Реферат Вариационные задачи. Уравнение Эйлера. Примеры постановок задач, метод Ритца

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 27.1.2025

Учреждение образования
Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники
Кафедра ВМиП
ТЕМА РЕФЕРАТА:

Вариационные задачи. Уравнение Эйлера. Примеры постановок задач, метод Ритца

Выполнил:	Марушко Евгений Евгеньевич магистрант кафедры ЭВМ группа № 28
Проверил:

Минск, 2011

СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3

1..... История. 4

2..... Вариационное исчисление. 5

2.1      Вариация. 5

2.2      Вариационная производная. 6

2.3      Вариации и вариационные производные второго и высших порядков 8

3..... Применение вариационного исчисления. 9

3.1      Техника варьирования. 9

4..... Уравнение Эйлера. 12

4.1      Утверждение. 12

4.2      Доказательство. 12

4.3      Пример. 13

5..... Метод Ритца. 15

Заключение. 17

Литература. 18

Введение

Вариационное исчисление — это раздел функционального анализа, в котором изучаются вариации функционалов. Самая типичная задача вариационного исчисления[1] состоит в том, чтобы найти функцию, на которой функционал достигает экстремального значения. Методы вариационного исчисления широко применяются в различных областях математики, в дифференциальной геометрии с их помощью ищут геодезические и минимальные поверхности. В физике вариационный метод — одно из мощнейших орудий получения уравнений движения, как для дискретных, так и для распределённых систем, в том числе и для физических полей. Методы вариационного исчисления применимы и в статике.

Важнейшими понятиями вариационного исчисления являются следующие:

-                   вариация (первая вариация);

-                   вариационная производная (первая вариационная производная);

-                   кроме первой вариации и первой вариационной производной, рассматриваются и вариации и вариационные производные второго и высших порядков.

Термин варьирование (варьировать) — применяется в вариационном исчислении для обозначения нахождения вариации или вариационной производной (это аналог термина дифференцирование для случая бесконечномерного аргумента, являющегося предметом вариационного исчисления). Также нередко для краткости (особенно в приложениях) термин варьирование применяется для обозначения решения вариационной задачи, сводимой к нахождению вариационной производной и приравнивания её нулю.

Вариационная задача означает, как правило, нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления.

1 История

В конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и другие, обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде брахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).

2 Вариационное исчисление

Содержанием вариационного исчисления является обобщение понятия дифференциала и производной функции конечномерного векторного аргумента на случай функционала — функции, областью определения которой служит некое множество или пространство функций, а значения лежат в множестве вещественных чисел (иногда комплексных, что мало меняет что-то по существу).

Ниже в этом разделе подразумевается, что функции и функционалы обладают необходимой гладкостью, то есть вопрос существования тех или иных производных специально не рассматривается, тем более что во многих конкретных задачах этот вопрос не имеет практического значения (нужная гладкость заведомо есть).

Функционал Φ[f] ставит в соответствие каждой конкретной функции f из его области определения — определённое число.

Нетрудно написать для функционала аналоги дифференциала и производной по направлению.

2.1 Вариация

Аналогом дифференциала (первого дифференциала) является в вариационном исчислении вариация (первая вариация):

δΦ = Φ[f + δf] − Φ[f] (1)

(как и в случае дифференциала имеется в виду линейная часть этого приращения, а выражаясь традиционным образом — δf выбирается бесконечно малой, и при вычислении разности отбрасываются бесконечно малые высших порядков). При этом δf — играющее роль дифференциала или малого приращения независимой переменной — называется вариацией f.

Как видим, δΦ сама в свою очередь является функционалом, так как она, вообще говоря, различна для разных f (также и для разных δf).

Таким образом, это — в применении к функционалам — прямой аналог дифференциала функции конечномерного (в том числе одномерного) аргумента:

dy = y(x + dx) − y(x) (2)

точно так же понимаемого как линейная часть приращения функции y при бесконечно малом приращении аргумента x.

Примеры
Для функционала Φ[f] = cos(f(1)) вещественной функции вещественного аргумента — для любой f и δf будет верным δΦ = − sin(f(1)).

Для функционала Φ[f] = cos(f(1)) + sin(f(6)) вещественной функции вещественного аргумента — для любой f и δf будет верным δΦ = − sin(f(1)) + cos(f(6)).
Для функционала:

$\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

вещественной функции вещественного аргумента — для любой f и δf будет верным

$\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

2.2 Вариационная производная

Для интегральных функционалов, которые являются очень важным для математики и приложений случаем, можно ввести не только аналог дифференциала и производную по направлению, но и производную Фреше — аналог конечномерного градиента, называемую вариационной производной.

То есть, в полной аналогии с конечномерным случаем, когда

$\vec{dy}=\big(\vec\nabla y,\;d\vec x\big)=\left(\frac{dy}{d\vec x},\;d\vec x\right)=\sum_i\partial_i y\,dx_i$ ,
где $\vec\nabla y$ — обозначение градиента (или производной Фреше) функции y, а $(\;,\;)$ — скалярное произведение; $\partial_i$ — оператор частной производной по i-той координате, сумма представляет собой полный дифференциал.

Для функционала имеем

$\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\delta f(x)\,dx$
где $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ — обозначение вариационной производной Φ, а суммирование конечномерной формулы естественно заменено интегрированием.

Итак, $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ — стандартное обозначение вариационной производной. Это также некая функция как от x, как и f (вообще говоря, это обобщённая функция, но эта оговорка выходит за рамки рассмотрения, так как предполагается, что все функции и функционалы сколь угодно гладки и не имеют особенностей).

Иными словами, если можно представить вариацию δΦ = Φ[f + δf] − −Φ[f] в виде:

$\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx$

где A — некоторая функция x, то A есть вариационная производная Φ по f («по f» здесь означает, что остальные аргументы или параметры не меняются). То есть

$\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.$
Примеры
Для функционала:

$\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

$\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.$
Для функционала:

$\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$ $\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\limits_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).$
Легко видеть, что это определение обобщается на любую размерность интеграла. Для n-мерного случая верна прямо обобщающая одномерный случай формула:

$\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.$

Так же легко обобщается понятие вариационной производной на случай функционалов от нескольких аргументов:

$\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.$

2.3 Вариации и вариационные производные второго и высших порядков

Как это описано выше для первого порядка, можно ввести понятие второй вариации и второй вариационной производной функционала, а также n-ой вариации и n-ой вариационной производной:

$\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi[f]}{\delta f^n}.$

Для функционалов, зависящих от нескольких функций, можно также ввести понятие смешанных вариационных производных разного порядка, например:

$\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.$

Всё делается полностью аналогично введению соответствующих дифференциалов и производных для функции конечномерного аргумента.

Функционал вблизи конкретной точки в пространстве функций раскладывается в ряд Тейлора, если, конечно, вариационные производные всех порядков существуют. Как и в конечномерных случаях, сумма конечного числа членов этого ряда даёт значение функционала с определённой точностью (соответствующего порядка малости) лишь при небольших отклонениях его аргумента (при бесконечно малых). Кроме того, как и в случае функций конечномерного аргумента, ряд Тейлора (сумма всех членов) может не сходиться к функционалу, в него разложенному, при любых ненулевых конечных смещениях, хотя такие случаи достаточно редки в приложениях.

3 Применение вариационного исчисления

Хотя задачи, к которым применимо вариационное исчисление, заметно шире, в приложениях они главным образом сводятся к двум основным задачам:

1. нахождение точек в пространстве функций, на котором определён функционал — точек стационарного функционала, стационарных функций, линий, траекторий, поверхностей и т. п., то есть нахождение для заданного Φ[f] таких f, для которых δΦ = 0 при любом (бесконечно малом) δf, или, иначе, где $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$ .

2. Нахождение локальных экстремумов функционала, то есть в первую очередь определение тех f, на которых Φ[f] принимает локально экстремальные значения — нахождение экстремалей (иногда также определение знака экстремума).

Очевидно, обе задачи тесно связаны, и решение второй сводится к решению первой, а затем проверке, действительно ли достигается локальный экстремум (что делается независимо). В описанном процессе выясняется и тип экстремума. Нередко решение вопроса, экстремум ли это и какого он типа, заранее очевидно.

При этом очень часто задача (1) оказывается не менее или даже более важной, чем задача (2), даже когда классификация стационарной точки неопределённа (то есть она может оказаться минимумом, максимумом или седловой точкой, а также слабым экстремумом, точкой, вблизи которой функционал точно постоянен или отличается от постоянного в более высоком порядке, чем второй).

3.1 Техника варьирования

Основным техническим вопросом при нахождении вариационной производной интегрального функционала Φ[f], в подынтегральное выражение которого входит не только значение функции f в точке x, но и значения ее производных, то есть не только f(x), но и df / dx, d2f / dx2 и так далее. Производные входят туда практически всегда: например, такой функционал, как длина кривой, содержит производные первого порядка, а потенциальная энергия изогнутого упругого стержня — производные по меньшей мере второго порядка.

Неудобство, заключающееся в том, что при этом в выражении δΦ[f] появляются под интегралом не только члены с δf, но и с δ(df / dx), устраняется интегрированием по частям.

Рассмотрим это сначала на простом частном примере, а затем на общем.
Пример
Пусть требуется найти вариационную производную функционала

$\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,$

и найти f(x), для которых значение Φ экстремально.

Нетрудно выписать:

$\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left(\delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=$

$=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.$

Очевидно, операцию взятия производной по x свободно можно поменять местами с операцией δ. Тогда

$\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.$

Теперь, чтобы δf(x) не стояло под знаком производной, мешающего вынести за скобки δf(x) из обоих членов (оставшееся в скобках суть вариационная производная), надо в первом слагаемом воспользоваться интегрированием по частям:

$\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=$

$=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx.$

Теперь можно опять превратить сумму интегралов в один и вынести за скобки δf:

$\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=$

$=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx=$

$=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\right)\delta f(x)\,dx,$

оставив граничный член

$2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

стоящим отдельно.

Граничный член можно приравнять нулю, решив тем самым задачу нахождения вариационной производной (действительно, она по определению есть то, что стоит под интегралом в больших скобках, соответствовать определению мешает только граничный член). Объяснение факта равенства нулю граничного члена не слишком строго, но ограничимся им, чтобы сосредоточить внимание на главном.

Для начала зафиксируем f в граничных точках, тогда граничный член исчезнет, так как δf должно будет при такой фиксации обращаться в ноль при x = 1 и x = 2. Для многих задач такая фиксация граничных условий имеет место изначально. При поиске экстремума и вариационной производной на классе функций с такими граничными условиями граничный член можно просто отбросить. Но если граничные условия не наложены самой задачей, их можно наложить искусственно, решить задачу для фиксированных условий, а затем среди множества решений для разных граничных условий можно выбрать оптимальное (это обычно не составляет труда).

Таким образом, здесь под вариационной производной будем понимать вариационную производную по классу функций с фиксированными концами, которая (при поиске экстремали и в подобных задачах) будучи приравненной нулю, определяет поведение функции внутри отрезка $[1;\;2]$ . В этом смысле, для нашего примера имеем:

$\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,$

а необходимое условие экстремальности состоит в равенстве её нулю, то есть имеем уравнение для f:

$-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\$

Решение этого дифференциального уравнения даст явный вид f(x), но задача нахождения решений дифференциального уравнения лежит уже за рамками вариационного исчисления. Задача последнего ограничена получением такого уравнения и, возможно, дополнительных условий, ограничивающих класс допустимых решений.

4 Уравнение Эйлера

Одним из основных классических результатов вариационного исчисления, имеющих огромное практическое значение, являются уравнения Эйлера[2] — дифференциальные уравнения, которым должна удовлетворять функция, являющаяся стационарной для довольно общего в своем классе и очень важного вида интегрального функционала.

Использование уравнений Эйлера для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум. Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов - функций бесконечномерного аргумента.

Достаточно стандартным для получения уравнений Эйлера является обычный путь с нахождением вариационной производной и приравнивании ее нулю или практически совпадающий с ним способ выписывания вариации с использованием стандартных обозначений, как это описано выше.

4.1 Утверждение

Пусть задан функционал:

$J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx.$

с подынтегральной функцией $\! F (x, f (x), f' (x))$ , обладающей непрерывными первыми частными производными, где через f' обозначена первая про изводная f по t. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции $\! f$ , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

$\frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0,$

которое называется уравнением Эйлера.

4.2 Доказательство

Мы хотим найти такую функцию $\! f$ , которая удовлетворяет граничным условиям $\! f(a)=c$ , $\! f(b)=d$ и доставляет экстремум функционалу

$J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx.$

Предположим, что $\! F$ имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если $\! f$ даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение $\! f$ , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение $\! J$ (если $\! f$ минимизирует его) или уменьшать $\! J$ (если $\! f$ максимизирует).

Пусть $\! \eta(x)$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\! \eta(a)=\eta(b)=0$ . Определим

$J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx.$

Поскольку $\! f$ даёт экстремум для $\! J(0)$ , то $\! J'(0)=0$ , то есть

$J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0.$

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b.$

Используя граничные условия на $\! \eta$ , получим

$0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx.$

Отсюда, так как $\! \eta(x)$ — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

$\frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0.$

4.3 Пример

Задача о брахистохроне[4]. Задача состоит в том, чтобы найти функцию у = u(х), удовлетворяющую условиям:

и сообщающую минимум функционалу

В этом случае

Функция при u = 0 терпит разрыв. Путем несложных рассуждений показывается, что все-таки можно воспользоваться уравнением Эйлера(см. формула (13)).

Отсюда

.

Положим

Тогда

Дифференцируя это выражение, получим

. Замена

дает дифференциальное уравнение относительно φ'

Положив

получим

5 Метод Ритца

Широко распространённыq прямой метод решения вариационных задач и краевых задач математического анализа[5]. Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач.

Пусть задан функционал V[y(x)] и требуется найти такую функцию у(х), принимающую в точках Х0 и X1 заданные значения а = у(х0) и b = y(x1), на которой функционал V[y(x)] будет достигать экстремума. Значения исследуемого на экстремум функционала V[y(x)] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у(х), а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами a_i, составленных из n первых функций некоторой выбранной системы φ₁(x), φ₂(х), ..., φ_n(x), ... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций φ_i(x) является требование, чтобы функции у_n(х) удовлетворяли условиям y_n(х0) = а и у_n(х1) = b для всех значений параметров a_i. При таком выборе функций у_n(х) функционал V[y(x)] превращается в функцию Ф(a₁, а₂, ..., а_n) коэффициентов a_i; последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

Пример

Пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла

при условии у(0) = y(1) = 0. В качестве функций φ_i(x) можно взять
хⁱ(1 - х), тогда

Если n = 2, то y_n = х(1 - х)(а₁ + а₂х). Для определения коэффициентов
a₁ и а₂ получаем после вычислений два уравнения

Решением этих уравнений является:

Полученное приближенное решение отличается от точного на величину порядка 0,001. Найденное этим методом приближённое решение у_n(х) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций φ_i(x), стремится к точному решению у(х), когда n®∞. Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем.

Заключение

В настоящее время вариационные методы являются одним из мощных средств анализа самых разнообразных задач. Наиболее интенсивно вариационные подходы использовались в задачах об упругом поведении конструкций, особенно в задачах оптимального проектирования. Интерес к этим задачам усилился в связи с быстрым развитием авиационной и космической техники, судостроения, где чрезвычайно важно решение проблемы снижения веса конструкции без ущерба для ее прочности и аэродинамических свойств.

Вариационный подход к решению задач об устойчивости, равновесии и колебаниях упругих конструкций позволил сформулировать ряд прикладных теорий, позволяющих с успехом осуществлять расчет самых разнообразных конструкций.

Задача об отыскании экстремума некоторого функционала сводится к решению дифференциального уравнения. Отметим, что некоторые задачи математической физики могут быть сведены к задачам об отыскании минимума некоторого функционала.

Вариационные постановки задач теории упругости, гидромеханики привели к созданию новых приближенных методов отыскания экстремумов функционалов[5]. Эти подходы основаны на выделении из бесконечной области определения функционала некоторого конечномерного подпространства и на сведении исходной задачи к задаче на экстремум функции многих переменных.

Вариационные постановки задач стимулировали развитие численных методов исследования задач математической физики, среди которых одно из главных мест занимает метод конечных элементов, превратившийся с появлением мощных компьютеров в основной инструмент исследования и проектирования конструкций.

К вариационным тесно примыкают задачи оптимального управления, которые интенсивно исследуют в последние 30—40 лет. Задачи оптимального управления — это задачи более общего вида, чем вариационные.

Литература

[1]           Вариационное исчисление – [Электронный ресурс] .– Электронные данные .– Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Вариационное_исчисление

[2]           Уравнения Эйлера — Лагранжа – [Электронный ресурс] .– Электронные данные .– Режим доступа: ru.wikipedia.org/wiki/Уравнения_Эйлера_—_Лагранжа

[3]           Будылин А.М., Вариационное исчисление // А.М. Будылин .– [Электронный ресурс] .– Электронные данные .– Режим доступа: www.phys.spbu.ru/content/File/Library/studentlectures/Budylin/var.pdf

[4]           Вагер Б.Г., Карпов В.В., Вариационное исчисление, вариационные методы и вариационные принципы в задачах строительного профиля // .Г. Вагер, В.В. Карпов и др .– [Электронный ресурс] .– Электронные данные .– Режим доступа: http://vi.horizalru.com/

[5]           Ритца и галёркина методы – [Электронный ресурс] .– Электронные данные .– Режим доступа: http://www.bezmani.ru/

Bukvasha