Министерство образования и науки Украины

Государственная лётная академия
Теория вероятностей

и математическая статистика
Лабораторная работа№1
Статистическая устойчивость случайных событий.
Вариант  6
 
Выполнил:

Курсант  871 к.о.

                                                                                             Зозуля  С.

Проверил:

Борота  В.Г.
Кировоград 2009 г.


1.
Краткие теоретические сведения.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие “при бросании монеты выпал герб” – случайное . Каждое случайное событие, в частности выпадение герба, есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.

По иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т.е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определённым закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Пусть произошло n испытаний, и событие А произошло m раз. Очевидно, что 0£m£n.

Частотой случайного события А в данной последовательности испытаний называется число W(A) где



т.е. отношение количества появлений события А к количеству испытаний.

Событие А называется статистически устойчивым, если при увеличении числа испытаний n частота W(A) стабилизируется и стремится к определенному числу Р почти в каждой серии испытаний. Для проверки статистической устойчивости случайного события А можно построить последовательность значений частоты W(A) при n®¥ и изобразить последовательность на графике. Если W(A) при n®¥ группируется около определённого числа Р, можно предположить устойчивость частоты события А.

Статистическое определение вероятности: вероятностью случайного события А называется такое число Р=Р(А), что частота W(А) стремится к Р при увеличении числа испытаний n почти в каждой серии испытаний.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу.



Произведем n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна Р (0< p <1).

Величина

q = 1- p

является вероятностью события Ā, противоположного событию А, заключающегося в не появлении события А

q = p (Ā)

Поставим перед собой задачу найти вероятность того, что отклонения относительной частоты  от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа e>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства  .

Эту вероятность будем обозначать так:



Можно доказать, что



Здесь



функция Лапласа.

При решении задач пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл  не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения Φ(x) для положительных значений x и для x = 0; для х< 0 пользуются той же таблицей, поскольку функция Φ(x) – нечетная, Φ(-x)= - Φ(x).

В таблице приведены значения интеграла только для x = 5, так как для x>5 можно принять Φ(x)=0,5.


Доверительная вероятность:

Пусть найденная по данным серии опытов статистическая характеристика W(A) служит оценкой неизвестного параметра Р(А). Ясно, что W(A) тем точнее определять параметр Р(А), чем меньше абсолютная величина разности÷Р(А)-W(А)÷. Другими словами, если

÷Р(А)-W(А)÷< e, то чем меньше e, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число e характеризует точность оценки.

Надёжностью или доверительной вероятностью оценки Р(А) по W(А) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство

÷Р(А)-W(А)÷< e

Обычно надёжность оценки задаётся наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,9; 0,95; 0,99 и 0,999. Если нужно оценить минимальное число опытов, необходимое для стабильного получения отклонений частоты в пределах заданной величины e, то для доверительной вероятности γ =0,95 можно пользоваться формулой