Реферат
на тему:
"Интегральные методы оценки качества переходных процессов"

 

Введение
Интегральная оценка является обобщенным показателем качества переходного процесса, при этом качество системы оценивается с помощью числа, являющегося интегралом некоторой функции.
Особенность интегральной оценки в том, что в отличии от других методов оценки качества, величина интеграла представляет число, которое ничего не говорит о характере переходного процесса, о конкретных показателях качества, зато, в сравнении с другими, метод отличается простотой.

Линейная интегральная оценка
Рассмотрим переходные процессы, приведенные на рис. 1а-в.

а                                    б                                    в

Рис. 1

Заштрихованная площадь называется площадью регулирования, она может быть оценкой качества переходного процесса. Чем меньше площадь, тем лучше качество переходного процесса.
Площадь регулирования может быть определена с помощью интеграла, который называется простой (линейной) интегральной оценкой

 

 (1)

Задача сводится к определению J_1, не зная переходного процесса, т.е. по его изображению, так как изображение проще определить.
Пусть известно

 

 (1)

Если сравнивать выражения (1) и (2), то они отличаются на множитель e^-pt. При этом

, (3)
т.е. получили простую формулу для определения площади регулирования, а значит и оценки качества процесса регулирования.
Так как z(p) = y(p) – y_¥ /p, то значение интеграла (1) можно вычислить по формуле
 (4)

Недостаток метода

Рассмотрим переходный процесс (рис. 2).

Рис. 2

Процесс затухает медленно, следовательно, качество системы плохое, но так как площади имеют разные знаки, то величина интеграла J₁ будет мала. Поэтому этот метод не применим для колебательных переходных процессов, т.е. он пригоден только для монотонных процессов, поэтому ограничен в применении.
Хорошей оценкой мог бы служить интеграл
, (5)

Но его сложно вычислять, необходимо решать характеристическое уравнение.

Пример 5. Вычислить величину J₁ для заданной системы (рис. 3).

x y -

1 Tp+1

k

			Решение: 1.     Определим y(p) 2.     Определим y¥

 

 

Рис. 3

3. Определим величину интеграла J₁

Интегральная квадратичная оценка
Интегральная квадратичная оценка пригодна для любых переходных процессов, и вычисляется по формуле
 (6)
Подинтегральное выражение – z²(t) всегда положительно не зависимо от знака функции z(t).
Определим J₂ без расчета переходного процесса, для этого воспользуемся дуальной теоремой.

Рис. 4

Основная теорема: произведению изображений соответствует свертка оригиналов
 (7)
Дуальная теорема: произведению оригиналов соответствует свертка изображений
 (8)
Так как ,
то можно получить следующую формулу для расчета квадратичной интегральной оценки

 (9)
Этот интеграл можно вычислить либо с помощью вычетов по полюсам подинтегральной функции, либо с использованием табулированных значений интеграла для функции
 (10)
В таблице 1 приведены табулированные значения интеграла для n = 1 ¸ 3 для систем более высокого порядка таблицы приведены в литературе [5].
Таблица 1

n	J2
1
2
3

Недостаток метода. Рассмотрим переходные процессы (рис. 5).

а)                                                     б)

Рис. 5

При использовании этого метода два процесса могут иметь одинаковую площадь регулирования, но оба они плохие по различным показателям качества, у первого большое время регулирования, а во втором большое перерегулирование.

Пример 6. Вычислить величину J₂ для заданной системы (рис. 6).

x y -

1 Tp

k

			Решение: 1. Определим y(p) 2.     Определим y¥

 

Рис. 6
3. Определим z(p)

4. Определим величину интеграла J₂ с помощью вычетов s₁ = – k/T


5. Определим величину интеграла J₂ с помощью таблиц


Модифицированная интегральная оценка

При использовании модифицированной (улучшенной) интегральной оценки минимизируем не только квадратичное отклонение z(t), но и его производную – z’ (t). Такой оценкой является интеграл

 (11)
где t – постоянная времени.
Минимуму интеграла соответствует приближение переходного процесса не к ступенчатому, а к некоторому экспоненциальному с заданной постоянной времени (которая называется экстремалью). Применение этой оценки приводит к более пологим переходным процессам, т.е. менее колебательным и имеющим меньшее число перерегулирований.

Недостаток метода: Сложность выбора экстремали, она выбирается на основе опыта.

Достоинства и недостатки интегральных методов

Достоинства методов:

1.                Простота.
2. Оценка качества является обобщенной (в виде одного числа), что удобно при оптимизации систем и для сравнительного анализа систем

Недостатки методов:

1. Каждый методов имеет свои специфические, ранее рассмотренные недостатки.
2. Величина интеграла представляет число, которое ничего не говорит о характере переходного процесса, т.е. о конкретных показателях качества.

Литература
1.           Бесекерский В.А., Попов Е.П. «Теория систем автоматического управления». Профессия, 2003 г. – 752 с.
2.           Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 1987. – 712 с.
3.           Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/ Под редакцией В.А. Бесекерского. – M.: Наука, 1978.
4.           Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1986.