыночная цена привилегированных акций уменьшится до $80 за одну акцию, то стоимость привилегированных акций возрастает до
rприв.акц= 8/80 = 10%
Также как и в случае с обыкновенными акциями, затраты на выпуск новых привилегированных акций повышает их стоимость. Эту оценку можно сделать по аналогии с (6.6), предполагая g = 0, так как привилегированные акции обычно не имеют роста
rэмиссия прив.акц =
В условиях предыдущего примера стоимость новых привилегированных акций, при 10%-ных затратах на их выпуск, составит
rприв.акц= 8/100(1-0,1) = 8,89%
Как мы видим эта стоимость выше стоимости существующих привилегированных акций.
4.3.6 Модели определения стоимости заемного капитала
В процессе своей деятельности предприятие использует заемные средства, получаемые в виде:
· долгосрочного кредита от коммерческих банков и других предприятий,
· выпуска облигаций, имеющих заданный срок погашения и номинальную процентную ставку.
В первом случае стоимость заемного капитала равна процентной ставке кредита и определяется путем договорного соглашения между кредиторами и заемщиком в каждом конкретном случае отдельно.
Во втором случае стоимость капитала определяется величиной выплачиваемого по облигации купона или номинальной процентной ставкой облигации, выражаемой в процентах к ее номинальной стоимости. Номинальная стоимость — это цена, которую заплатит компания — эмитент держателю облигации в день ее погашения. Разумеется, что срок, через который облигация будет погашена, указывается при их выпуске.
В момент выпуска облигации обычно продаются по их номинальной стоимости. Следовательно, в этом случае стоимость заемного капитала определяется номинальной процентной ставкой облигации.
Однако в условиях изменения процентных ставок по ценным бумагам, которое является следствием инфляции и других причин, облигации продаются по цене, не совпадающей с номинальной. Поскольку предприятие — эмитент облигаций должно платить по ним доход, исходя из номинальной процентной ставки и номинальной стоимости акции, реальная доходность облигации изменяется: увеличивается, если рыночная цена облигации падает по сравнению с номинальной, и уменьшается в противном случае.
Для оценки реальной доходности облигации (стоимости заемного капитала) используем модель современной стоимости облигации
где INT — ежегодная процентная выплата по облигации,
М — номинальная стоимость облигации,
PV — современная (настоящая) стоимость облигации,
T — количество периодов (лет) до погашения облигации,
r
b — процентная ставка по облигации.
Для лучшего понимания финансового механизма определения фактической стоимости облигаций и реальной отдачи на них, рассмотрим формулу более детально. Итак, согласно условиям выпуска облигаций фирма — эмитента обязуется каждый год выплачивать процентную выплату INT и номинальную стоимость М по окончанию срока действия облигации, то есть на момент ее погашения. Поэтому формула 4.7 определяет дисконтированный поток этих выплат.
В качестве реальной доходности облигации (или стоимости заемного капитала, основанного на облигациях данного типа) используется конечная доходность облигации, то есть такая процентная ставка, которая позволяет, купив облигацию сейчас по текущей рыночной цене, получать доход на облигацию, объявленный в контракте на ее выпуск, и номинальную стоимость облигации на момент ее погашения.
В обозначениях формулы 4.7 для расчета стоимости заемного капитала R
используется уравнение:
где Pt — текущая рыночная цена облигации,
Результат близкий к использованию уравнения 4.8 дает следующая приближенная формула
Пример. Компания ZZ пять лет назад выпустила облигации номиналом $1,000 и номинальной процентной ставкой 9%. Текущая стоимость облигации на фондовом рынке составляет $890 и до погашения остается еще 10 лет. Необходимо определить R.
Фактическое значение доходности, в результате решения 10.86%.
Предположим теперь, что текущая рыночная цена облигации составляет $1,102 за штуку. В этом случае
Фактическим значением доходности, получаемым в результате решения является равно 7.59%.
Если компания хочет привлечь заемный капитал, то она должна будет выплачивать по привлеченным средствам процентный доход, как минимум равный конечной доходности по существующим облигациям. Таким образом, конечная доходность будет представлять собой для компании стоимость привлечения дополнительного заемного капитала. Если у компании есть избыточные средства, то она может использовать их на покупку существующих облигаций по их рыночной стоимости. Сделав это компания получит доход, равный доходу, который бы получил любой другой инвестор, если бы он купил облигации по их рыночной стоимости и держал их у себя до момента погашения. Если компания по-другому инвестирует избыточные средства, то она отказывается от альтернативы погашения облигации, выбирая по крайней мере столь же прибыльную альтернативу. Конечная доходность облигации — это альтернативная стоимость решения об инвестировании средств. Таким образом, независимо от того, имеются ли у компании избыточные средства или она нуждается в их притоке, конечная доходность по существующим облигациям представляет собой стоимость заемных средств.
Эффективная стоимость заемных средств.
Говоря о стоимости заемного капитала, необходимо учитывать следующее очень важное обстоятельство. В отличие от доходов, выплачиваемых акционерам, проценты, выплачиваемые по заемному капиталу, включаются в издержки по производству продукции. Таким образом, стоимость заемного капитала после уплаты налогов становится ниже конечной доходности (или стоимости до уплаты налогов) это эффект «налогового щита» о котором говорилось в предыдущей части..
Взвешенная средняя стоимость капитала
Последним шагом в оценке общей стоимости для компании является комбинирование стоимости средств, полученных из различных источников. Эту общую стоимость часто называют взвешенной средней стоимостью капитала, так как она представляет собой среднее из стоимостей отдельных компонентов, взвешенных по их доле в общей структуре капитала.
Расчет взвешенной средней стоимости капитала производится по формуле:
WACC=
где W— соответственно долz заемных средств,
r— стоимости соответствующих частей капитала,
Пример . Рыночная стоимость обыкновенных акций компании АВ составляет $450,000, привилегированные акции составляют $120,000, а общий заемный капитал — $200,000. Стоимость собственного капитала равна 14%, привилегированных акций 10%, а облигаций компании 9%. Необходимо определить взвешенную среднюю стоимость капитала компании при ставке налога Т = 30%.
Таблица 4.1
Расчет WACC
| Вид | Стоимость | Доля | Взвешенная стоимость |
| Заемный капитал | 9%(1-0.3) | 0.2597 | 1.636 |
| Привилегированные акции | 10% | 0.1558 | 1.558 |
| Обыкновенные акции | 14% | 0.5845 | 8.183 |
| WACC=11.377% | |||
Таким образом, средняя взвешенная стоимость капитала компании составляет 11.38 процентов
