Предмет:
"Теория автоматического управления"
Тема:
"Расчет переходных процессов в дискретных системах управления"

 

Рассмотрим схему дискретной системы автоматического управления, приведенную на рис. 1.

x(p)              x*(p)                                y(p)

K(p)

x(t)            x*(t)                            y(t)

T

T,e

y*(p)

 

Рис. 1
Для выхода системы можно записать следующие соотношения между входным и выходным сигналом
 (1)
Выражение для выходной величины во временной форме имеет вид
 (2)

 

Определим переходную функцию дискретной системы. Дискретное преобразование единичного воздействия x(t) = 1 (t) равно x(z) = z/(z-1).

Переходную функцию определим из соотношений
 (3)

Получили выражение для расчета переходной функции дискретной системы.
Определим функцию веса дискретной системы. Дискретное изображение единичного импульса x(t) = d(t) равно x(z) = 1.
Весовую функцию определим из соотношений
 (4)
Получили выражение для расчета функции веса дискретной системы.
Установившееся значение временных характеристик можно определить с помощью теоремы о конечном значении дискретной функции.
Для переходной функции
. (5)
Для весовой функции
 (6)

 

Определим связь между переходной функцией и функцией веса дискретной системы. Для области z можно записать следующие соотношения

Откуда

 (7)
Как следует из выражения (7) функция веса в каждый дискретный момент времени может быть определена как разность между текущим и предыдущим значением переходной функции

Пример 1. Для заданной системы (рис. 2.) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t).

x(p)              x*(p)                                y(p)

1   p

x(t)            x*(t)                            y(t)

T

T,e

y*(p)

 

Рис. 2

Решение
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом

Если x(t) = 1 (t) то . Для  
Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала


Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m: z₁ = 1; n = 1; m = 2.
Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 2. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 3.), если x(t) = 1 (t).

y*(p)

x(p)              x*(p)                                y(p)

1   p2

x(t)            x*(t)                            y(t)

T

T,e

Рис. 3

 

Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом
.
Если x(t) = 1 (t), то .

Для  
Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Выражение для переходного процесса имеет вид:

 

Пример 3. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 4), если x(t) = 1 (t).

x(p)              x*(p)                                y(p)

y*(p)

1 p+a

x(t)            x*(t)                            y(t)

T

T,e

 

Рис. 4
Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом

Если x(t) = 1 (t), то .
Если , то , где
Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m:
z₁ = 1; z₂ = d; n = 2; m = 1.
Выражение для переходного процесса имеет вид:

Пример 4. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 5), если x(t) = 1 (t).

y[nT,e]

T

1-e-pT       p

kv  p

T,e

y(t)

x(t)

 

Рис. 5

Решение:
Выходной дискретный сигнал равен:
При этом

Если x(t) = 1 (t), то .
Передаточная функция соединения равна:

Дискретная передаточная функция соединения равна:

Подставим x(z) и K (z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала


Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m: z₁ = 1; n = 1; m = 2.
Выражение для переходного процесса имеет вид:

 

Пример 5. Рассчитать переходный процесс в заданной дискретной системе (рис. 6), если x(t) = 1 (t).

y[nT,e]

-

T

1-e-pT       p

kv  p

T,e

y(t)

x

 

Рис. 6

Решение:
Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части:

Выполним дискретное преобразование:


Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

Подставим x(z) и K_з(z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m:
z₁ = 1, z₂ = 1 – k_v T = A, n = 2, m = 1.
Выражение для переходной функции имеет вид:

Пример. Для заданной системы (рис. 7) рассчитать переходный процесс, если x(t) = 1 (t), а алгоритм функционирования цифровой части описывается уравнением:

АЦП

ЦА

ЦАП

kv   p

X Y
Рис. 7
Решение: Исходную схему можно представить в виде (рис. 8)

Y*

T,e

kv   p

1-e-pT     p

T

T

X

YX

 

 

Рис. 8

 

Определим передаточную функцию разомкнутой непрерывной части

Выполним дискретное преобразование

Определим передаточную функцию цифрового автомата, в соответствии с алгоритмом его функционирования


Определим передаточную функцию разомкнутой дискретной системы:

Передаточная функция замкнутой дискретной системы:

где s₁, s₂ корни характеристического уравнения

при этом s₁+ s₂ = 1+a+k_v T; s₁ s₂ = a.
Подставим x(z) и K_з(z,e) в выражение для выходного дискретного сигнала

Определим значения полюсов – z_k их число – n и кратность – m
z₁=1, z₂=s₁, z₃=s₂, n=2, m=1.
Выражение для переходной функции имеет вид:


Литература
1.           Бронштейн И.Н., Семендяев К.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. – М.: Наука, 1989
2.           Васильев В.И., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления: Теория и практика: Учеб. пособие для вузов. Издательство: Радиотехника, 2009. – 392 с.
3.           Голенцев Э., Клименко С.В. Информационное обеспечение систем управления. ФЕНИКС, 2002. – 350 с.
4.           Долятовская В.Н., Долятовский В.А. Исследование систем управления, 2004. – 255 с.