Введение

Уровень производительности труда - это один из важнейших показателей, который характеризует эффективность общественного производства.

Производительность труда является сте­пенью эффективности целесообразной деятельности людей и отражает способность производить за единицу рабочего времени оп­ределенный объем потребительных стоимостей. Под эффективностью труда понимается достижения работниками высоких результатов с наименьшими затратами сил и времени.

Рост производительности труда – основная задача, которую необходимо решить для увеличения эффективности производства. Для объективной оценки увеличения производительности труда используется статистическое изучение показателей производительности труда.

Цель данной контрольной работы – рассмотреть методы измерения уровня и динамики производительности труда, факторы, влияющие на эти показатели.


§1. Производительность труда как объект статистического изучения

Производительность труда характеризует эффективность, результативность затрат труда и определяется количеством продукции, произведенной в единицу рабочего времени, либо затратами труда на единицу произведенной продукции или выполненных работ[1].

Под ростом производительности труда подразумевается экономия затрат труда (рабочего времени) на изготовление единицы продукции или дополнительное количество произведенной продукции в единицу времени, что непосредственно влияет на повышение эффективности производства, так как в одном случае сокращаются текущие издержки на производство единицы продукции по статье "Заработная плата основных производственных рабочих", а в другом — в единицу времени производится больше продукции.

Значительное влияние на рост производительности труда оказывает внедрение достижений научно-технического прогресса, которое проявляется в использовании экономичного оборудования и современной технологии, что способствует экономии живого труда (зарплата) и увеличению прошлого труда (амортизация). Однако прирост стоимости прошлого труда всегда меньше, чем экономия живого труда, иначе внедрение достижений научно-технического прогресса экономически не оправдано (исключением является повышение качества продукции).

В условиях становления рыночных отношений рост производительности труда - объективная предпосылка, так как происходит отвлечение рабочей силы в непроизводственную сферу и сокращается численность работающих вследствие демографических изменений.

Различают производительность общественного труда, производительность живого (индивидуального) труда, локальную производительность[2].

Производительность общественного труда определяется как отношение темпов роста национального дохода к темпам роста численности работников сферы материального производства. Рост производительности общественного труда происходит при опережающих темпах роста национального дохода и тем самым обеспечивает повышение эффективности общественного производства.

При росте производительности общественного труда изменяется соотношение между живым и овеществленным трудом. Повышение производительности общественного труда означает уменьшение затрат живого труда на единицу произведенной продукции и увеличение доли прошлого труда. При этом общая сумма затрат труда, заключенного в единице продукции, сохраняется. Эту зависимость К. Маркс назвал экономическим законом роста производительности труда.

Рост индивидуальной производительности труда отражает экономию времени, необходимого на изготовление единицы продукции, или количество дополнительного товара, произведенного за определенный период (минута, час, сутки и т. д.).

Локальная производительность - это средняя производительность труда рабочих (работающих), рассчитанная по предприятию в целом или отрасли.

§2. Система статистических показателей, характеризующих производительность труда.

На предприятиях (фирмах) производительность труда определяется как эффективность затрат только живого труда и рассчитывается через показатели выработки (В) и трудоемкости (Тр) продукции, между которыми имеется обратно пропорциональная зависимость.

Выработка — основной показатель производительности труда, характеризующий количество (в натуральных показателях) или стоимость произведенной продукции (товарная, валовая, чистая продукция), приходящиеся на единицу времени (час, смена, квартал, год) или одного среднесписочного работника[3].

Выработка, рассчитанная в стоимостном выражении, подвержена действию ряда факторов, которые искусственно влияют на изменение выручки, например цена потребляемого сырья, материалов, изменение объема кооперативных поставок и т. п.

В отдельных случаях выработка рассчитывается в нормо-часах. Этот метод называется трудовым и используется при оценке производительности труда на рабочем месте, в бригаде, цехе и т. д.

Изменение производительности труда оценивается путем сопоставления выработки последующего и предшествующего периодов, т. е. фактической и плановой. Превышение фактической выработки над плановой свидетельствует о росте производительности труда.

Выработка рассчитывается как отношение объема произведенной продукции (ОП) к затратам рабочего времени на производство этой продукции (Т) или к среднесписочной численности работников либо рабочих (Ч):

В=ОП/Т или В=ОП/Ч

Аналогично определяется часовая (Вч) и дневная (Вдн) выработка на одного рабочего:

Вч=ОП_мес/Т_час; В_дн=ОП_мес/Тд [пример расчета на стр. 39],

ОП_мес – объем продукции за месяц (квартал, год);

Т_час, Т_дн – количество человеко-часов, человеко-дней (рабочего времени), отработанных всеми рабочими за месяц (квартал, год).

При расчете часовой выработки в состав отработанных человеко-часов не включаются внутрисменные простои, поэтому она наиболее точно характеризует уровень производительности живого труда.

При расчете дневной выработки в состав отработанных человеко-дней не включаются целодневные простои и невыходы [стр. 38, Табл. 17].

Объем произведенной продукции (ОП) может быть выражен в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения соответственно.

Трудоемкость продукции выражает затраты рабочего времени на производство единицы продукции. Определяется на единицу продукции в натуральном выражении по всей номенклатуре изделий и услуг; при большом ассортименте продукции на предприятии определяется по типичным изделиям, к которым приводятся все остальные. В отличие от показателя выработки этот показатель имеет ряд преимуществ: устанавливает прямую зависимость между объемом производства и трудовыми затратами, исключает влияние на показатель производительности труда изменений в объеме поставок по кооперации, организационной структуре производства, позволяет тесно увязать измерение производительности с выявлением резервов ее роста, сопоставить затраты труда на одинаковые изделия в разных цехах предприятия.

Трудоемкость определяется по формуле:

Т_р=Т/ОП [пример расчета на стр. 38, Табл. 17],

Т_р – трудоемкость

Т – время, затраченное на производство всей продукции, нормо-ч, человеко-ч

ОП – объем произведенной продукции в натуральном выражении.

В зависимости от состава затрат труда, включаемых в трудоемкость продукции, и их роли в процессе производства выделяют технологическую трудоемкость, трудоемкость обслуживания производства, производственную трудоемкость, трудоемкость управления производством и полную трудоемкость.

§3. Применение индексного метода в изучении производительности труда.

Натуральный метод.

Основное достоинство -  простота расчета, наглядность, объективность измерения уровня производительности труда. Используют натуральные и условно-натуральные показатели продукции. Они дают возможность определить уровень и динамику производи­тельности труда по отдельным видам однородной продукции.

Данный метод может применяться только на предприятиях, участках, производствах, в отраслях, где производится однородная продукция или ведется учет затрат рабочего времени по каждому виду производимой продукции. Такой метод применяется на предприятиях транспорта, в добывающей, обрабатывающей промышленности, при характеристике отдельных видов работ в строительстве, транспортном и сельском хозяйстве, при анализе выполнения норм выработки группами рабочих, выполняющих одинаковые операции.

При производстве разнородной продукции натуральные показатели не могут быть использованы для обобщения уровня и динамики производительности труда.

Если сравниваются предприятия, выпускающие одинаковую продукцию, различающиеся по полноте цикла производства, то натуральные показатели производительности труда оказываются несопоставимыми. Переход на выпуск одноименных изделий повышенного качества при одинаковом объеме производства не отражается в натуральных показателях производительности труда.

Расширение возможностей показателей производительности труда получается при использовании условно-натурального измерения продукции.

W
=
T
:
q


W
– выработка в натуральных показателях;

q
– объем продукции в нат.показателях (т, кг, л);

Т – кол-во затраченного труда (чел/ч);

Натуральный индекс производительности труда будет выглядеть таким образом:
I
^нат
=(
q
₁
:

T
₁
)
÷ (
q
₀
:
T
₀
)      

I
^нат – нат.индекс производительности труда

q
₀
– объем продукции в натуральных показателях в базовый период;

q
₁ – объем продукции в натуральных показателях в отчетный период;

Т₀ – кол-во затраченного труда в отчетный период;

Т₁ – кол-во затраченного труда в базовый период;
Стоимостной метод.

Данный метод более универсальный и позволяет измерить производительность труда при производстве разнородной продукции, а также обеспечивает получении сводных данных по отраслям, территориям и экономике в целом. Стоимостные показатели продукции позволяют получить обоб­щающие характеристики производительности труда по предпри­ятиям, отраслям экономики и экономическим районам. При использовании денежных измерителей продукции для изучения динамики производительности труда или при характеристике выполнения плановых заданий необходимо устранять влияние изменения цен, т.е. использовать данные о стоимости произведенной продукции в сопоставимых ценах.

Стоимостной метод получил свое распространение на уровне министерств, отраслей, территорий, промышленности в целом. Важное достоинство стоимостного показателя производительности труда – возможность его расчета по любой номенклатуре его наименования. Это и дает возможность получения сводных характеристик в разрезе отраслей макроэкономики.

Выработка производительности труда в стоимостном выражении имеет следующий вид: W
=
qp
:
T

W
– выработка в стоимостном выражении;

qp
– объем продукции в денежном выражении (руб.);

Т – средне-списочная численность рабочих;

Пример (Задание 4):

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год	Абсолютный прирост	Темп роста
А	Б	1	2	3 = гр.2 – гр.1	5=(гр.2/гр.1)*100
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.	40,8	54,2	13,4	132,8
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180	16	109,8
3.	Среднегодовая производительность труда работающих, тыс.руб./чел.	248,78	301,111	52,331	121

Стоимостной индекс производительности труда имеет следующий вид: I
^стоим..
=(
q
₁
р: Т₁) ÷(
q
₀
р: Т₀)

I

^стоим. – стоимостной индекс;

q
₀
p – объем продукции в базовом периоде в сопоставимых ценах;

q
₁
p – объем продукции в отчетном периоде в сопоставимых ценах;

Т₀ – затраты труда в базовом периоде;

Т₁ – затраты труда в отчетном периоде.

Пример (Задание 4):

I
^стоим..
=301,111/248,78=1,21

Вывод: По данным, представленным в Задании 4, отмечается динамический рост производительности труда.

Производительность труда увеличилась на 21%, т.к. выработка в базисный год составляла 248,78 тыс.руб. на 1 человека, а в отчетный год она выросла до 301,111 тыс.руб. на 1 человека.

Трудовой метод.

Трудовые показатели производительности основаны на измерении объема произведенной продукции в нормо-часах рабочего времени. Трудовые показатели производительности определяются по одному или нескольким видам однородной продукции. Соизмерителем различных видов продукции или работ при этом является нормативная трудоемкость, которая отражает затраты труда на выпуск единицы продук­ции. Производительность труда определяется:

,

где q – количество единиц продукции каждого вида;

t_Н – норма времени на единицу продукции каждого вида,

ST – время, отработанное за данный период.

Дробь в правой части показывает выработку в нормо-часах на единицу фактических затрат рабочего времени, по существу, это обратный показатель выполнения норм выработки.  

Трудовой метод обеспечивает возможность измерения производительности труда при выпуске разноименной продукции, изолируя при этом влияние всех факторов, не зависящих от рабочих (стоимость потребленных материалов).

Затраты труда работников предприятия могут быть выражены:

·                   количеством отработанных человеко-часов;

·                   количеством отработанных человеко-дней;

·                   среднесписочной численностью работников за месяц (квартал, год и

другой календарный период).

Трудовой метод используется в тех случаях, когда на предприятии производится большое количество продукции, ассортимент которой часто меняется. Этот метод основан на измерении выработки продукции в норма-часах рабочего времени. Он применяется, если на каждый вид продукции установлен временной норматив (нормативная трудоемкость). В этом случае общий объем произведенной продукции рассчитывается следующим образом:

qt
_н
=
t
_н
*
Q
                 
qt
_н
– объем продукции в трудовом выражении

                                   
t
_н
– нормативная трудоемкость


                                   
Q
– количество произведенной продукции

В качестве трудовых измерителей объема продукции используется нормативная трудоемкость по конкретным видам продукции или фактическая трудоемкость базисного периода.

При использовании для измерения продукции нормативной трудоемкости индекс труда примет вид: I^t
_н
=(
q
₁
t
_н
:Т₁)÷(
q
₀
t
_н
: Т₀)

I^t
_н
– индекс нормативной трудоемкости

q
₀
t
_н
– объем продукции базового периода при нормативной трудоемкости;

q
₁
t
_н
– объем продукции отчетного периода при нормативной трудоемкости;

Т₀ – кол-во затраченного труда базового периода;

Т₁ – кол-во затраченного труда отчетного периода

·                   Средняя часовая выработка отражает результаты труда одного

рабочего за час фактиче­ской работы. Она равна отношению объема произведенной продукции к числу человеко-часов, фактически отработанных в течение данного периода времени



Характеризует среднюю выработку одного рабочего за один час фактической работы (исключая время внутрисменных простоев и перерывов, но с учетом сверхурочной работы).

.

4. Расчетная часть

При проведении статистического наблюдения за деятельностью предприятий одной из отраслей промышленности за исследуемый период получены выборочные данные о выпуске продукции, среднесписочной численности и средней стоимости основных производственных фондов по 30-ти предприятиям (выборка 20%-ная, механическая).

В проводимом статистическом исследовании эти предприятия выступают как единицы выборочной совокупности. Генеральную совокупность образуют все предприятия отрасли. Анализируемыми признаками изучаемых единиц совокупности являются Уровень производительности труда и Средняя стоимость основных производственных фондов предприятий.

Выборочные данные представлены в табл.1.

Таблица 1

Исходные данные

Номер организации п/п	Уровень производительности труда, млн руб./чел.	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Номер организации п/п	Уровень производительности труда, млн руб./чел.	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.
1	0,225	34,714	16	0,228	34,845
2	0,150	24,375	17	0,284	46,428
3	0,260	41,554	18	0,250	38,318
4	0,308	50,212	19	0,290	47,590
5	0,251	38,347	20	0,140	19,362
6	0,170	27,408	21	0,200	31,176
7	0,360	60,923	22	0,242	39,985
8	0,288	47,172	23	0,296	48,414
9	0,248	37,957	24	0,180	28,727
10	0,190	30,210	25	0,258	39,404
11	0,254	38,562	26	0,340	55,250
12	0,315	52,500	27	0,252	38,378
13	0,276	45,674	28	0,335	55,476
14	0,220	34,388	29	0,223	34,522
15	0,120	16	30	0,270	44,839

Задание 1.

По исходным данным таблицы 1 необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по Производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Графическим методом и путем расчетов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.

3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Выполнение задания 1.

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Производительность труда.

1.Построение интервального ряда распределения банков по объему кредитных вложений

Для построения интервального вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по объему кредитных вложений, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                                   (1)

где  – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности,  k
- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k
=1+3,322
lg

n
,                                                              (2)

где  n

- число единиц совокупности.

Определение величины интервала по формуле (1) при заданных k
= 5,           x_max = 0,36 млн руб./чел., x_min
= 0,12 млн руб./чел:



При h = 0,048 млн руб./чел. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	0,12	0,168
2	0,168	0,216
3	0,216	0,264
4	0,264	0,312
5	0,312	0,36

Для построения интервального ряда необходимо подсчитать число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (для нашего примера – это 0,168, 0,216 и 0,264 млн руб./чел.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала [ ). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Производительность труда представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.	Номер предприятия	Производительность труда, млн руб./чел.	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.
1	2	3	4
0,12 – 0,168	2	0,15	24,375
	15	0,12	16
	20	0,14	19,362
Всего	3	0,41	59,737
0,168 – 0,216	6	0,17	27,408
	10	0,19	30,21
	21	0,2	31,176
	24	0,18	28,727
Всего	4	0,74	117,521
0,216 – 0,264	1	0,225	34,714
	3	0,26	41,554
	5	0,251	38,347
	9	0,248	37,957
	11	0,254	38,562
	14	0,22	34,388
	16	0,228	34,845
	18	0,25	38,318
	22	0,242	39,985
	25	0,258	39,404
	27	0,252	38,378
	29	0,223	34,522
Всего	12	2,911	450,974
0,264 – 0,312	4	0,308	50,212
	8	0,288	47,172
	13	0,276	45,674
	17	0,284	46,428
	19	0,29	47,590
	23	0,296	48,414
	30	0,27	44,839
Всего	7	2,012	330,329
0,312 – 0,36	7	0,36	60,923
	12	0,315	52,5
	26	0,34	55,25
	28	0,335	55,476
Всего	4	1,35	224,149
ИТОГО	30	7,423	1182,71

Номер группы	Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел., х	Число предприятий, f
1	0,12 – 0,168	3
2	0,168 – 0,216	4
3	0,216 – 0,264	12
4	0,264 – 0,312	7
5	0,312 – 0,36	4
	Итого	30

№ группы	Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.	Число предприятий, fj		Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	0,12 – 0,168	3	10,0	3	10,0
2	0,168 – 0,216	4	13,3	7	23,3
3	0,216 – 0,264	12	40	19	63,3
4	0,264 – 0,312	7	23,4	26	86,7
5	0,312 – 0,36	4	13,3	30	100
	Итого	30	100,0

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.	Середина интервала,	Число предприятий, fj
1	2	3	4	5	6	7
0,12 – 0,168	0,144	3	0,432	-0,104	0,010816	0,032448
0,168 – 0,216	0,192	4	0,768	-0,056	0,003136	0,012544
0,216 – 0,264	0,24	12	2,88	-0,008	0,000064	0,000768
0,264 – 0,312	0,288	7	2,016	0,04	0,0016	0,0112
0,312 – 0,36	0,336	4	1,344	0,088	0,007744	0,030976
Итого		30	7,44			0,088

Номер группы	Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.	Число предприятий	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.
			всего	в среднем на одно предприятие
1
2
3
4
5
Итого

Номер группы	Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел. х	Число предприятий, fj	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
1	0,12 – 0,168	3	59,737	19,912
2	0,168 – 0,216	4	117,521	29,380
3	0,216 – 0,264	12	450,974	37,581
4	0,264 – 0,312	7	330,329	47,190
5	0,312 – 0,36	4	224,149	56,037
	Итого	30	1182,71	39,424

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением производительности труда от группы к группе систематически возрастает и средняя стоимость основных производственных фондов по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации  и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации  оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель  рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                                               (9)

где   – общая дисперсия признака Y,

         – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя  изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство  =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия  характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                                        (10)

где  y
_i – индивидуальные значения результативного признака;

        – общая средняя значений результативного признака;

         n – число единиц совокупности.

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                               (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                                            (12)

Для вычисления  удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):



Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер предприятия п/п	Средняя стоимость основных производственных фондов, млн руб.
1	2	3	4	5
1	34,714	-4,71	22,1841	1205,062
2	24,375	-15,049	226,4724	594,1406
3	41,554	2,13	4,5369	1726,735
4	50,212	10,788	116,3809	2521,245
5	38,347	-1,077	1,159929	1470,492
6	27,408	-12,016	144,3843	751,1985
7	60,923	21,499	462,207	3711,612
8	47,172	7,748	60,0315	2225,198
9	37,957	-1,467	2,152089	1440,734
10	30,21	-9,214	84,8978	912,6441
11	38,562	-0,862	0,743044	1487,028
12	52,5	13,076	170,9818	2756,25
13	45,674	6,25	39,0625	2086,114
14	34,388	-5,036	25,3613	1182,535
15	16	-23,424	548,6838	256
16	34,845	-4,579	20,96724	1214,174
17	46,428	7,004	49,05602	2155,559
18	38,318	-1,106	1,223236	1468,269
19	47,59	8,166	66,68356	2264,808
20	19,362	-20,062	402,4838	374,887
21	31,176	-8,248	68,0295	971,943
22	39,985	0,561	0,314721	1598,8
23	48,414	8,99	80,8201	2343,915
24	28,727	-10,697	114,4258	825,2405
25	39,404	-0,02	0,0004	1552,675
26	55,25	15,826	250,4623	3052,563
27	38,378	-1,046	1,094116	1472,871
28	55,476	16,052	257,6667	3077,587
29	34,522	-4,902	24,0296	1191,768
30	44,839	5,415	29,32223	2010,536
Итого	1182,71	-0,01	3275,819	49902,58

Расчет общей дисперсии по формуле (10):



Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где  – средняя из квадратов значений результативного признака,

       – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для нашего примера





Тогда



Межгрупповая дисперсия  измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних  от общей средней . Показатель  вычисляется по формуле

,                                                (13)

где      –групповые средние,

 – общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13. При этом используются  групповые средние значения  из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы предприятий по производительности труда, млн руб./чел.	Число предприятий,	Среднее значение  в группе
1	2	3	4	5
0,12 – 0,168	3	19,912	-19,512	1142,154
0,168 – 0,216	4	29,380	-10,044	403,528
0,216 – 0,264	12	37,581	-1,843	40,760
0,264 – 0,312	7	47,190	7,766	422,175
0,312 – 0,36	4	56,037	16,613	1103,967
Итого	30			3112,584

Расчет межгрупповой дисперсии  по формуле (11):



Расчет эмпирического коэффициента детерминации  по формуле (9):

    или 95%

Вывод. 95% вариации производительности труда на предприятиях обусловлено вариацией средней стоимости основных производственных фондов, а 5% –  влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение  оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                     (14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение  к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе  служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между производительностью труда и  средней стоимости основных производственных фондов предприятий является весьма тесной.

3. Оценка статистической значимости коэффициента детерминации .

Показатели  и  рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли  иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи  ,  несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации   служит дисперсионный F
-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,

где  n – число единиц выборочной совокупности,

    m – количество групп,

        – межгрупповая дисперсия,

       – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

        – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Величина рассчитывается, исходя из правила сложения дисперсий:

,

где  – общая дисперсия.

Для проверки значимости показателя  рассчитанное значение F-критерия F
_расч сравнивается с табличным F
_табл
для принятого уровня значимости  и параметров k
1,
k
2, зависящих от величин n
и
m : k
₁
=
m
-1,
k
₂
=
n
-
m
. Величина F
_табл для значений , k
_1,

k
₂ определяется по таблице распределения Фишера, где приведены критические (предельно допустимые) величины F-критерия  для  различных  комбинаций  значений 
, k
_1,

k
₂
. Уровень значимости  в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F
_расч
>
F
_табл , коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка  обусловлена только стечением случайных обстоятельств. В силу этого, выводы о тесноте связи изучаемых признаков,  сделанные на основе выборки, можно распространить на всю генеральную совокупность.

Если F
_расч
<
F
_табл, то показатель  считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Фрагмент таблицы Фишера критических величин F-критерия для  значений =0,05; k₁=3,4,5; k₂=24-35 представлен ниже:

	k2
k1	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
3	3,01	2,99	2,98	2,96	2,95	2,93	2,92	2,91	2,90	2,89	2,88	2,87
4	2,78	2,76	2,74	2,73	2,71	2,70	2,69	2,68	2,67	2,66	2,65	2,64
5	2,62	2,60	2,59	2,57	2,56	2,55	2,53	2,52	2,51	2,50	2,49	2,48

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =95%, полученной при =109,194, =103,753:



Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл (,4, 25)
30	5	4	25	2,76

 

Вывод: поскольку F
_расч
>
F
_табл, то величина коэффициента детерминации =95% признается значимой (неслучайной) с уровнем надежности 95% и, следовательно, найденные характеристики связи между признаками Производительностью труда на предприятиях и Средняя стоимость основных производственных фондов правомерны не только для выборки, но и для всей генеральной совокупности банков.

Задание 3

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,954 необходимо определить:

1)     ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться генеральная средняя.

2)     ошибку   выборки   доли   организаций   с   уровнем производительности труда    0,264 млн руб./чел. и выше, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3

Целью выполнения данного Задания является определение для генеральной совокупности предприятий границ, в которых будут находиться уровень производительности труда и доля организаций   с   уровнем производительности труда не менее 0,264 млн руб./чел.

1. Определение ошибки выборки для среднего уровня производительности труда и границ, в которых будет находиться генеральная средняя

Применение выборочного метода наблюдения всегда связано с установлением степени достоверности оценок показателей генеральной совокупности, полученных на основе значений показателей выборочной совокупности. Достоверность этих оценок зависит от репрезентативности выборки, т.е. от того, насколько полно и адекватно  представлены в выборке статистические свойства  генеральной совокупности. Как правило, генеральные и выборочные характеристики не совпадают, а отклоняются на некоторую величину ε, которую называют ошибкой выборки (ошибкой репрезентативности).

Значения признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны, следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять два вида ошибок - среднюю  и предельную .

Средняя ошибка выборки  - это среднее квадратическое отклонение всех возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего математического ожидания M[].

Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно (по различным формулам) в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка  выборочной средней  определяется по формуле

,                                                    (15)

где  – общая дисперсия выборочных значений признаков,

       N – число единиц в генеральной совокупности,

        n – число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

,

,                                         (16)

где     – выборочная средняя,

           – генеральная средняя.

Границы  задают доверительный интервал генеральной средней, т.е. случайную область значений, которая с вероятностью Р гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность Р называют доверительной вероятностью или уровнем надёжности.

В экономических исследованиях чаще всего используются доверительные вероятности Р= 0.954, Р= 0.997, реже  Р= 0,683.

В математической статистике доказано, что предельная ошибка выборки  кратна средней ошибке µ с коэффициентом кратности t
(называемым также коэффициентом доверия), который зависит от значения доверительной вероятности Р. Для предельной ошибки выборочной средней  это теоретическое положение выражается формулой

                                                       (17)

Значения t вычислены заранее для различных доверительных вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа Ф). Для наиболее часто используемых уровней надежности Р значения t задаются следующим образом (табл. 15):

Таблица 15

Доверительная вероятность P	0,683	0,866	0,954	0,988	0,997	0,999
Значение t	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

По условию демонстрационного примера выборочная совокупность насчитывает 30 предприятий, выборка 20% механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 150 предприятий. Выборочная средняя , дисперсия  определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 16:

Таблица 16

Р	t	n	N
0,954	2	30	150	0,248	0,003

Расчет средней ошибки выборки по формуле (15):

,

Расчет предельной ошибки выборки по формуле (17):



Определение по формуле (16) доверительного интервала для генеральной средней:

0,248-0,0180,248+0,018,

0,23 млн руб./чел.  0,266 млн руб./чел.

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования предприятий с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для генеральной совокупности предприятий средний уровень производительности находится в пределах от 0,23 млн руб./чел. до 0,266 млн руб./чел.

2. Определение ошибки выборки для доли организаций с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел. и выше, а также границ, в которых будет находиться генеральная доля

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой

,                                                                  (18)

где  m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

        n – общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки  доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле

,                                           (19)

где  w – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

       (1-w
) – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,

        N – число единиц в генеральной совокупности,

        n– число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки  определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:

                                                    (20)

По условию Задания 3 исследуемым свойством является равенство или превышение уровня производительности труда величины 0,264 млн руб./чел.

Число организаций с заданным свойством - m=11.

Расчет выборочной доли по формуле (18):



Расчет по формуле (19) предельной ошибки выборки для доли:



Определение по формуле (20) доверительного интервала генеральной доли:



0,21  0,524

или

21%  52,4%

Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности предприятий доля предприятий с уровнем производительности труда 0,264 млн руб./чел и выше будет находиться в пределах от 21% до 52,4%.

Задание 4.

Имеются следующие данные по организации за два года:

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.	40,8	54,2
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180
3.	В том числе рабочих, чел.	130	145
4.	Отработано рабочими чел.-дней	31 200	33060
5.	Отработано рабочими чел.-ч	240 240	261 174

Определите:

1. Уровни среднечасовой, среднедневной и среднегодовой производительности труда, их динамику и взаимосвязь. Расчеты представьте в таблице.

2. Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов (среднечасовой производительности труда рабочего, средней продолжительности рабочего дня и рабочего года, доли рабочих в общей численности работников).

Сделайте выводы.

Выполнение Задания 4.

Составим расчетную таблицу.


Таблица 17

Расчет показателей производительности труда и их динамики

№ п/п	Показатели	Базисный год	Отчетный год	Абсолютный прирост	Темп роста
А	Б	1	2	3 = гр.2 – гр.1	5=(гр.2/гр.1)*100
1.	Выпуск продукции (в сопоставимых ценах), млн руб.	40,8	54,2	13,4	132,8
2.	Среднесписочная численность работников, чел.	164	180	16	109,8
3.	В том числе рабочих, чел.	130	145	15	111,5
4.	Отработано рабочими чел.-дней	31200	33060	1860	106
5.	Отработано рабочими чел.-ч.	240240	261174	20934	108,7
6.	Среднечасовая производительность труда рабочих, тыс.руб./чел.-ч. (стр.1/стр.5*1000)	0,17	0,208	0,038	122,4
7.	Среднедневная производительность труда рабочих, тыс.руб./чел.-дн. (стр.1/стр.4*1000)	1,308	1,639	0,331	125,3
8.	Среднегодовая производительность труда рабочих, тыс.руб./чел. (стр.1/стр.3*1000)	313,846	373,793	59,947	119,1
9.	Среднегодовая производительность труда работающих, тыс.руб./чел. (стр.1/стр.2*1000)	248,78	301,111	52,331	121
10.	Средняя продолжитель-ность рабочего дня, ч. (стр.5/стр.4)	7,7	7,9	0,2	102,6
11.	Средняя продолжитель-ность рабочего года, дн. (стр.4/стр.3)	240	228	-12	95
12.	Доля рабочих в общей численности работников, стр.3/стр.2	0,793	0,806	0,013	101,6

Между показателями существуют взаимосвязи.

Средняя дневная выработка рабочих = Средняя часовая выработка рабочих * Средняя продолжительность рабочего дня.

1,253 = 1,224 ´ 1,026

Средняя годовая выручка рабочих = Средняя дневная выработка рабочих * Среднее число дней работы одного рабочего за год.

1,191 = 1,253 ´ 0,950

Средняя годовая выработка одного работающего = Средняя годовая выработка одного рабочего * Доля рабочих в общей численности работающих на предприятии.

1,210 = 1,191 ´ 1,016

Средняя годовая выработка одного работающего = Средняя часовая выработка одного рабочего * Средняя продолжительность рабочего дня * Средняя продолжительность рабочего года * Доля рабочих в общей численности работающих.

1,210 = 1,224 ´ 1,026 ´ 0,950 ´ 1,016

Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника за счет отдельных факторов:

1) за счет среднечасовой производительности труда рабочего:

Δ(Wчас.) = (0,208 – 0,17)*7,7*240*0,793 = +55,688 тыс.руб./чел.

2) за счет средней продолжительности рабочего дня:

Δ(t) = 0,208*(7,9 - 7,7)*240*0,793 = +7,917 тыс.руб./чел.

3) за счет средней продолжительности рабочего года:

Δ(T) = 0,208*7,9*(228 – 240)*0,793 = -15,637 тыс.руб./чел.

4) за счет доли рабочих в общей численности работников:

Δ(d) = 0,208*7,9*228*(0,806 – 0,793) = +4,870 тыс.руб./чел.

 
Заключение.

По результатам проведенного анализа наблюдается рост почти всех приведенных показателей (кроме средней продолжительности рабочего года). Абсолютный прирост среднегодовой производительности труда одного работника произошел преимущественно за счет среднечасовой производительности труда рабочего.