Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО « Уральский государственный технический университет-УПИ имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»
Кафедра теоретических основ радиотехники
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЭЛЕЯ

Реферат

по дисциплине «Вероятностные модели»
                                                                                  Группа: Р-37072

                                                                                  Студентка: Решетникова Н.Е.

                                                                                  Преподаватель: Трухин М.П.
                                          Екатеринбург, 2009 год


Содержание

История появления. 3

Функция плотности вероятности. 4

Интегральная функция распределения. 5

Центральные и абсолютные моменты.. 7

Характеристическая функция. 8

Область применения. 8

История появления

12 ноября 1842 г. в Лэнгфорд-Грове (графство Эссекс) родился лорд Джон Уильям Рэлей (John William Rayleigh), английский физик, нобелевский лауреат. Получил домашнее образование. Окончил Тринити-колледж Кембриджского университета, работал там же до 1871 г. В 1873 г. создал лабораторию в родовом имении Терлин-Плейс. В 1879 г. стал профессором экспериментальной физики Кембриджского университета, в 1884 г. – секретарем Лондонского королевского общества. В 1887-1905 гг. – профессор Королевской ассоциации, с 1905 г. – президент Лондонского королевского общества, с 1908 г. – президент Кембриджского университета.

Будучи всесторонне эрудированным естествоиспытателем, он отметился во многих отраслях науки: теория колебаний, оптика, акустика, теория теплового излучения, молекулярная физика, гидродинамика, электричество и другие области физики. Исследуя акустические колебания (колебания струн, стержней, пластинок и др.), он сформулировал ряд фундаментальных теорем линейной теории колебаний (1873), позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем, и разработал количественный метод возмущений для нахождения собственных частот колебательной системы. Рэлей впервые указал на специфичность нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без периодического воздействия извне, и на особый характер этих колебаний, которые впоследствии были названы автоколебаниями.

Он объяснил различие групповой и фазовой скоростей и получил формулу для групповой скорости (формула Рэлея).

Распределение же Рэлея появилось в 1880 году вследствие рассмотрения задачи сложения множества колебаний со случайными фазами, в которой он получил функцию распределения для результирующей амплитуды. Метод, разработанный при этом Рэлеем, надолго определил дальнейшее развитие теории случайных процессов.

Функция плотности вероятности

Вид функции распределения:

 ,

σ- параметр.
В зависимости от σ график функции распределения выглядит так:
1)     σ=1


2)     σ<1 (σ=1/4)


3)     σ>1(σ=3)

Таким образом, в зависимости от параметра  σ меняется не только амплитуда, но и дисперсия распределения. С уменьшением σ амплитуда растет и график «сужается», а с увеличением σ увеличивается разброс и уменьшается амплитуда.

Интегральная функция распределения

Интегральная функция распределения, по определению равная интегралу от плотности вероятности равна:


График интегральной функции распределения при различных параметрах σ:

В зависимости от σ график функции распределения выглядит так:
1.     σ=1


2.     σ<1


3.     σ>1

Таким образом, при изменении параметра σ происходит изменение графика. При уменьшении σ график становится более крутым, а при увеличении σ более пологим:

Центральные и абсолютные моменты

Законы распределения полностью описывают случайную величину  X  с вероятностной точки зрения (содержат полную информацию о случайной величине). На практике часто нет необходимости в таком полном описании, достаточно указать значения отдельных параметров (числовых характеристик), определяющих те или иные свойства распределения вероятностей случайной величины.

Среди числовых характеристик математическое ожидание играет наиболее существенную роль и рассматривается как результат применения операции усреднения к случайной величине  Х,  обозначаемой как  .



Начальным моментом 
s
– го порядка случайной величины  X
 называется математическое ожидание  s
– й степени этой величины:

. 

Для непрерывной случайной величины:



Математическое ожидание для величины, распределенной по закону Рэлея равно:



Значение математического ожидания для разных значений параметра σ:

1)     σ=1

mx=1.253

2)     σ=1/4

mx=0.313

3)     σ=3

mx=3.76

Центрированной случайной величиной X называется её отклонение от математического ожидания  .

Центральным моментом  
s
–
ого порядка случайной величины  X  называется математическое ожидание  s – й степени центрированной величины  :


.   

Для непрерывной случайной величины

.  

Второй центральный момент. Дисперсия есть характеристика рассеяния случайной величины около ее математического ожидания

   

Для случайной величины, распределенной по закону Рэлея дисперсия(второй центральный момент), равна:



1.     σ=1

Dx=0.429

2.     σ=1/4

Dx=0.027

3.     σ=3

Dx= 3.863

Характеристическая функция

Характеристической функцией случайной величины Х называется функция

 - эта функция представляет собой математическое ожидание от некоторой комплексной случайной величины , являющейся функцией от случайной величины Х. При решении многих задач удобнее пользоваться характеристической функцией, а не законом распределения.

Зная закон распределения можно найти характеристическую   функцию по формуле:

. Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как  обратное преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью прямого преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.

Характеристическая функция для случайной величины, распределенной по закону Рэлея:

,

где   - интеграл вероятности комплексного аргумента.

Кумулянты( семиинварианты)

Функция   называется кумулянтной функцией случайной величины Х. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и . Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик.

При этом число  называется кумулянтом  порядка случайной величины Х .

Область применения

Распределение Рэлея применяется для описания большого числа задач, например:

·        Задача сложения колебаний со случайными фазами;

·        Распределение энергии излучения абсолютно черного  тела;

·        Для описания законов надежности;

·        Для описания некоторых радиотехнических сигналов;

·        Закону распределения Релея подчиняются амплитудные значения шумо­вых  коле­баний (помех) в радиоприем­нике;

·        Используется для описания случайной огибающей узкополосного случайного процесса(шума).

Список использованной литературы

1.     Р.Н. Вадзинский «Справочник по вероятностным распределениям», С.-П. «Наука», 2001 год.

2.     Г.А. Самусевич, учебное пособие «Теория вероятностей и математическая статистика», УГТУ-УПИ, 2007 год.