Содержание

Введение. 3

1  Что такое актуарная математика?. 4

2  Общие сведения о цепях Маркова. 6

3  Переходные вероятности. Матрица перехода. 9

4  Уравнения Колмогорова для вероятностей перехода. 12

5  Постоянные интенсивности переходов. 15

6  Определение вероятностей перехода из таблиц смертности. 17

7  Расчет вероятностей перехода. 18

8  Краткое описание метода Рунге – Кутта. 19

9  Нахождение интенсивностей перехода по заданным вероятностям. 21

10   Результаты вычислений. 22

10.1  Результаты вычисления интенсивностей переходов. ………………………….22

10.2  Сравнение статистических и вычисленных вероятностей. ……………………23

10.3  Графики сравнения интенсивностей переходов. ………………………………25

10.4  Анализ результатов. ……………………………………………………………...30

11  Заключение. 31

Литература. 32

ПРИЛОЖЕНИЕ А.. 33

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. 35



Введение


При построении моделей заболеваемости, смертности, выздоравливаемости от различных инфекционных и паразитарных болезней (в данной работе – от ВИЧ/СПИДа) широкое применение занимают марковские модели, использование которых позволяет определить переходные вероятности, а по ним характеристики, необходимые для расчетов страхования. Марковская модель со многими состояниями обеспечивает подходящее описание возможных случаев во многих областях, связанных со страхованием.

         Возникла следующая задача: имеется система с четырьмя состояниями. В ней протекает марковский процесс. Известен граф состояний этой системы, то есть все возможные переходы из одного состояния в другое. Имеются данные заболеваемости, смертности за 1998-2002 гг. Нужно найти интенсивности переходов из одного состояния в другое за эти пять лет и произвести оценку динамики роста или динамики снижения смертности, заболеваемости от СПИДа. Рассмотреть общую задачу (без возрастных групп), также рассмотреть отдельно определение интенсивностей перехода для детей  и взрослого населения России.




1      
Что такое актуарная математика?


В последние годы в нашей стране значительные изменения произошли в сфере приложений математики. Если раньше развитие прикладной математики в решающей степени стимулировало задачи естественных наук и связанных с ними отраслей промышленности (что в значительной степени явно или неявно определялось военно – промышленным комплексом), то сегодня трудности в этих областях заставили математиков активно искать новые сферы приложений своих знаний.

Социально – экономические причины перенесли интересы, во всяком случае специалистов по прикладной математике, на новые области, которые практически не были известны в нашей стране до начала 90-х годов. Активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности поставило необходимость привлечения в эти области специалистов совершенно нового для нашей страны типа. Одной из новых для нашей страны областей оказалась финансовая математика.

Актуарная математика - это область математики, которая занимается математическими проблемами финансов. Одной из важнейших областей применения является страхование. Приведем краткий иллюстративный пример. Человек определенного возраста заключает договор со страховой компанией на определенных условиях. Он покупает за определенную сумму страховой полис, чтобы со временем ему или его наследникам в случае его смерти была выплачена большая сумма денег. Страховая компания при этом также хочет получить определенную прибыль. Актуарная математика, широко использующая методы теории вероятности и математической статистики, и призвана дать рекомендации, которые были бы привлекательными как для клиентов, так и для страховых компаний. Эта наука является теоретической базой для расчета страховых премий по различным типам страховых контрактов. Поэтому актуарная математика называется часто "страховой математикой".

Актуарии — это многосторонние специалисты - аналитики, имеющие хорошую теоретическую подготовку и прикладные умения в таких науках, как математика, статистика, экономика, демография, теория вероятностей и финансы. Эти аналитические и практические знания применяются для финансового моделирования с учетом случайных социальных факторов, что позволяет предупреждать и решать экономические и социальные задачи коллективных финансовых институтов. На основании собранной статистики, с помощью запрограммированных на компьютере математических моделей актуарии строят финансовые прогнозы на близкий и далекий временной горизонт, широко применяя методы управления риском. Иначе говоря, актуарии предоставляют топ - менеджерам аналитические обоснования и оценки последствий возможных решений. В случае же неудачи проекта именно актуарии обеспечивают практическое решение выхода из сложившейся ситуации с наименьшими потерями.

Из этого определения ясно, что актуарий должен сочетать в себе достаточно серьезную математическую квалификацию с квалификацией в области бизнеса – экономической и юридической. Вместе с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами актуарная математика образует актуарную науку, которая в свою очередь является теоретической основой актуарной деятельности.
2                 
Общие сведения о цепях Маркова


Марковские случайные процессы названы по имени выдающегося русского математика А.А. Маркова (1856-1922), впервые начавшего изучение вероятностной связи случайных величин и создавшего теорию, которую можно назвать «динамикой вероятностей». В дальнейшем основы этой теории явились исходной базой общей теории случайных процессов, а также таких важных прикладных наук, как теория диффузионных процессов, теория надежности, теория массового обслуживания и т.д. В настоящее время теория марковских процессов и ее приложения широко применяются в самых различных областях таких наук, как механика, физика, химия и другие.

Благодаря сравнительной простоте и наглядности математического аппарата, высокой достоверности и точности получаемых решений особое внимание Марковские процессы приобрели у специалистов, занимающихся исследованием операций и теорией принятия оптимальных решений.

Марковские случайные процессы относятся к частным случаям случайных процессов. В свою очередь, случайные процессы основаны на понятии случайной функции.

Случайной функцией называется функция, значение которой при любом значении аргумента является случайной величиной. По иному, случайную функцию можно назвать функцию, которая при каждом испытании принимает какой-либо заранее неизвестный вид.

Как правило, считают, что если аргументом случайной функции является время, то процесс, основанный на такой функции, называют случайным. Также под случайным процессом понимают процесс случайного изменения состояний какой-либо физической или технической системы по времени или какому-либо другому аргументу.

Нетрудно заметить, что если обозначить состояние  и изобразить зависимость , то такая зависимость и будет случайной функцией.

Случайные процессы классифицируются по видам состояний  и аргументу t. При этом случайные процессы могут быть с дискретными или непрерывными состояниями или временем.

      Системы  с непрерывным временем предполагают, что переход системы из одного состояния в другое может осуществляться в любой момент  времени, т. е.  время  пребывания системы в каждом состоянии представляет непрерывную случайную величину.

            Для систем с дискретным временем время пребывания системы в каждом состоянии фиксированное, а моменты переходов  размещаются  на  временной  оси  через  равные  промежутки  и называются "шагами" или "этапами".  Время нахождения  системы  в некотором состоянии представляет дискретную случайную величину.

Кроме указанных выше классификаций случайных процессов, существует еще одно важное свойство. Это свойство описывает вероятностную связь между состояниями случайных процессов.

Остановимся подробнее на понятии марковской цепи. Отметим, во-первых, что случайный процесс с дискретными состояниями и временем называется случайной последовательностью.

Если случайная последовательность обладает марковским свойством, то она называется  цепью Маркова.

С другой стороны, если в случайном процессе состояния дискретны, время непрерывно, то такой случайный процесс называется марковским процессом с непрерывным временем.

Различают марковские системы по количеству состояний, в которых находится система: системы с конечным состоянием и системы с бесконечным состоянием.

Марковский случайный процесс называется однородным, если переходные вероятности  остаются постоянными в ходе процесса и не зависят от номера испытания.

          Модель марковской цепи может быть представлена в виде ориентированного взвешенного графа, который представляет собой  совокупность вершин, изображающих   возможные   состояния   системы   ,   и совокупность ветвей,  изображающих возможные переходы системы из одного состояния в другое (рисунок 1). Каждой дуге соответствует переходная вероятность - это условная вероятность перехода системы на k-ом шаге в состояние  при  условии,  что на предыдущем (k
-1)-ом этапе система находилась в состоянии .                                               




                                                                       

                                                                           
                                       ЗДОРОВ                                                    СПИД
                                                                        МЕРТВ
                                Рисунок 1 – Модель марковской цепи

Марковская цепь называется однородной,  если переходные вероятности не зависят от номера шага.  Если переходные вероятности меняются от шага к шагу, марковская цепь называется неоднородной.

          В некоторых случаях, несмотря на случайность процесса, имеется возможность до определенной степени управлять законами распределения или параметрами переходных вероятностей. Такие марковские цепи называются управляемыми. Очевидно, что с помощью управляемых цепей Маркова особенно эффективным становится процесс принятия решений.

          Основным признаком дискретной марковской цепи является детерминированность временных интервалов между отдельными шагами (этапами) процесса. Однако, часто в реальных процессах это свойство не соблюдается и интервалы оказываются случайными с каким-либо законом распределения, хотя марковость процесса сохраняется. Такие случайные последовательности называются полумарковскими.


3   Переходные вероятности. Матрица переходов

          Переход системы из состояния в состояние будем рассматривать в дискретные моменты времени.

          Система считается заданной, если заданы два условия:

          1. Заданы вероятности возможных состояний системы . Вероятности нахождения в этих состояниях – это доли времени нахождения в каждом состоянии. Имеется вектор начальных вероятностей начального состояния системы  


                                              

          2. Заданы условные вероятности переходов из состояния в состояние за время . Это вероятность перехода  из i-го в j-ое состояние за время  (причем, чем больше , тем больше вероятность). Данные вероятности переходов задаются с помощью матрицы, которая имеет следующий вид:

                                     

          Заметим, что в обозначении  первый индекс указывает номер предшествующего, а второй – номер последующего состояния.

          Предположим, что имеется конечное число состояний, пронумерованных  , т.е. процесс имеет пространство {}.

          Неоднородный по времени марковский процесс   описывает изменение состояний индивидуумов в зависимости от возраста s. Ясно, что применительно к задаче социального страхования процесс X
(
t
) должен быть непрерывным и с конечным числом состояний. Такие процессы полностью описываются переходными вероятностями

                                           ,                  (3.1)             

i
,
j
=1..
k
;
s
,
t
≥0, т.е. вероятностями нахождения индивидуума в возрасте s
+
t в состоянии j при условии, что в возрасте s он находился в состоянии i (или будущее процесса (после момента времени s) зависит только от состояния в момент времени s и не зависит от истории процесса до момента s).

         В случае i
=
k, когда речь идет об умерших, очевидно ,

т.е. возврат из совокупности умерших невозможен.

          Определим функцию вероятности перехода 

                      ,        (3.2)

и положим, что 

                                                                                        (3.3)

для любого  t
³
0.

          В случае страховых моделей с непрерывным временем наравне с переходными вероятностями удобно использовать соответствующие интенсивности перехода из состояния i в состояние j индивидуума в возрасте s за бесконечно малый промежуток времени (интенсивности переходов проставляются у соответствующих дуг графа; такой граф называется размеченным). Интенсивности перехода могут быть определены как:

                                  ,      .                    (3.4)

          Это определение позволяет интерпретировать интенсивность перехода как «мгновенную» по времени вероятность смены состояния i на состояние j в возрасте s. Например, интенсивность смертности есть вероятность того, что человек, доживший до определенного возраста, умрет в последующую единицу времени, если, конечно, эта единица достаточно мала.   

          Кроме интенсивностей   переходов, для  описания  непрерывных марковских   цепей   должен  быть  задан   вектор   вероятностей состояний   системы   в  исходный   момент   времени .

          Зная множество  состояний системы,  значения интенсивностей переходов ,  а также  вектор  начальных  вероятностей системы ,  определим вероятности состояний  системы.
4  Уравнения Колмогорова для вероятностей перехода

Рассматривая марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, нам удобно будет представлять себе, что все переходы системы S
из состояния в состояние происходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, поток восстановлении и т. д.). Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Если система S находится в каком-то состоянии S_i
, из которого есть непосредственный переход в другое состояние S_j, то мы себе это будем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии S_i действует простейший поток событий, переводящий её по стрелке S_i

 
S_j
. Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из S_i
 в S_j.

Для наглядности очень удобно на графе состояний у каждой стрелки проставлять интенсивность перехода  из состояния S_i
в состояние S_j. На рисунке 2 дан граф состояний с проставленными у стрелок интенсивностями (мы будем называть такой граф размеченным).





                                                                    ВИЧ

                                                                             
                                 ЗДОРОВ                                               СПИД
                                                                          

                                                                 МЕРТВ
                                       Рисунок 2 – Граф состояний

 - интенсивность перехода из состояния “ здоров ” в состояние  ”ВИЧ-инфицирован”;

 - интенсивность перехода из состояния “здоров” в состояние                         ”мертв”;

 - интенсивность перехода из состояния “ ВИЧ-инфицирован ” в состояние   ”болен СПИДом”;

 -  интенсивность перехода из состояния “ВИЧ-инфицирован” в состояние   ”мертв”

   - интенсивность перехода из состояния “болен СПИДом” в состояние “мертв”.

Построим математическую модель данного процесса.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний, можно найти все вероятности перехода  как функции времени. Для этого составляются и решаются так называемые уравнения Колмогорова — особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности перехода.

                         (4.1)

при .

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности перехода, прежде всего надо задать начальные условия. Если мы точно знаем начальное состояние системы S_i
, то в начальный момент (при ), а все остальные начальные вероятности равны нулю.

          При вычислении актуарных значений нам понадобятся функции вероятности перехода. Интенсивности переходов и функции вероятности перехода связаны с прямыми и обратными уравнениями Колмогорова:

                                                  (4.2)

                                                     (4.3)

соответственно, с граничными условиями . 

            Анализируя дифференциальные  уравнения  Колмогорова,  можно

сформулировать формальное правило для их написания непосредственно по размеченному графу системы.

          В левой части уравнения стоит  производная  от  вероятности рассматриваемого состояния  по  времени,  а  в  правой  части  - столько слагаемых,  сколько дуг графа связано с  рассматриваемым состоянием. Каждое   слагаемое   равно   произведению  плотности вероятности перехода,  соответствующей  данной  дуге  графа,  на вероятность того состояния, из которого исходит дуга графа. Если стрелка направлена      из      рассматриваемого      состояния, соответствующее произведение  имеет  знак  минус.  Если  стрелка направлена в состояние, то произведение имеет знак плюс.

            Это правило    составления    дифференциальных    уравнений Колмогорова для  вероятностей   состояний   является   общим   и справедливо для любой непрерывной марковской цепи.